经典分形集测度上估的计算机搜索I——对典型例子Sierpinski垫片编码技术的剖析

分形集的Hausdorff测度是一个非线性科学的理论课题,至今结果甚少,即使对于一些生成很有规则的经典分形集亦是如此[3].Sierpinski垫片就是这样一个经典分形集,但因其预分形的图形尚未被研究者解析地认识,所以对其Hausdorff测度的研究进展很慢.     

一类含参变量的Sierpinski垫片的Hausdorff测度

Sierpinski垫片是具有严格自相似性的经典分形集之一.本文给出了一类含参变量的Sierpinski垫片.通过它在x轴上的投影估计了这类Sierpinski垫片的Hausdorff测度的下界,然后精心构造了一个仿射变换,将参变量的范围由(0,π/3)的讨论转换到(π/3,π)的讨论,从而得到了这类Sierpinski垫片的Hausdorff测度的精确值.     

经典分形集测度上估的计算机搜索Ⅱ──对典型例子Sierpinski垫片计数技术和格点跟踪技术的剖析

相同生标题的文献山,通过编码技术导出了义献问给出的Sierninski垫片Hausdorff测度＊”（S的L方估值函数…X）．本文的第一个目的,是利用计数技术,推导出更好的上方估值函数“一及其可计算的过剩近似值。N（）的数学表达式其中l二0．lllZ…2n…,t二k·2－N二0．tltZ…iN,（二0f122··＜N是二进制小数,ZI—…二打．1二0,。三2满足！1＋…十认．1二！。l＝1,＊表示l的整数部分,unitx二1,若xZ地否则unitx二队尽管op00的上述表达式把人们从看图作业和手工计算的状态中解脱出来,但其计算复杂性却仍然是指数爆炸的,对大如10的N…     

自相似集的Hausdorff测度——Koch曲线

讨论满足开集条件的自相似集 .对于这样一个分形 ,用定义估计它的Haus dorff测度只能得到上限 ,因而如何判断某一个上限是否就是它的准确值是一个重要问题.给出了一个否定判据 .作为应用 ,否定了Marion关于Koch曲线的Hausdorff测度的猜测.     

关于自相似集的Hausdorff测度的一个判据及其应用

讨论了满足开集条件的自相似集。对于此类分形，用自然覆盖类估计它的Hausdorff测度只能得到一个上限，因而如何判断某一个上限就是它的Hausdorff测度的准确值是一个重要的问题。本文给出了一个判据。作为应用，统一处理了一类自相似集，得到了平面上的一个Cantor集－Cantor尘的Hausdorff测度的准确值，并重新计算了直线上的Cantor集以及一个Sierpinski地毯的Hausdorff测度。     

m分Cantor尘的Hausdorff测度

为得到一类相似分形的Hausdorff测度准确值．给出了m分Cantor尘的几何结构,利用几何度量关系对m分Cantor尘的Hausdorff测度准确值进行研究．证明了m分Cantor尘的Hausdorff测度准确为H^s（E）=1/（m-1）^s[（m-2k＋1）^2＋（m-1）^2]^s/2,其中s=logm4,m≥4,1≤k≤m．结果表明它是Cantor尘和Sierpinski地毯的Hausdorff测度的准确值的推广,4分Cantor尘和4分Sierpinski地毯的Hausdorff测度的准确值是其特例．     

关于重分形形式有效性的一个新的充分条件(英文)

本文研究了关于重分形形式有效性的充分条件.利用Hausdorff重分形预测度Hμ和Hausdorff重分形测度Hq,tμ之间的关系,得到了重分形形式有效性的一个新的充分条件,推广了文献[2]中给出的关于重分形形式有效性充分条件的结果.     

直线上分形的Hausdorff测度的一个算法

本文给出了直线上Marion集的Hausdorff测度的一个有效计算方法,并通过几个实例得出如何利用此方法计算出直线上分形的Hausdorff测度的精确值.     

均匀三部分康托集的Hausdorff中心测度

均匀三部分康托集K(λ,3)是满足开集条件的自相似分形集．本文通过一个概率测度μ在点x的上球密度的计算给出了K(λ,3)的s维Hausdorff中心测度的精确值,其中s=logλ1/3是K(λ,3)的Hausdorff维数．     

Sierpinski垫片的Hausdorff测度

通过构造Sierpinski垫片的一个覆盖序列,得到它的Hausdorff测度的上限的一个递降序列。这个递降序列的极限是目前所知Sierpinski垫片的Hausdorff测度的最好上限。     

β-展开的水平集的维数

本文研究一类由β-展开所形成的水平集的分形结构.通过构造一族非齐次Cantor集,得到了这类水平集的Hausdorff维数,从而给出了这类集合大小的一个刻画.推广了文献[1]和[4]的结果.     

关于Sierpinski垫片的Hausdorff测度

本文给出了 Sierpinski垫片的另一构造方法 ,并给出了它的 Hausdorff测度的精确值     

广义统计自相似集的Hausdorff维数估计

作者进一步研究了在文章［１］中构造的广义统计自相似集的分形性质，得到了这类集合的Hausdorff维数和确切Hausdorff测度函数。文中的结果是［4］中结果的延拓。     

拟相似集的Hausdorff测度的特征

Siegfried GRAF在文献［1］中给出了自相似集上的Hausdorff测度(简称H-测度)的特征.John McLaughlin在文献［2］中引入了拟相似集的概念,K.J.Falconer又在文献［3］中讨论了拟相似集上H-测度和维数的性质.本文研究拟相似集上的H-测度的特征,并得出在一定条件下支撑于其上满足一定条件的测度与H-测度的等价性条件.     

Koch曲线的Hausdorff测度上界的研究

研究了 Koch曲线的Hausdorff测度的上界估计,通过在Koch曲线上构造分形级更高的新覆盖,得到新覆盖与Koch曲线的交集对应的连通弧,并利用相关定理计算出了 Koch曲线的Hausdorff测度,得到了更好的上界估计值Hs(K)≤0.58764947.这是迄今所知的Koch曲线的Hausdorff测度的最好上界.进一步的分析得出:Koch曲线的Hausdorff测度的精确上界在0.58764946至0.58764947之间.     

具有有限记忆的随机分形的重分形分解

Dryakhlov和Tempelman对具有有限记忆的随机分形集的Hausdorff维数进行了研究,本文对具有有限记忆的随机分形集K(ω)的重分形分解集Kα(ω)进行研究,得到了在一定条件下,这种随机分形集重分形分解集Kα(ω)的Hausdorff维数表达式.     

一类分形集的水平截线集的Hausdorff维数

设ER2为一个分形集,lt（t∈R）为平行于x轴的直线,且在y轴上的截距为t;称E∩lt为E的水平截线集,本文研究了一些分形集的水平截线集的Hausdorff维数。     

关于满足强分离开集条件的自相似集的Hausdorff测度

设E是Rn中由相似压缩S1,S2,…,Sm所确定的满足开集条件的自相似集,其Hausdorff维数为s,其s-维Hausdorff测度记为Hs(E).利用部分估计原理得到了本文的主要结果:若E满足强分离开集条件,则在E中存在一个压缩拷贝串序列{Ui}和紧集U(|U|>0),使得Hs(U)等于|U|s,并且{Ui}按Hausdorff度量收敛到U,进而证明了由U可以构造一个数列,使得该数列正好收敛到Hs(E);另外,引入了自相似集的相似压缩不动点,得到了等式Hs(E∩U)=|U|s 成立的一个必要条件.     

Haudorff测度与等径不等式

对于:Hausdorff维数为s>0的满足开集条件的自相似集E(?)Rn(n>1),我们引入等径不等式Hs|E(X)≤|X|s,以及使该不等式等号成立而直径大于0的极限集U(?)Rn.这里,Hs|E(·)是限制到集合E上的s维Hausdorff测度,而|X|指集合X在欧氏度量下的直径.当s=n时,n维球是唯一的极限集;当s∈(1,n)时,除去一些反面例子以外,我们对上述等径不等式的极限集的基本性质所知甚少.可以看出,这些不等式与Hs(E)的准确值的计算有密切联系.作为特例,我们将考虑Sierpinski垫片,指出计算这一典型自相似集的In2/In3维Hausdorff测度准确值的困难何在.由此可以大致推想,为什么除去平凡情形以外,至今还没有一个具体的满足开集条件而维数大于1的自相似集的:Hausdorff测度准确值被计算出来.     

SIM在使用中应注意的条件

本文介绍了Hausdorff与Box分形维数及测度，首次引入了周积规范比的概念，给出了SIM的正确数学描述及证明，提出了使用SIM的充分条件，并将该方法进行了修正．