点击一类解三角形的问题——从一道题的错解谈起

题目已知△ABC中,sinA=45,cosB=12,求cosC.错解:∵cosB=12,0相似文献   

对两个结论的注记

文[1]在推证正弦定理时,得到了三个“副产品”,其中前两个是:结论1在△ABC中,sinA sinB sinCcosA cosB cosC<2;结论2在△ABC中,1相似文献   

一个数学问题的简捷证法

题目在锐角△ABC中,求证:1/sin2A+1/sin2B+1/sin2C≥1/sinA+1/sinB+1/sinC~*这是《数学通报》2005年第44卷第2期数学问题与解答中的第1533题,原文提供的答案比较复杂,下面给出一种简单的证明方法.证明在锐角△ABC中,不妨设A≥B≥C,则有1/sinC≥1/sinB≥1/sinA>0,C≤π/3.1/cosA≥1/cosB≥1/cosC≥2,即1/2cosA-1≥     

一个数学问题的简便证明

《数学通报》2004年第12期刊登了李明老师对1525号数学问题“△ABC中,求证:sin(A-30°) sin(B-30°) sin(C-30°)≤23.”的证明,但证明方法技巧性较高,其实该题有较便的证法.记录如下:证因为sin(A-30°) sin(B-30°) sin(C-30°)=2sinA B2-60°·cosA2-B sin(A B 30°)=2sinA B2-60°·cosA2-B sin(A B-60°)=-2sin2A B2-60° 2cosA2-B·sinA B2-60° 1=-2sinA B2-60°-cosA2-2B2 cos2A2-B2 1≤32(1)当且仅当cos2A-2B=1cosA-2B=2sinA B2-60°时“=”号成立.因为-90°相似文献   

一类三角不等式的通用证法

关于三角形内角的三角函数的不等式 ,例如sinAsinBsinC ≤3 38,sin A2 sin B2 sin C2 ≤ 18,cosA+cosB+cosC≤ 23,cos2A+cos2B+cos2C≥ - 23等 ,要证明它们通常需要比较丰富的技巧 .在这类不等式中 ,等号成立的条件均为A=B=C =60°.60°角是一个特殊角 ,它在不等式的证明中起什么作用呢 ?通过研究我们发现 ,倘若给不等式左侧配上相应的 60°角的三角函数后 ,角成双成对 ,反倒便于应用积化和差、和差化积公式 ,从而使这类不等式的证明成为简洁的、程序性的操作了 .1　直接添加 60°角的三角函数例 1　在△ABC中 ,求证cosA+cosB+cosC…     

三边成等差数列的三角形的一个性质及应用

三边成等差数列的三角形有下列性质定理设△ABC中a、b、c是角A、B、C的对边,则a、b、c成等差数列的充要条件是tg(A/2)tg(C/2)=1/3。证明△ABC的三边a、b、c成等差数列(?)2b=a+c(?)2sinB=sinA+sinC(?)4sin(B/2)cos(B/2)=2sin[(A+C)/2]cos[(A-C)/2](?)2sin(B/2)cos(B/2)=cos(B/2)cos[(A-C)/2](?)2sin(B/2)=Cos[(A-C)/2](?)2Cos[(A+C)/2]=cos[(A-C)/2](?)2cos(A/2)cos(C/2)-2sin(A/2)sin(C/2)=cos(A/2)cos(C/2)+sin(A/2)sin(C/2)(?)cos(A/2)cos(C/2)=3sin(A/2)sin(C/2)(?)tg(A/2)tg(C/2)=1/3 由于上述箭头都是可逆的,因此定理得证。应用这个性质来解决三边成等差数列的三角形的有关问题,往往是奏效的。     

一个三角形内角不等式的简证与一个猜想

文[1]证明了如下不等式:命题1对何任△ABC,有sinAcosB sinBcosC sinCcosA≤343.(1)当且仅当△ABC为正三角形时等号成立.原文给出的方法似乎较繁,没有必要分类讨论,并且当△ABC是锐角三角形时“不妨设0相似文献   

三角题的解析证法

有些三角题若用三角法求解则解法冗长 ,教材中的两角差的余弦公式是利用单位圆上的点的坐标给予证明的 .这给予我们启示 ,若有 f( cosα,sinα) =0 ,注意到 sin2α +cos2 α=1 ,我们可以把点 P( cosα,sinα)看成单位圆 x2 + y2 =1与曲线 f ( x,y) =0的交点 .因此某些三角题可以用解析法求解或证明 ,这样做还可以帮助学生融化贯通各科知识 .例 1　△ ABC中cos A sin A 1cos B sin B 1cos C sin C 1=0 .求证 :△ ABC为等腰三角形 .图 1证明　由条件知 :单位圆上三点P1( cos A,sin A) ,P2 ( cos B,sin B) ,P3 ( cos C,sin C)三点共线…     

考点14 三角函数的最值及应用

1.(全国卷,7)当0相似文献   

关于三角形的双圆半径的两个命题

本文先给出关于双圆半径的一个命题 :图 1设△ ABC的外接圆半径为 R,内切圆半径为r,顶点 A、B、C到内心的距离分别为 a0 、b0 、c0 ,则　 4 Rr2 =a0 b0 c0 .证明　∵　 r=a0 sinA2 =b0 sin B2=c0 sin C2 ,∴　 r3 =a0 b0 c0 sin A2 sin B2 sin C2 . 1∵　△ =12 r( a b c)=Rr( sin A sin B sin C)=2 R2 sin Asin Bsin C,∴　 r2 R=sin A .sin B .sin Csin A sin B sin C,易证　 sin A sin B sin C=4 cos A2 cos B2 cos C2 ,∴　 r2 R=2 sin A2 sin B2 sin C2 ,∴　 r4 R=sin A2 sin B2 sin C2 ,2把 2代入…     

争鸣

问题　　 问题 81 　笔者在教学中 ,遇到了这样一个问题 ,同学们给出了两种不同的解法 ,都认为自己的解法有道理 .然后我们几个老师在一起讨论 ,也有所分岐 .题目　已知外接圆半径为 6的△ABC的边长为a ,b ,c,角B ,C和面积S满足条件 :S =a2 - (b-c) 2 和sinB +sinC =43.1)求sinA ;2 )求△ABC面积的最大值 .解法 1　 1)S =a2 - (b -c) 2 =a2 -b2 -c2 +2bc =- 2bccosA +2bc .又S =12 bcsinA ,所以 - 2bccosA +2bc =12 bcsinA ,　　 4 -sinA =4cosA ,　　sinA =817或sinA =0 (舍去 ) .2 )因为sinB +sinC =43,且外接圆的半径为6 ,所以…     

韦达定理的逆定理在三角中的应用

如果两个数α和β满足如下关系:α+β=b/aαβ=c/a,那么这两个数α、β是方程ax~2+bx+c=0(a≠0)的根,我们知道,这便是韦达定理的逆定理。下面举例说明它在平面三角中的应用。例1 已知A+B=90°,sinAsinB=m。求证:tgA、tgB是方程mx~2-x+m=0的两个根。证明:∵A十B=90°, ∴A=90°-B B=90°-A。∴tgA+tgB=sinA/cosA+sinB/cosB =sin(A+B)/cosAcosB=1/sinBsinA =1/m (1) ∵tgAtgB=tgActgA=1 (2) 故根据韦达定理的逆定理,由(1)、(2)     

一组等式的发现与推广

在一堂习题课中，我看到了“cosA cos3A cos5A/sinA sin3A sin5A=tg3A;sin3A sin5A sin7A/sinA sin3A sin5A=sin5A/sin3A”     

例析高中数学研究型问题

根据近年教学实践,选出研究型问题一组,似对高中数学总复习、特别对教师的备课有好处.现整理如下:例1在△ABC中计算:sin2A sin2B sinA·sinB的值.(1)若A=30°,B=30°(2)若A=45°,B=15°(3)若A=40°,B=20°(4)从上述(1)、(2)、(3)中能否得出一个一般性规律?请给予证明.解(1)sin230° sin230° sin30°·sin30°=43(2)sin245° sin215° sin45°·sin15°=43(3)sin240° sin220° sin40°·sin20°=1-c2os80° 1-c2os40° 21(cos20°-cos60°)=1-21(cos80° cos40°) 21cos20°-41=1-21·2cos60°cos20° 21cos20°-41=43(4)猜测:在△AB…     

从否定特殊不能到否定一般

本刊今年第四期P22例12:△ABC中,若sinC=(sinA sinB)/(cosA cosB),则△ABC是( ), (A)等腰三角形; (B)正三角形; (C)直角三角形; (D)锐角三角形原解的思考是:选择支中有     

上期课外练习参考解答

1.令cosx=t,t∈[-1,1],则f(t)=t+3+1/(t+3)在[-1,1]内的值域为:f(-1)≤f(e)≤f(1),即5/2≤y≤17/4.2.把已知方程化为x2-4x+4=0(x>1),即x=2.由题意得B/A=2,sinC/sinA=2,于是有B=2A,sinC=2sinA,而A+B+C=π,∴C=π-3A,∴sinC=sin3A=2sinA,即3sinA-4sin3A=2sinA.     

用三角法妙证欧拉不等式

本文先给出欧拉不等式:若三角形的外接圆半径为R,内切圆半径为r,则R≥2r.现给出一种三角证法.证明　设△ABC的三边长分别为a、b、c,面积为S,外接圆半径为R,内切圆半径为r.由正弦定理得　a=2RsinA　b=2RsinB　c=2RsinC∴S=12absinC=2R2sinAsinBsinC=12r(a b c)=Rr(sinA sinB sinC)∴2Rr=sinA sinB sinCsinAsinBsinC(1)又∵sinA sinB sinC33≥sinAsinBsinC∴1sinAsinBsinC≥27(sinA sinB sinC)3(2)在△ABC中,∠A、∠B、∠C中至少有2个锐角,不妨设∠C为锐角,∵sinA sinB sinC sinπ3=2sinA B2cosA-B2 2sinC π32cosC-…     

边长为等差数列的三角形的一个常用结论

关于边长为等差数列的三角形 ,文 [1 ]给出了一系列性质 (共 1 8个 ) ,这些性质形式多样 ,结构优美 ,精彩纷呈 ,但增加了记忆负担 ,且都可以由其中的一个性质 cos A - C2 =2 cos A +C2 导出 ,各性质的逆命题也都成立 .为此 ,本文仅给出一个核心、完善、常用的结论 ,并介绍它在求值、化简和证明中的广泛应用 .结论　在△ ABC中 ,若 a、b、c分别是角 A、B、C的对边 ,则 a、b、c成等差数列的充要条件是cos A - C2 =2 cos A +C2 (或 cos A - C2 =2 sin B2 ) .证明　由 B =π - (A +C) ,得B2 =π2 - A +C2 ,∴　 sin B2 =cos A +C2 ,cos B2 =sin A +C2 ,∴　 a +c=2 b　 　 sin A +sin C=2 sin B 　 2 sin A +C2 cos A - C2 =2 . 2 sin B2 cos B2 　　　　 cos A - C2 =2 sin B2 　　　 cos A - C2 =2 cos A +C2 .故原命题成立 .下面就其在化简、求值及证明...     

在三角中运用比例性质的解题思路

在三角中,一些与比例有关的问题,运用比例性质来解题非常方便,因为它目标明确,思路清楚,可以克服解题的盲目性,得到简捷的途径、这里略举数例说明。 (一)直接以比值为媒介来解题例1 在△ABC中,己知(sinB+sinC):(sinC+sinA):(sinA+sinB)=5:6:7求证:cosA:cosB:cosC=-4:11:14     

巧用向量方法证明两道三角不等式

<正>向量兼具代数、几何的双重身份.在解决某些数学问题时,便可充分利用其特殊性体现解题中的优势.命题在△ABC,有cos A+cosB+cosC≤3/2,(1)sinA+sinB+sinC≤33~(1/2)/2,(2)证明(1)先证不等式(1)