证明有关三角形不等式的代换方法

以三角函数的形式出现并且和三角形有关的不等式很多,而且其中有些不等式的证明难度是相当大的,但是如果我们利用一些大家比较熟悉的不等式并采用代换方法就能很容易地解决某些问题。本文的目的就是通过几个事例来说明如何使用代换方法来证明或推导这些不等式。下面的不等式是大家所熟知的。设A′+B′+C′=π,则有sinA′/2sinB′/2sinC′/2≤1/8;(1)cosA′/2cosB′/2cosC′/2≤3(3~(1/3))/8 (2)(1)、(2)两式中等号当且仅当A′=B′=C′=π/3时成立。不等式(1)常出现在数学书刊上,故略去其证明。下面我们借助于(1)来证明(2)。若cosA′/2cosB′/2cosC′/2≤0, 则cosA′/2cosB′/2cosC′/2≤3(3~(1/3))/8显然成立,以下假定cosA′/2cosB′/2cosC′/2>0