关于多项式的Waring问题（Ⅱ）

设ｆ＿ｌ（ｘ）是首项系数为正的ｌ次整系数多项式，满足条件：不存在整数ｄ，ｑ＞１使得ｆ＿ｌ（ｘ）≡ｄ（ｍｏｄｑ）对所有ｘ成立．记Ｒ＿ｋ（ｎ）为方程的正整数的解数，本文的主要结果是：对于及充分大的ｎ，我们有Ｒ＿ｋ（ｎ）》这是Ｖａｕｇｈａｎ关于Ｗａｒｉｎｇ问题的一个结果对多项式的推广。     

一个对称函数下界的加强

记ｆｋ（ｘ１…，ｘｎ）＝Ｅｋ（１－ｘ１，…，１－ｘｎ）－Ｅｋ（ｘ１，…，ｘｎ），ｋ＝１，…ｎ其中Ｅｋ（ｘ１，…，ｘｎ）为初等对称函数，并规定当ｋ＝０时，Ｅｋ（ｘ１，…，ｘｎ）＝１，当ｋ＜０或ｋ＞ｎ时，Ｅｋ（ｘ１，…，ｘｎ）＝０．笔者在文［１］证明了：...     

Q_k(x)与F_k(x)的渐近公式

设ｎ，ｋ为自然数，Ｇ（ｎ）阶群中的同构类数，Ｆｋ（ｘ）与Ｑｋ（ｘ）分别表示不超过ｘ的自然数中使Ｇ（ｎ）＝ｋ的自然数、无平方因子自然数的个数．本文的目的是用Ｂｒｕｎ筛法证明Ｑｋ（ｘ）的条件渐近公式并对Ｆｋ（ｘ）的渐近性质做出了推测．     

Jordan函数r次方Jrk（n）的均值误差项研究

设ｋ，ｒ分别是自然数和非零整数，Ｊｋ（ｎ）是Ｊｏｒｄａｎ函数．文［３］求出了和式∑ｎ≤ｘＪｒｋ（ｎ）的渐近公式．以Ｅ（ｘ；ｋ，ｒ）表示该公式中的误差项，本文研究了Ｅ（ｘ；ｋ，ｒ）的算术均值和积分均值     

一类无理函数积分能表成初等函数的充要条件

本文得到了公式式中的Ｐｎ（Ｘ）为ｎ次多项式，Ｑｎ－１（ｘ）为各项系数待定的（ｎ－１）次多项式，λ为待定常数．并在此基础上彻底解决了　　　　　　　　　（ｍ＞２，ｍ∈Ｎ）能表成初等函数的充要条件，这是用其他任何积分法都无法做到的。     

关于高阶Euler多项式的一点注记

对任何复数ｘ，考虑幂级数展开式：（２ｅｔ＋１）ｋｅｘｔ＝∑ｎ≥０Ｅ（ｋ）ｎ（ｘ）ｔｎｎ！｜ｔ｜＜π，则函数Ｅ（ｋ）ｎ（ｘ）称为ｋ阶Ｅｕｌｅｒ多项式［１］．特别地，Ｅ（１）ｎ（ｘ）＝Ｅｎ（ｘ）为普通Ｅｕｌｅｒ多项式；Ｅｎ＝２ｎＥｎ（１２）为Ｅｕ－ｌｅｒ...     

关于分圆多项式的Schinzel等式

对一无平方因子的奇数ｎ＞１，　分圆多项式φｎ（ｘ）　　满足Ｓｃｈｉｎｚｅｌ等式，　φｎ（ｘ）＝Ｐ２ｎ，ｍ（ｘ）－（－１／ｍ）ｍｘＱ２ｎ，ｍ（ｘ），　　这里Ｐｎ，ｍ（ｘ）和　Ｑｎ，ｍ（ｘ）是整系数多项式且　ｍ｜ｎ．本文给出两个简明的公式来计算　Ｐｎ，ｍ（ｘ）　和　Ｑｎ，ｍ（ｘ）　　．     

高维空间中半线性波动方程的Sobolev指数

ＧｕｓｔａｖｏＰｏｎｃｅ与ＴｈｏｍａｓＣ．Ｓｉｄｅｒｉｓ［４］猜测对一些具有特殊非线性项的半线性波动方程，如ｕｔ－△ｕ＝ｕｋ（Ｄｕ）α（ｘ∈Ｒｎ，ｋ∈Ｚ＋，ｌ＝｜α｜２），其中Ｓｏｂｏｌｅｖ指数会在ｎ２与（ｎ２＋１）之间．文［４］中，在ｘ∈Ｒ３时，回答了这一问题．本文在ｎ３维空间中，得到了半线性波动方程ｕｔ－△ｕ＝ｕｋ（Ｄｕ）α（ｘ∈Ｒｎ，ｋ∈Ｚ＋，ｌ＝｜α｜２）的Ｓｏｂｏｌｅｖ指数为ｍａｘ｛ｎ２＋１２，（ｎ２－１）·ｌ－３ｌ－１＋２｝，此数确实在区间［ｎ２＋１２，ｎ２＋１］中．     

在奇次Legendre多项式零点上的（0，2）*插值

设Ｐ_ｎ表示ｎ次Ｌｅｓｅｎｄｒｅ多项式，本文考虑多项式（１－ｘ²）Ｐ_ｎ．（ｘ）／ｘ（ｎ为奇数）零点上的（０，２）^*插值问题，得到了这种插值的正则性，显式表达式及收敛性．     

整系数多项式在整数环上不可约性的进一步探讨

本文首先给出了整系数多项式有二次整系数多项式因式的一个必要条件，进而通过对整系数多项式ｆ（ｘ）＝ＡｎＸ２十αｎ－１Ｘｎ－１＋…＋αｏ中ｘｎ－２的系数αｎ－２的讨论，得到一类整系数多项式在整数环上是否可约的一个判别法。     

Eisenstein判别法的推广

引起我们思考这一问题的是第３４届ＩＭＯ的一道试题：设ｆ（ｘ）＝ｘｎ＋５ｘｎ－１＋３，其中ｎ是一个大于１的整数．求证：ｆ（ｘ）不能表示为两个多项式的乘积，其中每个多项式都具有整数系数而且它们的次数都不低于一次题目要求判别一个整数系数多项式不可约，自然会...     

一类加性函数的倒数和

设ｇ（ｎ）＞０为任一实值函数,加性函数Ｇ（ｎ）定义为Ｇ（１）＝０,Ｇ（ｎ）＋ｋ≥１为一固定正整数。本文研究了和式∑２≤ｎ≤ｘ　,并得到了渐近公式。     

一类与多项式相关的组合恒等式

一类与多项式相关的组合恒等式王良成（四川省达县师专６３５０００）本文给出一类与多项式相关的组合恒等式，由此可以产生许多有用的组合恒等式．定理设是１＋１次多项式，则证明１°当ｎ－１，即ｆ（ｘ）＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ０时，则即（１）式成立．２°假设ｎ＝ｋ，即...     

在π_n(x)零点上的(0,1,3)插值

本文讨论了ｎ为奇效时πｎ（ｘ）＝（１－ｘ２）Ｐ＇ｎ－１（ｘ）零点上的（０,１,３）插值的正则性及收敛性,其中Ｐｎ－１表示ｎ－１次Ｌｅｇｅｎｄｒｅ多项式．     

三维除数问题误差项估计的改进

<正> 用d_3(n)记将n表成三个因子乘积的表法个数,则有渐近公式此处P_3(log x)为log x的一个二次多项式.又用α_3表使     

交换环上幂映射的周期轨道分支的对称性

设Ｒ是个交换环，带离散拓扑，是由ｆ（ｒ）＝ｒ￣ｎ（任ｒ∈Ｒ）定义的幂映射．又设ｘ及ｙ均是ｆ的周期点，其周期分别是ｋ及ｌ．记称Ｗ＿ｘ为ｆ的含ｘ的周期轨道分支，本文证明：（１）Ｗ＿ｘ在ｆ之下具有循环对称性，即存在着周期为ｋ的周期映射ｈ＿ｘ：Ｗ＿ｘ→Ｗ＿ｘ使得ｆｈ＿ｘ＝ｈ＿ｘｆ｜Ｗ＿ｘ且ｈ＿ｘ（ｘ）＝ｆ（ｘ）；（２）当ｌ是ｋ的因数且存在ｕ∈Ｒ使得ｙ＝ｕｘ时，　存在着映射ξ＿ｕ：Ｗ＿ｘ→Ｗ＿ｙ满足；（ｉｉｉ）若还存在着ｖ∈Ｒ使得ｘ＋ｖｙ，且ｌ＝ｋ，则此ξ＿ｖ与ξ＿ｖ互逆．     

关于Birkhoff插值的P．Turan问题33的一个解

本文给出Ｐ．Ｔｕｒａｎ问题３３的一个解：对于每一个偶数ｎ≥２，都存在一组节点１≥ｘ１＞ｘ２＞…＞ｘｎ≥－１，使对一切次数≤２ｎ＋１的多项式都成立，这里ｒｋ，ρｋ分别为（０，２）插值的第一类和第二类基本多项式．     

具正负系数中立型时滞差分方程解的振动性

本文讨论一阶具正负系数中立型时滞差分方程 △（ｘ（ｎ）－ｃ（ｎ）ｘ（ｎ－ｋ））＋ｐ（ｎ）ｘ（ｎ－ｍ）－Ｑ（ｎ）ｘ（ｎ－１）－０,ｎ＝０,１,２,…我们获得了使方程所有解振动的“ｓｈａｒｐ”条件,即在系数ｐ（ｎ）,Ｑ（ｎ）,Ｃ（ｎ）为常数时是充分必要条件,本文的结果推广并改进了已有的结果．     

整式目标测试题(一)

一、判断正误（每题２分）１．单项式ｘ的系数是０,次数是１．（　２．三次二项式ａ２＋ｂ３的常数项是０．（　）３．多项式ｘ３－１３ｂ４ｙ＋３ｙ２ｘ是按ｙ升幂排列的．（　）４．１３ｐ２ｑ与－９ｑ２ｐ是同类项．（　）５．（－ｍ＋ｎ）－２（ｃ＋ｄ）＝ｍ＋ｎ－２ｃ＋２ｄ．（　）二、填空题（每空３分）１．代数式２ｘ,ｘ２,ａ２ｂｃ２,ａ２２＋ｂ２－０．４ａ２,ｘ－２中单项式是,多项式是．２．单项式－２ｘ２ｙ３的系数是,－２ａｂ２５的系数是．３．多项式ａ３－６ａ２ｂ－ａｂ２＋ａ２ｂ的项数是,次数是．４．２ｘ３ｙ…     

某些环的交换性条件

设Ｚ（Ｒ）是环Ｐ的中心，本文证明了下列的结果：（１）若Ｒ是一个半单纯环，且对任意ａ，ｂ∈Ｒ，都存在一自然数Ｋ＝Ｋ（ａ，ｂ），一含有Ｘ￣２和ｎ＝ｎ（ａ，ｂ）（≥Ｋ）个ｙ的字ｆ＿Ｘ（ｘ，ｙ）及一整系数多项式使得则Ｒ是交换环；（２）若Ｒ是一个Ｂａｅｒ半单纯环，且对任意的ａ．ｂ∈Ｒ，都存在一自然数Ｋ＝Ｋ（ａ，ｂ）≤ι，一含有ｘ￣２和ｎ＝ｎ＇（ａ，ｂ）（≥Ｋ）个ｙ的ｆ＿Ｘ（ｘ，ｙ）及一整系数多项式使得其中ι是一固定的自然数，那么，Ｒ是一个交换环。