有限超可解群的几个特征性质(英文)

这篇短文的第一部分给出Hupperl定理:“每极大子群有质数指数的有限群为超可解”的一个不用表示论及Gasohiilz定理的证明。该证明得自 定理1 若有限群G有p~α阶极小正规子群N使G/N为超可解,则或者1)G有极大子群M使G=MN,M∩N=E, 或者2)G有质数阶正规子群。. 在可解时Huppert定理推广为: 定理2 设G为有限可解群。于是G为超可解当且仅当每极大子群在G内的指数不含平方因子。 单群A_5说明本定理的假设“G可解”是必要的。 本文第二部分是Molain定理的推广: 定理3 设h=|H|的最小质因子为p_h,最大质因子为q_h,若有限群G的每子群H对其阶h恒存在指数为p_h及q_h的子群,则G为超可解。 更广泛的结论为: 定理4 有限群G为超可解当且仅当存在G的两个子群链 G=G_0>G_1>G_2>…>G_8>E, G=H_0>H_1>H_2>…>H_8>E,使指数列[G_0:G_1],[G_1:G_2],…,[G_8:E]为从小到大的质数,而[H_0:H_1],[H_1:H_2],…,[H_8:E]为从大到小的质数。     

Some Characterizations of a Finite Supersolvable Group (in English)

这篇短文的第一部分给出Huppert定理：“每极大子群有质数指数的有限群为超可解”的一个不用表示轮及Gaschutz定理的证明。该证明得自 定理1 若有限群G有p^\alpha阶极小正规子群N使G/N为超可解，则或者1）G有极大子群M使G=MN,M\cap N=E,或者2）G有质数阶正规子群。 在可解时Huppert定理推广为： 定理2 设G为有限可解群。于是G为超可解当且仅当每极大子群在G内的指数不含平方因子。 单群A_5说明本定理的假设“G可解”是必要的。 本文第二部分是Mclain定理的推广： 定理3 设h=|H|的最小质因子为p_h,最大质因子为q_h，若有限群G的每子群H对其阶h恒存在指数为p_h及q_h的子群，则G为超可解。 更广泛的结论为： 定理4 有限群G为超可解当且仅当存在G的两个子群链 $G=G_0>G_1>G_2>\cdots >G_s>E$ $G=H_0>H_1>H_2>\cdots >H_s>E$ 使指数列[G_0:G_1],[G_1:G_2],\cdots,[G_s:E]为从小到大的质数，而[H_0:H_1],[H_1:H_2],\cdots,[H_s:E]为从大到小的质数。     

非幂零真子群同阶类类数给定的有限群

作为Schmidt定理的推广,证明了:(1)非幂零真子群同阶类类数<3的有限群可解;(2)G为非幂零真子群同阶类类数=3的非可解群当且仅当G≌A_5或G≌SL_2(5).此外,完全分类了非平凡幂零子群同阶类类数≤5的非可解群和非平凡子群同阶类类数≤9的非可解群.     

有限群共轭类长的一个问题

设A和B都是有限群G的子群且G=AB.若A是G的次正规子群,且对每个p∈π(G)以及每个素数幂阶的p′-元x∈A∪B,p~2均不整除|x~G|,则G为超可解群.这个结果正面解答了由石向东,韦华全和马儇龙于2013年提出的一个问题,统一推广了由刘晓蕾于2011年得到的三个定理.     

具有较少非循环子群共轭类的有限群

设G是有限群,用δ(G)表示群G的非循环子群的共轭类数,πr(G)表示整除|G|的素因子的集合.本文主要研究满足条件δ(G)≤|π(G)|+1的有限群,得到这类群可解,并给出它们的同构分类进一步证明,δ(G)=|π(G)|+2的有限非可解群必同构于A_5或SL(2,5).     

非正规极大子群同阶类类数=2的有限群

本文利用有限单群分类定理证明了下述定理:如果有限非可解群G恰有2个非正规极大子群同阶类,那么G/S(G)?PSL(2,7),这里S(G)表示G的最大可解正规子群。     

有限群的素数幂阶S-拟正规嵌入子群

设G为有限p-可解群,其中p为|G|的奇素因子.若P为G的Sylow p-子群且最小生成系含d个元素.考虑集合M_d(P)={P_1,…,P_d},其中P_1,…,P_d是P的极大子群且满足(?)P_i=φ(P).证明了若M_d(P)中每个元在G中是S-拟正规嵌入的,则G为p-超可解群.作为应用,还得到了一些进一步的结论.     

有限群的素数幂阶S-拟正规嵌人子群

设G为有限p-可解群,其中p为|G|的奇素因子.若P为G的Sylow p-子群且最小生成系含d个元素.考虑集合Md(P)={P1,…,Pd}其中P1,…,Pd是P的极大子群且满足d∩i=1Pi=Φ(P).证明了若Md(P)中每个元在G中是S-拟正规嵌入的,则G为p-超可解群.作为应用,还得到了一些进一步的结论.     

有限群的最大子群的性质对群结构的影响（英文）

有限群G的一个子群称为在G中是π-拟正规的若它与G的每一个Sylow-子群是交换的.G的一个子群H称为在G中是c-可补的若存在G的子群N使得G=HN且H∩N≤H_G=Core_G(H).本文证明了:设F是一个包含超可解群系U的饱和群系,G有一个正规子群H使得G/H∈F.则G∈F若下列之一成立:(1)H的每个Sylow子群的所有极大子群在G中或者是π-拟正规的或者是c-可补的;(2)F~*(H)的每个SyloW子群的所有极大子群在G中或者是π-拟正规的或者是c-可补的,其中F~*(H)是H的广义Fitting子群.此结论统一了一些最近的结果.     

有限群的最大子群的性质对群结构的影响

有限群G的一个子群称为在G中是π-拟正规的若它与G的每一个Sylow-子群是交换的.G的一个子群H称为在G中是c-可补的若存在G的子群N使得G=HN且H∩N≤HG=CoreG(H).本文证明了:设F是一个包含超可解群系u的饱和群系,G有一个正规子群H使得G/H∈F.则G∈F若下列之一成立:(1)H的每个Sylow子群的所有极大子群在G中或者是π-拟正规的或者是c-可补的;(2)F*(H)的每个Sylow子群的所有极大子群在G中或者是π-拟正规的或者是c-可补的,其中F*(H)是H的广义Fitting子群.此结论统一了一些最近的结果.     

有限π-拟幂零群

本文把有限幂零群的概念推广为有限π-拟幂零群,证明了这类群的一系列性质。文中定理9推广了[1]的两个主要结果。 本文涉及的群G均指有限群。 定义1 设π为某素数集合。N≤G。若(?)P_i∈π,G的Sylow p_i-子群均与N可换,则称N为G的一个π-拟正规子群。(当p_i(?)°(G)时,G的Sylow p_i-子群理解为G的单位元群1;若π为空集,则1是G的唯一的π-子群。此时G的每个子群是π-拟正规的)[2]。     

用极大子群刻划Sy-群

用极大子群来刻划群类已有很多结果,例如:有限群G是幂零群的充要条件是G的极大子群是正规的;有限群G为超可解群的充要条件是G的极大子群的指数为素数;有限群为循环p-群的充要条件是有唯一极大子群,等等。在这篇文章中,我们用一个极大子群条件来刻划 Sy-群(由〔2〕知道,有限群G是Y-群的充要条件是G=MN,其中M,N是G的幂零Hall子群,N=r_∞(G)是G的幂零剩余,且对任意N之子群H有G=N·N_G(H)。而Sy-群是子群封闭的Y-群)。为此,我们先讨论Y-群的极大子群的性质。     

F-S-可补的子群对有限群结构的影响

设F是一个群系.群G的一个子群H在G中F-S-可补,如果存在G的子群K,使得G=HK且K/K∩HG∈F,其中HG表示G包含在H中的最大的正规子群.本文利用群系理论研究子群的F-S-可补性对有限群结构的影响,得到如下结论:设F是子群闭的局部群系,G是有限群且GF是可解的.则G∈F的充要条件是下列条件之一:(1)G存在正规子群N使得G/N∈F且N的极小子群及4阶循环子群(p=2)均在G中F-S-可补.(2)G存在正规子群N使得G/N∈F,N的4阶循环子群在G中有F-S-补且N的极小子群皆包含在Z∞F(G)中.应用这些结论,可以得到一些推论,其中包括已知的相关结果.     

Sylow子群的极大子群次正规的群

<正> S.Srinivasan证明若G的每个Sylow子群的极大子群皆在G中正规,则G超可解.本文从三个方面继续研究了Sylow子群的性质对群结构的影响.§1证明若存在G的正规子群N使G/N超可解且N的Sylow子群的极大子群在G中S拟正规(sqn),则G超可解.§2研究了Sylow子群的极大子群皆次正规的群G,给出了G为非超可解群(超可     

极大类2群的2次中心扩张

设N,H是任意的群.若存在群G,它有正规子群N≤Z(G),使得N≌N且G/N√≌H,则称群G为N被H的中心扩张.完全分类了当N为2阶循环群及H为极大类2群时,N被H的中心扩张得到的所有互不同构的群.     

内-(π,π′)-闭群与Isaacs定理

一群G叫做内-Σ群,若G不为Σ群但其每真子群为Σ群。群G叫做(π,π′)-闭,若G为π-闭或π′-闭,其中π′是π对素数全集的余集。G叫做π-闭,若其有正规π-Hall子群。本文给出了内-(π,π′)-闭群的结构并得到了下述结果。 设群G的p-Sylow子群循环。如果1)每p′-子群幂零;2)对每q|p-1,G的q-Sylow子群为准正则;3)当p=3时,G与S_4无关,则G为(p,p′)-闭群。     

非幂零极大子群共轭类类数给定的有限群

证明了非幂零极大子群共轭类类数等于2的有限群必可解,并给出了非幂零极大子群同阶类类数等于2的非可解群的等价刻画.     

有限群为超可解群的充要条件

用置换条件刻画有限可解群的超可解性已有大量结果,本文的目的是给出另外一些有限可解群为超可解的充要条件。其主要结果是: 1.设G是满足置换条件的有限可解群,则G是超可解群当且仅当如下条件之一成立。 1)G的2-Sylow子群G_2的换位子群G_2′G. 2)G有正规2-补。 2.设G是有限可解群,则G超可解当且仅当G和G′均满足置换条件.     

关于某些子群的共轭置换性的研究

设G是一个有限群,p是|G|的一个素因子,P是G的一个Sylow p-子群,A和B是G的两个子群.当p阶子群在G中共轭置换且可补时,获得了P的正规性并描述了P的结构.这表明当G的极小子群均在G中共轭置换且可补时,G是幂零的.特别地,当p是G的阶的最小素因子时,证明了G是p-可分解的.在此基础上,把上述结论推广到G=AB并且A∪B中的极小子群具有相应性质时的情形.除此之外,还证明了当G有一个循环极大子群是F(G)-共轭置换时G的超可解性.     

三个或多个素变数的线性方程

设G是有限群,p是|G|的一个素因子,P是G的一个Sylow p-子群.若下列条件之一满足,则G是p-幂零:(1)P的极大子群均在G中S-半正规且(|G|,p-1)=1;(2)P的二次极大子群均在G中S-半正规且(|G|,p2-1)=1.