有限超可解群的几个特征性质(英文)

这篇短文的第一部分给出Hupperl定理:“每极大子群有质数指数的有限群为超可解”的一个不用表示论及Gasohiilz定理的证明。该证明得自 定理1 若有限群G有p~α阶极小正规子群N使G/N为超可解,则或者1)G有极大子群M使G=MN,M∩N=E, 或者2)G有质数阶正规子群。. 在可解时Huppert定理推广为: 定理2 设G为有限可解群。于是G为超可解当且仅当每极大子群在G内的指数不含平方因子。 单群A_5说明本定理的假设“G可解”是必要的。 本文第二部分是Molain定理的推广: 定理3 设h=|H|的最小质因子为p_h,最大质因子为q_h,若有限群G的每子群H对其阶h恒存在指数为p_h及q_h的子群,则G为超可解。 更广泛的结论为: 定理4 有限群G为超可解当且仅当存在G的两个子群链 G=G_0>G_1>G_2>…>G_8>E, G=H_0>H_1>H_2>…>H_8>E,使指数列[G_0:G_1],[G_1:G_2],…,[G_8:E]为从小到大的质数,而[H_0:H_1],[H_1:H_2],…,[H_8:E]为从大到小的质数。     

Some Characterizations of a Finite Supersolvable Group (in English)

这篇短文的第一部分给出Huppert定理：“每极大子群有质数指数的有限群为超可解”的一个不用表示轮及Gaschutz定理的证明。该证明得自 定理1 若有限群G有p^\alpha阶极小正规子群N使G/N为超可解，则或者1）G有极大子群M使G=MN,M\cap N=E,或者2）G有质数阶正规子群。 在可解时Huppert定理推广为： 定理2 设G为有限可解群。于是G为超可解当且仅当每极大子群在G内的指数不含平方因子。 单群A_5说明本定理的假设“G可解”是必要的。 本文第二部分是Mclain定理的推广： 定理3 设h=|H|的最小质因子为p_h,最大质因子为q_h，若有限群G的每子群H对其阶h恒存在指数为p_h及q_h的子群，则G为超可解。 更广泛的结论为： 定理4 有限群G为超可解当且仅当存在G的两个子群链 $G=G_0>G_1>G_2>\cdots >G_s>E$ $G=H_0>H_1>H_2>\cdots >H_s>E$ 使指数列[G_0:G_1],[G_1:G_2],\cdots,[G_s:E]为从小到大的质数，而[H_0:H_1],[H_1:H_2],\cdots,[H_s:E]为从大到小的质数。     

每个子群都c-正规的有限群

在本文中我们研究有限CN-群, 即每个子群都c-正规的有限群. 我们得到以下结果:群G是CN-群当且仅当G^∈的每个子群都在G中正规.群G是CN-群当且仅当G可解且c-正规性是传递的.设p是一个奇素数, P是一个p-群, 则P是一个CN-群当且仅当Φ(P)≤Z(P).我们也得到了一些CN-群的直积为CN-群的判别条件.     

超可解群的概况

有限群方面的问题较多,个人了解的很少,本文仅就个人所知道的超可解群发展的近况作一个梗概的介绍. 除幂零群外,经常碰到的有限群大别为两类(单群与可解群,当然幂零群也是可解的).已知凡阶为p~aq~b形的群以及奇阶群都是可解的,所以说有限阶可解群几乎普遍地存在,因之提出这样一个问题,即在幂零群与可解群之间研究较幂零群范围广而较可解群范围窄的一类的群是有必要且有意义的.这类群现在叫超可解群.所谓G是超可解群,指的是G有一个正规群列G=G_0>G_1>G_2>…>G_(r-1)>G_r=1(即每G_i为G之正规子群,记作G_i G),使得每商群G_i/G_(i+1)为循环群.于是超可解群必具有限多个生成元,     

有限超可解群的两个性质

依照Hall,M,超可解群(supersolvable group)定义如下:设群G具有一个有限的正规群列 G=G_(?)G_1(?)G_2(?)…(?)G_m=1,它的每个商群G_1/G1+1((?)=O,1,…,m-1)都是循环群,则群G称为超可解群. 本文讨论与超可解群有关的两个问题: 1 Lagrange定理的逆命题; 2 Wielandt定理的简单推广.     

极大子群同阶类类数不大于2的有限群

本文证明了如下结果 1.设G是恰含两个极大子群同阶类的有限单群,则G(?)PSL(2,7)。 2.设G是有限群,若G中极大子群同阶类类数ι≤2,则|π(G)|≤3。且 (1) ι=1当且仅当G为p-群。 (2) ι=2时,有 (a) 若G可解,则|π(G)|=2; (b) 若G不可解,则π(G)={2,3,7},且其中M[N]为正规子群N与子群M的半直积,     

有限群共轭类长的一个问题

设A和B都是有限群G的子群且G=AB.若A是G的次正规子群,且对每个p∈π(G)以及每个素数幂阶的p′-元x∈A∪B,p~2均不整除|x~G|,则G为超可解群.这个结果正面解答了由石向东,韦华全和马儇龙于2013年提出的一个问题,统一推广了由刘晓蕾于2011年得到的三个定理.     

有限超可解群的新描述

设A为群G的一个子群且X 为G的一个非空子集. 如果A在G内有一个补充T满足对T的任意子群T₁存在一个元素x∈X, 使得$AT_1^x=T_1^xA$, 则称A为G的X-半置换子群. 在这一概念的基础上得到有限超可解群的一些新描述.     

剩余有限minimax 可解群的几乎正则自同构

设G 是一个剩余有限的minimax 可解群, α 是G 的几乎正则自同构, 则G/[G, α] 是有限群, 并且(1) 当α^p = 1 时, G 有一个指数有限的幂零群其幂零类不超过h(p), 其中h(p) 是只与素数p 有关的函数.(2) 当α² = 1 时, G 有一个指数有限的Abel 特征子群且[G, α]′ 是有限群.关键词剩余有限minimax 可解群几乎正则自同构     

剩余有限minimax可解群的自同构

设G是剩余有限minimax可解群,α是G的自同构且φ:G→G(g→[g,α])是满射,则有以下结果:(1)当α~p=1时,G是幂零类不超过h(p)的幂零群的有限扩张,其中h(p)是只与p有关的函数;(2)当α~4=1时,G存在一个指数有限的特征子群H,使得H″≤Z(H)和C_H(α~2)是Abel群.并且C_G(α~2)和G/[G,α~2]都是Abel群的有限扩张.     

有限群的ss-置换子群

设G为有限群,称G的子群H为ss-置换子群,如果存在G的次正规子群B使得G=HB,且H与B的任意Sylow子群可以交换,即对任意X∈Syl（B）有XH=HX.利用子群的ss-置换性来研究有限群的结构,得到有限群超可解的两个充分条件.     

关于多重循环群的一个定理

设Ｇ是个有限生成的超Abel群,本文证明了;当Fit(G/FratG)满足子群的极大条件时,G是个多重循环群;当Fit(G/FratG)满足子群的极小条件时,G是个有限可解群     

本原环之间的有限结构定理及其在Galois理论中的应用(英文)

设是除环F上向量空间,P是F的一个子除环且在F中是Galois,即存在F的一个自同构群G使I(G)=P。记Φ是F的中心,G_0是属于G的内自同构群,G_0的元素记为I_r,r∈F.记是G的代数,P′=C_F(E′)是E′在F中的中心化子。记是的F-线性变换完全环,是中所有秩小于的元素集合,那末我们有如下主要结果: (1) [F:P′]_L=n有限当且仅当,其中表示元素r_i的标量左乘。 (2) [P′:P]_L=t有限当且仅当,其中S_j表示的F-半线变换自同构,它的伴随同构ψ_j∈G。 (3) 如有某个序数v使T_v(P,),T_v(P′,)及T_v(F,)满足(1)及(2)中的关系式,那末对任何T_μ(P,),T_μ(P′,)及T_μ(F,)皆满足(1)及(2)中的关系式。特別对及是如此。 (4) 如果[F:P]_L有限,那末必有,其中dim.E′表示E′在φ上的维数,[G/G_0]表示G_0在G中的指数。特别G是Galois群,则 (5) 若是F的另一自同构群且,那末必有,其中表示的代数。 如果P取为F的中心时,于是从上述结果(1)就得出熟知的定理:[F:Φ)是有限的当且仅当。 另方面,运用我们上述的结果,可导出除环F的有限Galois理论。     

群的n次方群

设 G 是群,n 是自然数.首先给出 G 的 n 次方群〈G~n〉的定义,给出 n 次方闭群的定义;而后讨论〈G~n〉的一些性质,讨论 G 是 n 次方闭群的条件;最后,利用〈G~n〉,对于有限群的可解性作简单的讨论,得到:1°有限群 G 可解(?)存在素数 p,〈G~p〉可解;2~°设 G 是有限群,存在自然数 m,使〈G~(p~m)〉={e},p 为一素数,则 G 可解.     

非幂零真子群同阶类类数给定的有限群

作为Schmidt定理的推广,证明了:(1)非幂零真子群同阶类类数<3的有限群可解;(2)G为非幂零真子群同阶类类数=3的非可解群当且仅当G≌A_5或G≌SL_2(5).此外,完全分类了非平凡幂零子群同阶类类数≤5的非可解群和非平凡子群同阶类类数≤9的非可解群.     

有限群为超可解的充要条件

本文证明了有限群为超可解的两个充要条件,即:设 P_r 为有限群 G 之阶的最大素因数,S_r 为G 之正规 Sylew p_r—子群,则当 G/S_r 为超可解,以及 G 中存在一个指数为 P_r 的超可解子群K 时,那么 G 是超可解的;另外,又证明了把 K 为超可解这一条改为它有一切阶 p_r~i(i=1,2,…,α_r-1)的正规子群时,仍可得到 G 是超可解的。     

弱SS-半置换性极小子群对有限群超可解性的影响

引入弱SS-半置换子群的概念,介绍了弱SS-半置换子群的性质,结合有限群G的极小于群的弱SS-半置换性,并结合C-正规性来讨论有限群的超可解性及幂零性,得到了有限群超可解及幂零的若干充分或充要条件,同时推广了某些著名结果.     

有限秩的幂零群的自同构

设幂零群G=KP=PK,其中P是有限秩的幂零π-群,K是G的有限秩的π′-自由的正规子群.π不属于K的谱Sp(K),设1=ζ0Gζ1G…ζcG=G是G的上中心列,α和β是G的两个自同构,把α和β在每个商因子ζiG/ζ(i—1)G上的诱导自同构分别记为αi和βi,记Ii:=Im(αiβi—βiαi),则(i)当每个Ii都是有限循环群,并且I:=〈(αβ(g))(βα(g))(-1)|g∈G〉是G的有限子群时,α和β生成一个可解的几乎Abel群.(ii)当每个Ii或者是有限循环群,或者是秩1的可除群,或者是C⊕D,其中C是循环群,D是秩1的可除群,或者是无挠的局部循环群,或者Ii有正规子群列1JiIi,其商因子分别为有限循环群,无挠的局部循环群,或者Ii=D⊕Ji,其中D是秩1的可除群,Ji为无挠的局部循环群,或者Ii有正规列1KiJiIi,其商因子分别为有限循环群,秩1的可除群,无挠的局部循环群时,β和β生成一个可解的NAF-群.特别地,如果α和β是A的两个π′-自同构,那么(iii)当每个Ii都是有限循环群,并且I:=〈(αβ(g))(βα(g))(-1)|g∈G〉是有限群时,α和β生成的群是有限幂零π-群被有限Abelπ′-群的扩张.(iv)当每个Ii或者是有限循环群,或者是秩1的可除群,或者是C⊕D,其中C是循环群,D是秩1的可除群时,α和β生成一个可解的剩余有限π∪π′-群,它是有限生成的无挠幂零群被有限可解π∪π′-群的扩张.(v)当每个Ii或者是有限循环群,或者是秩1的可除群,或者是C⊕D,其中C是循环群,D是秩1的可除群,或者是无挠的局部循环群,或者Ii有正规子群列1JiIi,其商因子分别为有限循环群,无挠的局部循环群,或者Ii=D⊕Ji,其中D是秩1的可除群,Ji为无挠的局部循环群,或者Ii有正规列1KiJiIi,其商因子分别为有限循环群,秩1的可除群,无挠的局部循环群时,α和β生成一个可解的剩余有限π∪π′-群,它的幂零长度至多是4.当K是FC-群时,在情形(v)中,α和β生成的群是有限生成的无挠幂零群被有限可解π∪π′-群的扩张.此外,如果G=KP,K是一个FC-群,对G的下中心列考虑了类似的问题,得到了对偶的结果.     

半正规n-极大子群对有限群结构的影响

设△↓n(G）为有限群G的n次极大子群的全体。1．若△↓4（G）中的子群均在G中半正规,则下述结论之一成立：（1）G是可解群;（2）G／φ（G）＝A5,（3）G/φ(G)=PSL(2,13);(4)G／φ（G）＝PSL（2,p),满足p=4p1 1=6p2-1,这里p1≥43,p2≥29;(5)G/φ(G)=PSL(2,p),满足p=6p1 1=4p2-1,这里p1≥7,p2≥11.2。2．设3不属于π（G）,若△↓（G）中的子群均在G中半正规,则G是可解群,或G／φ(G)=Sz(2^3).     

有限CN-p-群

每个子群都C-正规的有限群称为CN-群.本文首先给出二元生成的CN-p-群的完全分类.在此基础上得到CN-p-群的结构:当p为奇素数时,有限群G为CNp-群当且仅当G的每个元都平凡地作用在Φ(G)上;有限群G为CN-2-群当且仅当对任意给定的a∈G,都有对任意g∈Φ(G),g~a=g或者对任意g∈Φ(G),g~a=g~(-1).最后给出两个CN-p-群的直积是CN-p-群的判定条件.