关于半交换环与强正则环

本文得到了环Ｒ是强正则环的若干充分必要条件，证明了下面条件是等价的：（１）Ｒ是强正则的；（２）Ｒ是半交换正则的；（３）Ｒ是半交换的左ＳＦ－环；（４）Ｒ是半交换的ＥＬＴ环，且使得每个单左Ｒ－模是Ｐ－内射的或者平坦的；（５）Ｒ是半交换右非奇异的左ＳＦ－环；（６）Ｒ是半素的半交换左（或右）Ｐ－内射环．     

某些环的变换性条件

设Ｚ（Ｒ）是环Ｒ的中心，本文证明了下列的结果：（１）若Ｒ是一个Ｋｏｔｈｅ半单纯环，且对任意ａ，ｂ属于Ｒ，都存在一自然数Ｋ＝Ｋ（ａ，ｂ），一含有Ｘ＾２ｔ ｎ＝ｎ（ａ，ｂ）个Ｙ的字ｆＸ（Ｘ，Ｙ）及一整系数多项多式ψＸ（ｘ，ｙ）使得ａｂ＾ｋ－ｆＸ（ａ，ｂ）．ψＸ＇（ａ，ｂ）属于Ｚ（Ｒ）则Ｒ是交换环；（２）若Ｒ是一个Ｂａｅｒ半单纯环，对任意的ａ，ｂ属于Ｒ，都存在一自然Ｋ＝Ｋ（ａ，ｂ）≤１，一含有Ｘ＾２和ｎ     

右对称环

本文在左对称环的基础上提出了右对称环的概念,分别给出了是右对称环但不是左对称环和是左对称环但不是右对称环的例子．证明了（1）如果R是Armendariz环,则R是右对称环的充要条件R[x]是右对称环;（2）如果R是约化环,则R[x]/（x^n）是右对称环,其中（xn）是由xn生成的理想．     

半值环的两个交换结果

定理１设Ｒ是半值环，ｎ为固定的正整数，如果Ｒ满足条件：存在依赖于(?)_ｘ，ｙ的两个字ｋ（Ｘ，Ｙ），ｔ（Ｘ，Ｙ），其中｜ｋ｜_X＞１，｜ｔ｜_X＝１，｜ｋ｜_Y≥｜ｔ｜_Y，｜ｔ｜_Y≤ｎ，使ｋ（ｘ，ｙ）－ｔ（ｘ，ｙ）∈Ｉ（Ｒ），则Ｒ是交换环。定理２设Ｒ是半值环，如果Ｒ满足条件：存在正整数ｍ＝ｍ（ｘ，ｙ）＞１，ｎ＝ｎ（ｙ），使得（ｘ^ｎｙ）^m－ｘ     

微分方程X=Q（X,Y）,Y=P（X）的极限环的存在性

ФИЛИППОВ在文（１）中，利用变换Ｌｉｅｎａｒｄ方程ｄｘ／ｄｙ＝ｙ－Ｆ（ｘ），ｄｙ／ｄｔ＝－ｇ（ｘ）在左右两平面上的轨线新方程在右半平面内的积分线的方法，得到了在一定条件下，方程（１）存在极限环的结论，本文应用文（１）的方法，对类型更为广泛的方程ｄｘ／ｄｙ＝Ｑ（ｘ，ｙ），ｄｙ／ｄｔ＝Ｐ（ｘ）进行了探讨，得到了（２）存在稳定极限环的充分条件。     

广义幂级数环的PP性质

作为幂级数环的推广,Ｒｉｂｅｎｂｏｉｍ引入了广义幂级数环的概念．设Ｒ是有单位元的交换环,（Ｊ,≤）是严格全序半群．本文中我们证明了如下结果：（１）广义幂级数环 ［［Ｒｓ］］是ＰＰ－环当且仅当Ｒ是ＰＰ－环且Ｂ（Ｒ）的任意 Ｓ－可标子集Ｃ在Ｂ（Ｒ）中有最小上界;（２）如果对任意ｓ∈Ｓ都有０≤ｓ,则［［Ｒｓ,≤］］是弱ＰＰ－环当且仅当Ｒ是弱ＰＰ－环．我们还给出了一个例子说明交换的弱ＰＰ－环可以不是ＰＰ－环．     

关于SF—环的几点注记

文中，我们证明了如下主要结果：Ⅰ对于环Ｒ，下面条件是等价的：（１）Ｒ是Ａｒｔｉｎ半单环；（２）Ｒ是左ＳＦ－环，且Ｒ满足特殊右零化子降链条件；（３）Ｒ是左ＳＦ－环和Ⅰ－环，且Ｒ＾Ｒ具有有限Ｇｏｌｄｉｅ维数。Ⅱ对于环Ｒ，下面条件是等价：（１）Ｒ是Ｖｏｎ Ｎｅｕｍａｎｎ正则环；（２）Ｒ是左ＳＦ－环，且每个奇异循环左Ｒ－模的极大子模是平坦的。     

有限局部环Z／p^kZ上辛几何中计数定理

本文计算了Ｎ（ｍ，ｓ；２ｖ）与ｎ（ｍ，ｓ，ｔ，ｒ１，…，ｒｔ；２ｖ）．并以推论形式得到Ｓｐ２ｖ（Ｚ／ｐｋＺ）的阶．Ｎ（ｍ，ｓ；２ｖ）表示环Ｚ／ｐｋＺ上２ｖ维向量空间Ｖ２ｖ（Ｚ／ｐｋＺ）上的指数为ｓ的ｍ维子空间的个数；ｎ（ｍ，ｓ，ｔ，ｒ１，…，ｒ１，２ｖ）是秩为ｍ，不变因子为（ｒ，ｓ，ｔ，ｒ１，ｒｔ）的ｍ×２ｖ矩阵的个数     

投射可迁环上矩阵环的若当同态

设R′是一个环,Mn′（R′）是R′上的n′×n′矩阵环.如果环R有不变基数性质并且每个有限生成的投射左R-模是自由模,则R是一个投射自由环.如果环R≌Mr（S）,其中S是一个投射自由环,则R是一个投射可迁环.当R是一个投射可迁环时,给出了从Mn′（R′）到Mn（R）（n′≥n≥2）的若当同态的代数公式.     

广义线性McCoy环

称环R是右线性McCoy的,如果R[x]中非零线性多项式f（x）,g（x）满足I（x）g（x）=0,则存在非零元素r∈R使得f（x）r=0．设a是环R的自同态,通过用斜多项式环R[x;a]中的元素代替一般多项式环R[x]中的元素而引入a-线性McCoy环的概念．讨论了a-线性McCoy环的基本性质和扩张性质．     

Generalized PP and Zip Subrings of Matrix Rings

Let R be an abelian ring. We consider a special subring An, relative to α2,…, αn∈ REnd（R）, of the matrix ring Mn（R） over a ring R. It is shown that the ring An is a generalized right PP-ring （right zip ring） if and only if the ring R is a generalized right PP-ring （right zip ring）. Our results yield more examples of generalized right PP-rings and right ziu rings.     

gr—正则环和矩阵环的gr—正则性

本文主要证明了（１）当Ｇ是有限群时，Ｇ－型分次环Ｒ是ｇｒ－正则的当且仅当Ｒ＃Ｇ是正则的当且仅当ＭＧ（Ｒ）是ｇｒ－正则的当且仅当对每个λ∈Ｇ和Ｇ的任意非空子集Ｈ和Ｆ，ＭＨ×Ｆ（Ｒ）的每个矩阵都有１－逆。（２）当Ｇ是任意群，Ｇ－型分次环Ｒ是反ｇｒ－正则的当且仅当Ｆ（Ｒ＃Ｇ）是反正则的当且仅当对每个λ∈Ｇ和Ｇ的任意非空子集Ｈ和Ｋ，ＦＭＨ×Ｆ（Ｒ）的每个矩阵有２－逆当且仅当ＦＭＧ（Ｒ）是ｇｒ－反正则的。     

具某些有限条件的半素环

设Ｒ是环，Ｃ（Ｒ）＝｛ｘ｜ｘＲ＝Ｒｘ，ｘ∈Ｒ｝。本文证明了对于半素ＥＳ－环Ｒ，若Ｃ（Ｒ）中仅有有限个非零幂等元，则下列条件等价：（１）Ｒ只有有限个非零幂等元∈Ｒ－Ｃ（Ｒ）。（２）Ｒ只有有限个非零幂零元。（３）Ｒ只有有限个非零元ｘ：ｘ２＝０。（４）Ｒ同构于有限个除环或有限域上有限阶全矩阵环（阶数至少大于２，个数至少大于１）的直和     

关于分次环的分次性质和非分次性质

本文证明了对有限群分次环Ｒ而言,下列条件等价：（１）Ｒ是左ｇｒ－自内射环（左ｇｒ－ＰＦ环,左ｇｒ－ＱＦ环,左ｇｒ－线性紧环）．（２）Ｒ是左自内射环（左ＰＦ环,左ＱＦ环,左线性紧环）．（３）Ｒ＃Ｇ^*是左自内射环（左ＰＦ环,左ＱＦ环,左线性紧环）．     

PID环上矩阵模的保秩1映射及应用

设Ｒ为含１主理想整环（简记为ＰＩＤ），本文刻划了矩阵模Ｍｎ（Ｒ）上保秩１线性映射的形式；作为其应用，给出了域上矩阵空间的保线性群及Ｍｎ（Ｒ）上保非零行列线性映射的形式，即它们为：Ｔ（Ｘ）＝ＰＸＱ，Ａ↑Ｘ∈Ｍｎ（Ｒ），或Ｔ（Ｘ）＝ＰＸｔＱ，Ａ↑Ｘ∈Ｍｎ（Ｒ）。其中ｄｅｔ（ＰＱ）≠０。     

关于完全环与Noether环

（ｉ）环Ｒ是左完全环，当且仅当存在一个基数ｃ，使得任意平坦左Ｒ－模是一个拟投射模和一个ｃ－限制的ＥＳ－模的直和。（ｉｉ）Ｒ是左Ｎｏｅｔｈｅｒ环，当且仅当存在一个基数ｃ，使得任意内射左Ｒ－模的直和是一个（拟）连续模和一个ｃ－限制的ＥＳ－模的直和。     

平面二次系统极限环（1,3）分布的讨论

本文（ａ）对文献［１］中的定理２进行了修正，取消了假设条件Ｖ＿７＞０；（ｂ）对曲线Ｍ（ｓ￣２，ｒ）＝０，Ｊ（ｓ￣２，ｒ）＝０，Ｌ（ｓ￣２，ｒ）＝０，Ｔ（ｓ￣２，ｒ）＝０，ｓ￣２＝ｓ以及ｓ￣２＝ｓ的位置关系进行了讨论，在保证系统（１．１）具有极限环（１，３）分布的情况下，扩大了参数（ｓ，ｒ）的变化范围，并用图示给以清晰说明：（ｃ）讨论了一类具有两个无限远奇点的平面二次系统极限环的（１，３）分布：（ｄ）对系统（１．１）不论它在无限远处出现一个、两个或三个奇点，给出了出现极限环线（１，３）分布的统一处理方法。     

近环的理想与导子

设Ｎ是中心为Ｚ的素近环,Ｉ是Ｎ的右理想,Ｄ是Ｎ上的非平凡导子,本文证明了１）若Ｄ（Ｉ）∈Ｚ,则（Ｎ１＋）是交换的;又若Ｎ２－挠自由,则Ｎ是无零因子交换环,（２）若０≠Ｄ＾ｎ（Ｉ）∈Ｚ,Ｄ＾ｎ－１（Ｉ）∈Ｉ,且Ｎ是（ｎ＋１）１挠自由的,则Ｎ是无零因子交换环。     

本原环为体的条件

本文证明了定理１假定Ｒ是本原环，且（ｘｙ－ｙｘ）ｍ（ｘ，ｙ）＝０，那么Ｒ是除环．定理２假定Ｒ是本原环，且存在自然数ｍ＝ｍ（ｘ，ｙ），ｎ＝ｎ（ｘ，ｙ），使得ｘｍ（ｘｍｙｎ－ｙｎｘｍ）－（ｘｍｙｎ－ｙｎｘｍ）ｘｍ＝０那末Ｒ是除环     

广义FP—内射模、广义平坦模与某些环

左（右）R－模A称为GFP－内射模，如果ExtR(M,A)=0对任－2－表现R－模M成立；左（右）R－模称为G－平坦的，如果Tor1^R(M,A)=0(Tor1^R(AM)=0)对于任一2－表现右（左）R－模M成立；环R称左（右）R－半遗传环，如果投射左（右）R－模的有限表现子模是投射的，环R称为左（右）G－正而环，如果自由左（右）R－模的有限表现子模为其直和项，研究了GFP－内射模和G－平坦模的一些性质，给出了它们的一些等价刻划，并利用它们刻划了凝聚环，G－半遗传环和G－正则环。