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(续上期 )例 9 证明 :对任意自然数n ,数 [( 3+5) n]+ 1被 2 n 整除 .这里 [x]表示实数x的整数部分 .证 论证的要点是给予 [( 3+ 5) n]的一个不同的 (但适用的 )表示 .为此 ,我们考虑数α =3+ 5的共轭数 β =3- 5,它们由整系数二次方程x2 - 6x + 4=0相关联 :是该方程的两个根 .记un=αn+ βn.我们现在易于导出 {un}(n≥ 1 )的递推公式 :以αn 乘α2 - 6α + 4=0 ,及 βn 乘 β2 - 6 β+ 4=0 ,并将结果相加 ,即得un + 2 =6un + 1- 4un,n≥ 1 ( 5)因u1=6 ,u2 =2 8都是整数 ,故由 ( 5)及归纳法知所有的un 都是整数 .注意 0 <3- 5<1 .故 0 <β… 相似文献
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本文证明了如下结果:设非零实数λ1,…,λs不具有同样的符号、其中至少有两数之比为无理数.设k>12且k不是整数,则存在一个绝对常数c>0,使得如果s≥cklogk,则对任意实数。及ε>0,不等式有无穷多组正整数解xi,这里[y]表示y的整数部分. 相似文献
3.
本文证明了下面的定理设λ_1,…,λ_8为非零实数,其中至少有两个之比为无理数。k=4,5,…,11。那么,对任意给定的实数k及0<σ<σ_k,不等式有无穷多组整数解,这里(4k11)。 相似文献
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余红兵 《数学年刊B辑(英文版)》1993,(6)
设 E(N)为不超过 N 且不能表示为三个正立方及一个四次方之和的正整数个数.本文证明了 E(N)N,这里 s 是任意小的正数. 相似文献
5.
本讲通过数学竞赛中的一些数论问题,简要地介绍初等数论中较为基本的思考方法.对于问题所涉及的数论基础知识,我们将直接引用而不作讨论(可以参看,例如,《奥数教程》,高三年级,华东师范大学出版社) .例1 设a ,b是给定的正整数,证明,仅有有限多个正整数n ,使得(a + 12 ) n+ (b + 12 ) n为整数.证 问题等价于证明,仅有有限多个n ,使得2 n整除(2a + 1) n+ (2b + 1) n.我们希望分解被除数(2a + 1) n+ (2b + 1) n.这在n为奇数时易于实现:我们有(2a + 1) n + (2b + 1) n =(2a + 2b + 2 ) (2a +1) n -1- (2a + 1) n -2 (2b + 1) +…- (2a + 1) (2… 相似文献
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本文证明了:对固定的正整数α,β.m,其中m≥2,若方程 有无穷多个正整数解n,则m=2,α=3及β=1.这推广了LeVeque的一个结果。 相似文献
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