对两个结论的注记

文[1]在推证正弦定理时,得到了三个“副产品”,其中前两个是:结论1在△ABC中,sinA sinB sinCcosA cosB cosC<2;结论2在△ABC中,1相似文献   

一类三角不等式的通用证法

关于三角形内角的三角函数的不等式 ,例如sinAsinBsinC ≤3 38,sin A2 sin B2 sin C2 ≤ 18,cosA+cosB+cosC≤ 23,cos2A+cos2B+cos2C≥ - 23等 ,要证明它们通常需要比较丰富的技巧 .在这类不等式中 ,等号成立的条件均为A=B=C =60°.60°角是一个特殊角 ,它在不等式的证明中起什么作用呢 ?通过研究我们发现 ,倘若给不等式左侧配上相应的 60°角的三角函数后 ,角成双成对 ,反倒便于应用积化和差、和差化积公式 ,从而使这类不等式的证明成为简洁的、程序性的操作了 .1　直接添加 60°角的三角函数例 1　在△ABC中 ,求证cosA+cosB+cosC…     

一道三角函数题的复数解法

我们先看下面这道题及其常规解法.题目:已知cosA+cosB+cosC=0,sinA+sinB+sinC=0,求证:cos3A+cos3B+cos3C=3cos(A+B+C),sin3A+sin3B+sin3C=3sin(A+B+C).解法一:由条件可得cosA+cosB=-cosC,sinA+sinB=-sinC,则(cosA+cosB)2+(sinA+sinB)2=1.     

一个三角形内角不等式的简证与一个猜想

文[1]证明了如下不等式:命题1对何任△ABC,有sinAcosB sinBcosC sinCcosA≤343.(1)当且仅当△ABC为正三角形时等号成立.原文给出的方法似乎较繁,没有必要分类讨论,并且当△ABC是锐角三角形时“不妨设0相似文献   

一道竞赛题的再证

题目：求证：在任意三角形ABC中，都有cosA/1-cosB·cosC＋cosB/1-cosA·cosC＋cosC/1-cosA·cosB≤2. 文[1]用一个不等式和恒等式巧妙证明了这个不等式，但此方法不易想到，笔者经过探索，找到了一种直截了当的证法．     

一个数学问题的简捷证法

题目在锐角△ABC中,求证:1/sin2A+1/sin2B+1/sin2C≥1/sinA+1/sinB+1/sinC~*这是《数学通报》2005年第44卷第2期数学问题与解答中的第1533题,原文提供的答案比较复杂,下面给出一种简单的证明方法.证明在锐角△ABC中,不妨设A≥B≥C,则有1/sinC≥1/sinB≥1/sinA>0,C≤π/3.1/cosA≥1/cosB≥1/cosC≥2,即1/2cosA-1≥     

点击一类解三角形的问题——从一道题的错解谈起

题目已知△ABC中,sinA=45,cosB=12,求cosC.错解:∵cosB=12,0相似文献   

数学问题解答

2007年3月号问题解答(解答由问题提供人给出)1661设A是非钝角ΔABC的最小内角,求证:cos(B-C)≥cosB cosC.当且仅当ΔABC为等边三角形或等腰直角三角形时取等号.(湖北省谷城县第三高级中学贺斌441700)证明不妨设A≤B≤C,则4π≤B≤C≤π2.对任意给出的α∈[4π,π2],令f(x)=cos(     

《数学通报》2508号问题的加细与另证

《数学通报》2019年第10期数学问题2508是: 在锐角△ABC中,有1/cosA+1/cosB+1/cosC≥√3(1/sinA+1/sinB+1/sinC). 此问题黄兆麟老师把它转化为两个相关不等式,利用三角函数关系和熟知的三角恒等式以及均值不等式和切比雪夫不等式巧妙地给出了证明.     

巧用向量方法证明两道三角不等式

<正>向量兼具代数、几何的双重身份.在解决某些数学问题时,便可充分利用其特殊性体现解题中的优势.命题在△ABC,有cos A+cosB+cosC≤3/2,(1)sinA+sinB+sinC≤33~(1/2)/2,(2)证明(1)先证不等式(1)     

2011年高考数学江西卷第17题(文、理)别解

2011年高考数学江西卷文科第17题:在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知3acosA=ccosB+bcosC.(1)求cosA的值;(2)若a=1,cosB+cosC=2√3/3,求边c的值.     

琴生不等式的推广应用

众所周知,琴生不等式在证明不等式中发挥了巨大的作用.它实质上就是对凸函数性质的应用.比如在证明锐角三角形中1＜cos A+cos B+cos C≤3/2时,右边不等式用琴生不等式能很快地得到证明,但对于左边的不等式则要多花一番功夫.我们观察到当(A,B,C)取(π/2,π/2,0)这个边     

一个结论的简证

文[1]给出了结论1在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC/cosA＋cosB＋cosC〈2（1）但文中只对锐角三角形的情形给出了证明，文[2]利用导数给出了结论1的统一证明．     

一个常见三角不等式的推广

在△ABC,有不等式cosAcosBcosC≤81(1)等号成立当且仅当△ABC为正三角形.将其推广,笔者获得如下结论.定理在△ABC中,对λ≥0有不等式cosAcosB(cosC λ)≤(1 8λ)2(2)等号成立当且仅当A=B=21arccosλ2-1.证当cosAcosB≤0时,cosC>0,从而cosAcosB(cosC λ)≤0<(1 8λ)2;当cosAcosB     

一个三角不等式的新证

在锐角△ABC中,求证cos(B-C)/cosA cos(C-A)/cosB cos(A-B)/cosC≥6.证左边≥3(?) =3{[2SinCcos(A-B)·2sinBcos(A-C)·2sinAcos (B-C)]/(2sinAcosA·2sinBcosB·2sinCcosC)}~(1/3)     

利用两角余弦值之和为正剔除增解

<正>对于三角形的多解问题,一般是从角或边的角度来进行处理,教材中有许多详细的讨论.这里从两角余弦值之和为正,来说明如何检验三角形中的多解问题,尤其是增解的剔除.先看一个结论:一般地,若三角形ABC的三个内角分别为A、B、C,则cosA+cosB>0,且cosB+cosC>0,且cosC+cosA>0.证明由三角形ABC的三个内角分别为A、B、C,则0相似文献   

HA/cosA=HB/cosB=HC/cosC=2R及其应用

若H、R分别为锐角△ABC的垂心和外接圆的半径,则有性质HA/cosA=HB/cosB=HC/cosC=2R 此性质与三角形的正弦定理同模式,为记忆方便,暂称此性质为“垂心余弦定理”,证明如下。在Rt△AEH中,HA=EA/(cos∠EAH)。在Rt△AEB中,EA=ABcosA。又cos∠EAH=sinC 所以HA=ABcosA/sinC=2RcosA。即HA/cosA=2R,同理HB/cosB=HC/cosC=2R,故得     

构造函数巧证不等式题两例

例1在△ABC中三内角分别为α,β,γ,求证：sinα sinβ sinγ≤(33~(1/2))/2．证明在△ABC中有α β γ=π,要证的不等式可化为(sinα sinβ sinγ)/3≤(3~(1/2))/2=sinπ/3,即证(sinα sinβ sinγ)/3≤sin(α β γ)/3．构造函数y= sinx(0＜x＜π)其图像如图所示．     

一个有用性质与垂心问题

我在做关于三角形“四心”的题目时 ,由一本竞赛书上的一道例题受到启发 ,从中归纳并证明了一个有用性质 .我发现使用该性质可简便地解决一批比较复杂的竞赛题 .在此 ,将该性质及其证明介绍给大家 ,并举几例对之加以证明 .　　定理　对于任意三角形ABC ,H为其垂心 ,都有AH =2R·|cosA| =a·|cosA|sinABH =2R·|cosB| =b·|cosB|sinBCH =2R·|cosC| =c·|cosC|sinC证明　 (1)若△ABC为锐角△ (如图 1) .设AD、BE、CF分别为△ABC中三边上的高线 .易证　△AHE∽△ACD .∴　 AHAC=AEAD.∴　AH =AE·ACAD =AE·ACAD=AE…     

从一个余弦不等式谈起

这里首先给出一个余弦不等式的新证法,并由此推证若干个三角不等式。其次阐明《一个不等式的证明及其应用》(详见《中学数学》1984年第3期)中的重要三角不等式是本文的一个推论,最后谈谈它的应用. 定理若A、B、C是△ABC的三内角,则cosAcosBcosC≤1/8成立。证明当△ABC是非锐角三角形时,则A、B、C中有且仅有一个直角(或钝角),不妨设A是直角(或钝角),有cosA=0(或<0),cosB>0,COSC>0,由此cosAcosBcosC=0(或<0),所证不等式显然成立.