关于利用等价无穷小代换来求极限的探讨

一、利用等价无穷小代换来求极限的一些容易证明的定理定理1设无穷小量f（x）～（x），且limf（x）·g（x）存在，则这里，（1）无穷小量f（x）～（x），表示f（x）与（x）是当x→x0或x→∞时的等价无穷小；（2）limf（x）表示limf（x）或limf（x）．下同。定理2设无穷小量f（x）～（x），且存在，则由这二个定理可知，一般在乘或除的情况下是可用等价无穷小代换来求极限的。此外在幂指函数求极限中，也常利用等价无穷小代换，这有下面二个定理，这里只证后一个定理。定理3设八x）＞0，无穷小量g（x）～～（x），且tim八x）”“’存在，则定…     

凝聚映象的不动点及算子方程Ax+Bx+Cx=x的可解性

按文[1]中方法得到几个对凝聚映象的不动点定理,还扩充文[2]中对于算子方程Ax B x=x到Ax B x Cx=x可解性的某些结论.主要结果是定理2、定理3与定理5.     

一个定理的推广

文[1]中的定理为:若f(x)是[a,b]上的增函数,x f(x)=m,x f-1(x)=m的根分别为a,b,则a b=m.经探讨,笔者发现定理中的条件“f(x)是[a,b]上的增函数”是多余的,该定理可进一步推广为:定理若方程x f(x)=m和x f-1(x)=m的根分别为a,b,则a b=m.定理的证明用到下面的引理:引理若函数y=f(x     

构造求方程重根高阶迭代公式的基本定理

在[1]中已经介绍了构造高阶多点迭代公式的基本定理:设φ(x)d是p阶的,则φ(x)=φ(x)-f(φ(x))/f′(x)是P 1阶的,[2]中又给出了[1]的一个改进了的基本定理,但这些定理仅适用于方程f(x)是单根的情况.本文针对φ′(x_*)的性质,提出了在重根情况下亦适用的多点迭代构造定理.     

一类时滞状态相关的中立型泛函微分方程解的存在性定理

本文在拟Banach空间中研究了一类时滞状态相关的中立型方程,利用不动点定理讨论了时滞状态相关的中立型方程x′(t)=f(x(t),x(t-r),x′(t-r)),r=r(x(t))解的存在唯一性定理,从而推广了有关结论．     

关于“拉特马吼级数表示的函数”一文中一个定理的简单证明和推广

王斯雷在[1]中建立了下述定理1。但是他的证明似乎太长,本文指出,这个定理只需用初等微积分的方法就可以很简单地证明出来。用新证明的类似方法我们还可以得到定理2及定理3。定理2将原定理中F(x)连续的条件减弱为近似连续,定理3又在定理2的基础上把定理1进一步推广。定理1.设F(x)是[0,1]上的连续函数,级数     

最佳混合范数逼近

本文研究了两变量函数 f(x,y)用单变量函数 g(x)作混合范数逼近问题,即求g~*(x)∈G,G 是一 Haar 子空间,使(?)integral from Y|f(x,y)-g~*(x)|dμ=(?)integral from Y|f((?),y)-g(x)|dμ我们建立了包括交错定理、de la Vallee Poussin 定理、唯一性定理和强唯一性定理在内的 Chebyshev 逼近理论。     

微分中值定理的一个注记

在微分中值定理的学习中,一般都能认识到,若函数f(x)在区间[a,x]上满足Lagrange中值定理的条件,那末有     

积分中值定理当x→+∞时的“中间点”的渐近性

讨论了区间[x-1,x+1]上的积分中值定理在x→+∞时的中间点的渐近性态,证明了在一定条件下,积分中值定理的中间点趋向于区间中点.     

Herstein定理的推广

1955年Herstein将著名的Jacobson定理推广为:定理A.如果对R中任意x,y,存在可依赖于x,y的整系数多项式p(t),使[x-x2p(x),y]=0,则R是交换的.本文利用多项式的系数和定义了n元多项式,f(x1,x2…,xn)的Fk性质,并以此证明了一个环的交换性定理,当n=1时,即得到定理A.     

QUASI-LOCAL CONJUGACY THEOREMS IN BANACH SPACES

Let f : U(x0) (?) E→F be a. C1 map and f'(X0) be the Prechet derivative of /fat X0. In local analysis of nonlinear functional analysis, implicit function theorem, inverse function theorem, local surjectivity theorem, local injectivity theorem, and the local conjugacy theorem are well known. Those theorems are established by using the properties: f'(x0) is double splitting and R(f'(x))∩N(T0 ) = {0} near X0. However, in infinite dimensional Banach spaces, f'(x0) is not always double splitting (i.e., the generalized inverse of f'(xo) does not always exist), but its bounded outer inverse of f'(x0) always exists. Only using the C1 map f and the outer inverse T0# of f'(x0), the authors obtain two quasi-local conjugacy theorems, which imply the local conjugacy theorem if X0 is a locally fine point of f. Hence the quasi-local conjugacy theorems generalize the local conjugacy theorem in Banach spaces.     

THE NOTE ON MATRIX-VALUED RATIONAL INTERPOLATION

In [3], a kind of matrix-valued rational interpolants （MRIs） in the form of Rn（x） = M（x）/D（x） with the divisibility condition D（x） ｜ ｜｜M（x）｜｜^2, was defined, and the characterization theorem and uniqueness theorem for MRIs were proved. However this divisibility condition is found not necessary in some cases. In this paper, we re- move this restricted condition, define the generalized matrix-valued rational interpolants （GMRIs） and establish the characterization theorem and uniqueness theorem for GMRIs. One can see that the characterization theorem and uniqueness theorem for MRIs are the special cases of those for GMRIs. Moreover, by defining a kind of inner product, we succeed in unifying the Samelson inverses for a vector and a matrix.     

一类整除性定理的推广

[1 ]给出复数域C上多元多项式环 C[x1 ,x2 ,… ,xn]的一类整除性定理 ,本文把它推广为任意代数闭域 k上多元多项式环 k[x1 ,x2 ,… ,xn]的情形 .     

关于一个次可乘定理

本文证明了次可乘定理：设A是一个*代数,A上范数||.||使得（A,||.||）成为完备的赋范线性空间,而且,（I）对于X∈A,||x*x||||x||2;（II）对于正规元x∈A,||x*x||=||x||2,则（A,||.||）是C*-代数．同时,也给出了其对应的C*-等价定理．     

一类共振条件下的高阶p-Laplacian算子多点边值问题

主要讨论了下列n阶带p-Laplacian算子多点边值问题在共振条件下解的存在性.(Φp(x(n-1)))′+f(t,x,x′,…,x(n-2))=0,0相似文献   

角函数方法在二阶微分方程边值问题中的应用

利用角函数的方法讨论了下列二阶微分方程x″+g(t,x,x′)=0(1)x″+δsin(x)+h(t)=0(2)x″+g(t,x′)=0(3)在边界条件x(a)=x(b)=0(4)下解的存在性或唯一性问题.得到了边值问题(1)(4)的存在性定理,边值问题(2)(4)和(3)(4)的存在唯一性定理.     

Dini定理修正

讨论经典Dini定理,证明当Dini定理的连续性条件被放宽成"un(x)一u(x)有最大值"时,同样可以得到一致收敛的结论.在函数项级数和含参变量积分中,Dini定理可以进行类似的修改.最后,给出修正后的Dini定理的一个具体应用.     

Виноградов中值定理的一个改进和它的某些应用

<正> 正如大家所熟知的,И.М.Виноградов院士的中值定理在解析数论的新研究中是一个很基本的工具.本文作者之一曾经在1941年与1949年先后二次改进过Виноградов中值定理,在本文中更将证胆如下的中值定理.     

Liénard方程极限环的存在唯一性定理

<正> 的极限环的存在唯一性问题[1,2],给出了定理1,此定理的一个推论即已包含了熟知的Lienard定理以及Levinson-Smith[3],Sansone[2],Barbalat[4],余澍祥[5]的存在唯一性定理.作为定理1推论的直接应用,还对方程