关于Jacobi矩阵逆特征值问题的扰动分析

１预备 若不特别说明,本文沿用［６］中记号． Ｈｏｃｈｓｔａｄｔ于１９６７年提出如下问题［１］： 问题Ⅰ　给定两组实数｛λ｝ｎｊ＝１＝１和｛μ｝ｎ＝１ｉ＝１,满足构造一个ｎ阶实对称三对角矩阵Ｊｎ,使得λ１,…λｎ为人的特征值,而Ｊｎ－１阶顺序主子阵的特征值为μ１,…,μｎ－１． 问题Ⅱ　给定一组实数｛λｊ｝ｎｊ＝１,满足构造一个ｎ阶全对称三对角矩阵Ｊｎ（ｓ）,使得Ｊｎ（ｓ）的特征值为λ１,λ２,…λｎ． ｄｅ Ｂｏｏｒ和Ｇｏｌｕｂ［４］提出如下问题： 问题Ⅲ　给定两组实数满足构造ｎ阶实对称三对角矩阵Ｊ…     

双对称非负定阵一类逆特征值问题的最小二乘解

１．引言 逆特征值问题在工程中有广泛的应用,其研究已有一些很好的结果［１－５］．最近,文［６］还研究了双对称矩阵逆特征值问题,即研究了如下两个问题： 问题Ａ．已知Ｘ∈Ｒｎｘｍ,Ａ＝ｄｉａｇ（λ１…,λｍ）,求Ａ∈ＢＳＲｎｘｎ使 ＡＸ＝ＸＡ,其中 Ｒｎｘｍ表示全体 ｎ ｘ ｍ实矩阵集合, ＢＳＲｎｘｎ表示全体 ｎ ｘ ｎ双对称阵集合． 问题Ｂ．已知Ａ＊ＥＲｎｘｎ,求Ａ∈ＳＥ使 ｜｜Ａ＊－Ａ｜｜＝ ｉｎｆ ｜｜Ａ＊－Ａ｜｜ ＡＦＳＥ其中 ＳＥ是问题 Ａ的解集合,｜｜． ｜｜表示 Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ范数． 在实际问题中, …     

关于加法逆特征值问题

１．引言 设Ａ（ｃ）＝（ａｉｊ（ｃ））是ｎ阶实矩阵,其元素ａｉｊ（ｃ）（ｉ,ｊ＝１,…,ｎ）是参变量ｃ＝（Ｃ１,…,ｃｎ）Ｔ的实解析函数,λ１（ｃ）,…,λｎ（Ｃ）是矩阵Ａ（ｃ）的特征值,λ１,…,λｎ是给定的实数,代数特征值反问题［４］就是研究如何求解实的ｃ,使Ａ（ｃ）的特征值为给定的λ１,…,λｎ． 假设给定的ｎ个数λ１,…,λｎ互异,且问题的解存在（解不存在时可考虑某种形式的最小二乘解）,过去的研究一般是直接研究或将问题转化为如下等价的非线性方程组 ｄｅｔ（Ａ（ｃ卜人Ｉ）一０, ｉ＝ １,…,…     

厄米特矩阵的迹的几点性质

应用矩阵Ａ＝（ａｉｊ）∈Ｃｎ×ｎ的弗罗伯尼范数ＡＦ和谱范数ＡＳ，研究厄米特矩阵的迹的性质，得到几个结论：Ｔｒ（ＡＢ）＝∑ｎｉ＝１λｉ∑ｎｊ＝１ｔｉｊμｊ（λｉ，μｊ分别为Ａ，Ｂ的特征值，０≤ｔｉｊ≤１，且∑ｎｉ＝１ｔｉｊ＝１，ｊ＝１，２，…，ｎ）；Ｔｒ（ＡＢ）≤Ｔｒ（Ａ）ＢＳ；Ｔｒ（ＡＢ）Ｈ（ＡＢ）］≤Ｔｒ（ＡＨＡ）［ｍａｘ１≤ｉ≤ｎλｉ］２（λｉ是Ｂ的特征值）等．     

关于Brualdi谱包含域的一点注记

关于矩阵的谱包含域的研究是矩阵分析领域中具有重要意义及广泛应用价值的课题．经典的结果有 Ｇｅｒｓｃｈｇｏｒｉｎ圆盘域, Ｃａｓｓｉｎｉ卵形域［１］． Ｂｒｕａｌｄｉ于 １９８２年按环路给出了新的诸包含域．这一阶段性成果改进了经典的圆盘域及卵形域［２,３］．但没有讨论到特征值的排除问题．本文在［２］的基础上给出了特征值的排除定理,改进了经典的Ｇｅｒｓｃｈｇｏｒｉｎ圆盘域及Ｃａｓｓｉｎｉ卵形域之排除定理． 在本文中,我们记全体ｎ阶复方阵的集合为Ｃ（Ａ）表Ａ＝（ａｉｊ）Ｃ的谱,即特征值集合．Ａ的方向图记作…     

关于广义特征值估计的一个Gerschgorin型定理

关于广义特征值估计的一个Ｇｅｒｓｃｈｇｏｒｉｎ型定理刘裔宏（中南工业大学）设Ｃｎ这复ｎ维向量空间，Ｃ（ｎ×ｎ）为ｎ×ｎ复矩阵空间。对于普通特征值问题Ａｘ＝λｘ，Ｇｅｒｓｃｈｇｏｒｉｎ在１９３７年得到著名的Ｇｅｒｓｃｈｇｏｒｉｎ定理［１］：设Ａ＝（ａ（...     

GAOR迭代法和Jacobi迭代法的敛散关系

本文将文［１］中ＡＯＲ法和Ｊａｃｏｂｉ法同时敛散的结论推广到ＧＡＯＲ法．证明了当Ｊａｃｏｂｉ矩阵Ｂ非负时，解线性方程组Ａｘ＝ｂ（Ａ为不可约矩阵）的ＧＡＯＲ法（０≤γ_ｉ＜ω_ｉ≤１，ｉ＝１，２，…，ｎ）和Ｊａｃｏｂｉ法同时敛散，给出了其谱半径ρ（Ｌ_Ｒ，Ω）和ρ（Ｂ）之间的关系．     

椭圆一个定理的又一初等证明

定理　椭圆Ｃ：ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０）有且仅有两条对称轴：直线ｘ＝０和ｙ＝０．文［１］指出,这个定理的证明一般要用到仿射几何知识,同时文［１］给出了一个初等证明．笔者再给出这个定理的又一种初等证明如下．定理的证明　易验证直线ｘ＝０和ｙ＝０均是椭圆Ｃ的对称轴．因点Ｂ（０,ｂ）关于直线ｘ＝ｋ（ｋ≠０）的对称点Ｂ′（２ｋ,ｂ）不在椭圆Ｃ图１上,故直线ｘ＝ｋ（ｋ≠０）不是椭圆Ｃ的对称轴．设Ｆ１,Ｆ２是椭圆Ｃ的两个焦点,椭圆Ｃ的长轴Ａ１Ａ２关于直线ｌ：ｙ＝ｋｘ＋ｎ（ｋ,ｎ至少有一个不等于零）的…     

对一个几何不等式猜想的证明

刘健老师在文［１］中曾提出了一个难度较大的几何不等式猜想，即Ｓｈｃ２７在锐角△ＡＢＣ中，证明或否定∑ｗｂｗｃｂｃ≥９４．（１）本文将证明（１）式成立．我们在文中约定如下符号：△ＡＢＣ的三边长为ＢＣ＝ａ，ＣＡ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ，其对应边上的角平分线分别为ｗ...     

数学问题解答

数学问题解答１９９７年１１月号问题解答（解答由问题提供人给出）１１０１设ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ是正整数，且ａ＜ｂ＜ｃ＜ｄ＜ｅ，［ｍ，ｎ］是ｍ与ｎ的最小公倍数．求：１［ａ，ｂ］＋１［ｂ，ｃ］＋１［ｃ，ｄ］＋１［ｄ，ｅ］的最大值．解设Ｓ＝１［ａ，ｂ］＋１［ｂ...     

ON THE MULTIPLICATIVE INVERSE EIGENVALUE PROBLEMS

We present new sufficient conditions on the solvability and numerical methods for the following multiplicative inverse eigenvalue problem: Given an n x n real matrix A and n real numbers λ1 , λ2,..., λn, find n real numbers c1, c2,..., cn such that the matrix diag(c1,c2,...,cn)A has eigenvalues λ1,λ2,..., λn.     

COMPUTING THE NEAREST BISYMMETRIC POSITIVE SEMIDEFINITE MATRIX UNDER THE SPECTRAL RESTRICTION

Let A and C denote real n × n matrices. Given real n-vectors x1, ... ,xm, m ≤ n, and a set of numbers L = {λ1,λ2,... ,λm}. We describe (I) the set (?) of all real n × n bisymmetric positive seidefinite matrices A such that Axi is the "best" approximate to λixi, i = 1,2,...,m in Frobenius norm and (II) the Y in set (?) which minimize Frobenius norm of ||C - Y||.An existence theorem of the solutions for Problem I and Problem II is given and the general expression of solutions for Problem I is derived. Some sufficient conditions under which Problem I and Problem II have an explicit solution is provided. A numerical algorithm of the solution for Problem II has been presented.     

Lp[0,1]空间Müntz有理逼近的Jackson型估计

设Λ={λn}n∞=1为正的实数数列,且当n→∞时,有λn↘0.本文给出了当λn≤Mn-1/2,n=1,2,…,(其中M＞0为一正常数)时Müntz系统{xλn}的有理函数在Lp[0,1]空间的逼近速度,主要结论为Rn(f,Λ) Lp≤CMω(f,n-1/2)Lp,1≤p≤∞.     

一个加性混合幂丢番图不等式Ⅲ

证明了:如果λ1,…,λ11,μ是非零实数,并且不同一符号,至少有一个λi/λj是无理数,那么对任意实数η和ε>0,不等式λ1x14 … λ11x141 μy2 η<ε有无穷多正整数解x1,…,x11,y.     

不完整区间上整数及其逆的差

设实数λ, δ 满足0 < λ, δ ≤ 1, n > 2 为整数. 本文研究了不完整区间[1,[λn]] 上整数与其模n逆的差. 定义S(n, λ, δ) = #{a : 1 ≤ a ≤ λn, (a, n) = 1, |a - a| < δn}, 本文给出了有关S(n, λ, δ) 的一些渐近公式.     

常系数线性方程组的一种新解法

对于常系数线性微分方程组:dx/dt=Ax(A是n阶实常数矩阵)通过特征根λ和对应的特征行向量K:K~T(A-λE)=0将微分方程组化为线性方程组:1°当有n个互异的特征根λ_1,λ_2,…,λ_n,对应的线性无关的特征行向量为K_1,K_2,…,K_n,若记K_i=(k_1,k_2,…,k_n)(i=1,2,…,n),则有方程组:(n∑i=1 k_ix_i)′=λ_j(n∑i=1 k_ix_I)(j=1,2,…,n);2°当有不同的特征根λ_1,λ_2,…,λ_m其重数分别为n_1,n_2,…,n_m,n_1+n_2+…+n_m=n,对应的线性无关的特征行向量为K_i=(k_1,K_2,…,k_n)(i=1,2,…,m),则有方程组:(n∑i=1 k_rx_r)′=λ_k(n∑i=1 k_rx_r)((A-λ_jE)x_(n_i)=0;i=1),(n∑i=1 k_rx_r)′=λ_j(n∑i=1k_rx_r)+c_(n_i)e~(λ_jt)((A-λ_kE)x_(i-1)=Ex_i,i=2,…,n_i).     

A Class of Constrained Inverse Eigenproblem and Associated Approximation Problem for Symmetric Reflexive Matrices

Let S∈Rn×n be a symmetric and nontrival involution matrix. We say that A∈E R n×n is a symmetric reflexive matrix if AT = A and SAS = A. Let S R r n×n(S)={A|A= AT,A = SAS, A∈Rn×n}. This paper discusses the following two problems. The first one is as follows. Given Z∈Rn×m (m < n),∧= diag(λ1,...,λm)∈Rm×m, andα,β∈R withα<β. Find a subset (?)(Z,∧,α,β) of SRrn×n(S) such that AZ = Z∧holds for any A∈(?)(Z,∧,α,β) and the remaining eigenvaluesλm 1 ,...,λn of A are located in the interval [α,β], Moreover, for a given B∈Rn×n, the second problem is to find AB∈(?)(Z,∧,α,β) such that where ||.|| is the Frobenius norm. Using the properties of symmetric reflexive matrices, the two problems are essentially decomposed into the same kind of subproblems for two real symmetric matrices with smaller dimensions, and then the expressions of the general solution for the two problems are derived.     

关于排队过程GI/E_k/l的若干結果

<正> §1.引言 采用Kendall的記号,所謂GI/E_k/1是指由下述条件規定的一个排队过程: (i)若用t_n表第n个顾客来到服务系统的时刻,而用ui=ti-t_(i-1)山表示相紕两顾客到达时刻間的間隔(簡称到达間隔),則这些u互相独立,并且服从同一分布     

Mn(C)中的不可约性

对于Mn(C)(所有n×n矩阵的全体)中的不可约矩阵得到以下结果:对于任意A∈Mn(C),设λ1,λ2,…,λm为A的所有特征值,这里m≤n而且当i≠j时,λi≠λj.则A是不可约的当且仅当任意P∈A'(A),P*=P=P2,有σ(P|ker(A-λ1))=σ(P|ker(A-λ2))=…=σ(P|ker(A-λm))为单点集.     

混合幂的素变数丢番图逼近

证明了,如果λ1,λ2,λ3,λ4是正实数,λ1/λ2是无理数和代数效,V是well-spaced序列,δ>0,那么对于ν,∈V,ν≤X,ε>0,使得|λ1p21+λ2p22+λ3p33+λ4p34-ν|<ν-δ没有素数解P1,p2,p3,p4的ν的个数不超过O(X20/21+2δ+ε).