一道三角函数题的复数解法

我们先看下面这道题及其常规解法.题目:已知cosA+cosB+cosC=0,sinA+sinB+sinC=0,求证:cos3A+cos3B+cos3C=3cos(A+B+C),sin3A+sin3B+sin3C=3sin(A+B+C).解法一:由条件可得cosA+cosB=-cosC,sinA+sinB=-sinC,则(cosA+cosB)2+(sinA+sinB)2=1.     

对两个结论的注记

文[1]在推证正弦定理时,得到了三个“副产品”,其中前两个是:结论1在△ABC中,sinA sinB sinCcosA cosB cosC<2;结论2在△ABC中,1相似文献   

证明有关三角形不等式的代换方法

以三角函数的形式出现并且和三角形有关的不等式很多,而且其中有些不等式的证明难度是相当大的,但是如果我们利用一些大家比较熟悉的不等式并采用代换方法就能很容易地解决某些问题。本文的目的就是通过几个事例来说明如何使用代换方法来证明或推导这些不等式。下面的不等式是大家所熟知的。设A′+B′+C′=π,则有sinA′/2sinB′/2sinC′/2≤1/8;(1)cosA′/2cosB′/2cosC′/2≤3(3~(1/3))/8 (2)(1)、(2)两式中等号当且仅当A′=B′=C′=π/3时成立。不等式(1)常出现在数学书刊上,故略去其证明。下面我们借助于(1)来证明(2)。若cosA′/2cosB′/2cosC′/2≤0, 则cosA′/2cosB′/2cosC′/2≤3(3~(1/3))/8显然成立,以下假定cosA′/2cosB′/2cosC′/2>0     

一道三角函数题的简证

《数学通报》2 0 0 4年 1 1月号问题 1 52 5为 :△ ABC中 ,求证 :sin( A - 30°) + sin( B - 30°) + sin( C- 30°)≤ 32 .该刊 2 0 0 4年第 1 2期 P4 3上登载的证明中用到了四个三角恒等式 ,较繁琐 .这里 ,我们给出一个简单的证法 .证明　不妨设三内角 A、B、C中 C最小 ,则 0°0 ,于是sin( A - 30°) + sin( B- 30°) + sin( C- 30°)= 2 sin A + B - 6 0°2 cos A - B2 +　 sin( C - 30°) + sin30°- 12=2 sin1 2 0°- C2 cos A - B2 +2 sin C2 cos C - 6 0°2 - 12≤ 2 ( sin1 2 0°- C2 + s…     

余弦定理的三角式

设A、B、C为△ABC的三内角,依正弦定理有a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,代入余弦定理公式可得: sin~2A=sin~2B+sin~2C-2sinBsinCcosA。特称为余弦定理三角式。对一些三角函数化简,求值、证明等问题可考虑用此三角式求解,举例如下: 例1 求sin~210°+cos~240°+sin10°cos40°之值。解 sin~210°+COS~240°+sin10°cos40° =sin~210°+sin~250°-2sin10°sin50°COS120° =sin~2 120° =3/4 例2 求sin20°cos70°+sin10°sin50°之值。解 sin20°cos70°+sin10°sin50° =sin~220°+sin10°sin(110°-60°) =sin~220°+sin10°sin110°cos60°-sin10°。     

数学问题解答

20 0 3年 3月号问题解答(解答由问题提供人给出)1 42 1　锐角△ABC中 ,求证 :cos(A -B) ·cos(B -C)·cos(C-A)≥ 8cosA·cosB·cosC .(安徽省南陵县工山二中　邹守文　2 42 41 8)证明　在三角形中有恒等式 :tanA·tanB·tanC =tanA+tanB+tanC .所以cos(B-C)cosA =sinBsinC+cosBcosCsinBsinC-cosBcosC=tanBtanC+1tanBtanC-1=tanAtanBtanC +tanAtanAtanBtanC -tanA=2tanA+tanB+tanCtanB+tanC同理cos(C-A)cosB =tanA+2tanB +tanCtanA+tanCcos(A -B)cosC =tanA +tanB+2tanCtanA +tanB令　x =2tanA+tanB+tanC ,　y =t…     

一个数学问题的简捷证法

题目在锐角△ABC中,求证:1/sin2A+1/sin2B+1/sin2C≥1/sinA+1/sinB+1/sinC~*这是《数学通报》2005年第44卷第2期数学问题与解答中的第1533题,原文提供的答案比较复杂,下面给出一种简单的证明方法.证明在锐角△ABC中,不妨设A≥B≥C,则有1/sinC≥1/sinB≥1/sinA>0,C≤π/3.1/cosA≥1/cosB≥1/cosC≥2,即1/2cosA-1≥     

巧用对偶式解三角题

在三角运算求解与证明中 ,有些三角函数式隐含着对称的结构和意义 ,在解答这些题目时 ,若能挖掘出潜在的对称性 ,充分利用对称性原理 ,通过构造一组对偶式来解题 ,能达到一种曲径求捷的解题效果 .例 1　求sin1 0°sin30°sin50°sin70°.解　利用对称思想 ,构造一组对偶式 (积式配偶 ) .设A =sin1 0°sin30°sin50°sin70° ,　B =cos1 0°cos30°cos50°cos70°,则A·B =11 6 sin2 0°sin6 0°sin1 0 0°sin1 4 0°=11 6 cos1 0°cos30°cos50°cos70°=11 6 B .∵B≠ 0 ,∴A =11 6 .即sin1 0°sin30°sin50°sin70° =11 6 .例 2　求si…     

《数学通报》2508号问题的加细与另证

《数学通报》2019年第10期数学问题2508是: 在锐角△ABC中,有1/cosA+1/cosB+1/cosC≥√3(1/sinA+1/sinB+1/sinC). 此问题黄兆麟老师把它转化为两个相关不等式,利用三角函数关系和熟知的三角恒等式以及均值不等式和切比雪夫不等式巧妙地给出了证明.     

α、60°-α、60°+α角的同名函数的积

这是教材上的一组习题: 求值①sin20°sin4O°sin8O°, ②cos20°cos40°cos8O°, ③tg10°tg50°tg70°。利用积化和差公式,不难求其结果。研究这类问题,还可发现如下规律:每组角可统一表示为α、60°-α、60°+α。上述题①、②中,α=20,题③中,α=10°。进一步研究还可得到:α、60°-α、60°+α角的同名函数的积都可用α的三倍角的同名函数表示出来,即是     

一个数学问题的简便证明

《数学通报》2004年第12期刊登了李明老师对1525号数学问题“△ABC中,求证:sin(A-30°) sin(B-30°) sin(C-30°)≤23.”的证明,但证明方法技巧性较高,其实该题有较便的证法.记录如下:证因为sin(A-30°) sin(B-30°) sin(C-30°)=2sinA B2-60°·cosA2-B sin(A B 30°)=2sinA B2-60°·cosA2-B sin(A B-60°)=-2sin2A B2-60° 2cosA2-B·sinA B2-60° 1=-2sinA B2-60°-cosA2-2B2 cos2A2-B2 1≤32(1)当且仅当cos2A-2B=1cosA-2B=2sinA B2-60°时“=”号成立.因为-90°相似文献   

点击一类解三角形的问题——从一道题的错解谈起

题目已知△ABC中,sinA=45,cosB=12,求cosC.错解:∵cosB=12,0相似文献   

杨乐不等式组

用配方法可以很方便地证明杨乐不等式及其许多推广 ,先看杨乐不等式 :设A >0 ,B >0 ,A +B≤π ,0≤λ≤ 1,则cos2 λA +cos2 λB - 2cosλAcosλBcosλπ≥sin2 λπ .证　左边 -右边=cos2 λA +cos2 λB - 2cosλAcosλBcosλπ -sin2 λπ=cos2 λπ +cos2 λAcos2 λB - 2cosλAcosλBcosλπ　 -cos2 λAcos2 λB +cos2 λA -sin2 λB=(cosλπ -cosλAcosλB) 2 +cos2 λA( 1-cos2 λB)　 -sin2 λB=(cosλπ -cosλAcosλB) 2 -sin2 λAsin2 λB=[cosλπ -cosλ(A +B) ] [cosλπ -cosλ(A -B) ] .∵ |A±B|≤π ,∴λ…     

边长为等差数列的三角形的一个常用结论

关于边长为等差数列的三角形 ,文 [1 ]给出了一系列性质 (共 1 8个 ) ,这些性质形式多样 ,结构优美 ,精彩纷呈 ,但增加了记忆负担 ,且都可以由其中的一个性质 cos A - C2 =2 cos A +C2 导出 ,各性质的逆命题也都成立 .为此 ,本文仅给出一个核心、完善、常用的结论 ,并介绍它在求值、化简和证明中的广泛应用 .结论　在△ ABC中 ,若 a、b、c分别是角 A、B、C的对边 ,则 a、b、c成等差数列的充要条件是cos A - C2 =2 cos A +C2 (或 cos A - C2 =2 sin B2 ) .证明　由 B =π - (A +C) ,得B2 =π2 - A +C2 ,∴　 sin B2 =cos A +C2 ,cos B2 =sin A +C2 ,∴　 a +c=2 b　 　 sin A +sin C=2 sin B 　 2 sin A +C2 cos A - C2 =2 . 2 sin B2 cos B2 　　　　 cos A - C2 =2 sin B2 　　　 cos A - C2 =2 cos A +C2 .故原命题成立 .下面就其在化简、求值及证明...     

三倍角公式一用

平面三角中三倍角公式是 sin3α=3sinα-4sin~3α。 cos3α=4cos~3α-3cosα。三倍角公式应用较广,它可以解决一些证明、求值、三角方程、应用题等问题。三倍角公式可以变化成如下形式: sin3α=4sinαsin(60°-α)sin(60°+α) 〈S〉 cos3α=4cosαcos(60°-α)cos(60°+α) 〈C〉 tg3α=tgα·tg(60°-α)tg(60°+α) 〈T〉证明:sin3α=3sin-4sin~3α=4sinα(3/4-sin~2α)=4sinα(sin60°-sina)(sin60°+sinα)=4sinαsin(60°-α)sin(60°+α)。     

一个三角形内角不等式的简证与一个猜想

文[1]证明了如下不等式:命题1对何任△ABC,有sinAcosB sinBcosC sinCcosA≤343.(1)当且仅当△ABC为正三角形时等号成立.原文给出的方法似乎较繁,没有必要分类讨论,并且当△ABC是锐角三角形时“不妨设0相似文献   

一道竞赛题的再证

题目：求证：在任意三角形ABC中，都有cosA/1-cosB·cosC＋cosB/1-cosA·cosC＋cosC/1-cosA·cosB≤2. 文[1]用一个不等式和恒等式巧妙证明了这个不等式，但此方法不易想到，笔者经过探索，找到了一种直截了当的证法．     

2011年高考数学江西卷第17题(文、理)别解

2011年高考数学江西卷文科第17题:在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知3acosA=ccosB+bcosC.(1)求cosA的值;(2)若a=1,cosB+cosC=2√3/3,求边c的值.     

谈圆内接四边形的几个优美三角恒等式

文[1]介绍了锐角△ABC中的如下两个不等式cos(B-C)cos A+cos(coCs-B A)+cos(cAos-C B)≥6(1)cos Acos(B-C)+cos(coCs-B A)+cos(cAos-C B)≥23(2)由此,笔者发现了下列有趣结论.定理1在圆内接四边形ABCD中,若A、B、C、D都不为直角,则有cos(B-C)cos A+cos(coCs-B D)+cos(cDos-C A)+cos(coAs-D B)=0(3)证明由于四边形ABCD为圆内接四边形,∴A+C=B+D=180°,∴cosc(oBs-A C)+cos(cCos-B D)+cos(cDos-C A)+cos(cAos-D B)=cos[B-c o(s18A0°-A)]+cos(cBos-B A)+cosc[o1s8(01°8-0°-B-A)A]+cocso(s(1A80-°-B B))=-coc…     

HA/cosA=HB/cosB=HC/cosC=2R及其应用

若H、R分别为锐角△ABC的垂心和外接圆的半径,则有性质HA/cosA=HB/cosB=HC/cosC=2R 此性质与三角形的正弦定理同模式,为记忆方便,暂称此性质为“垂心余弦定理”,证明如下。在Rt△AEH中,HA=EA/(cos∠EAH)。在Rt△AEB中,EA=ABcosA。又cos∠EAH=sinC 所以HA=ABcosA/sinC=2RcosA。即HA/cosA=2R,同理HB/cosB=HC/cosC=2R,故得