矩阵方程A~TXA=D的双对称最小二乘解

１．引 言 本文用 Ｒｎ×ｍ表示全体 ｎ×ｍ实矩阵集合，用 ＳＲｎ×ｎ（ＳＲ０ｎ×ｎ）表示全体 ｎ× ｎ实对称（实对称半正定）矩阵集合，ＯＲｎ×ｎ表示全体 ｎ× ｎ实正交矩阵集合，ＢＳＲｎ×ｎ表示全体ｎ×ｎ双对称实矩阵集合．这里，一个实对称矩阵Ａ＝（ａｉｊ）ｎ×ｎ被称为双对称矩阵，如果对所有的 　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　用Ａ×Ｂ表示矩阵 Ａ与 Ｂ的Ｈａｄａｍａｒｄ乘积，Ｉｋ表示 ｋ× ｋ阶单位矩阵，Ｏ表示零矩阵，Ｓｋ＝（ｅｋ，…，ｅ２，ｅ１）∈ Ｒｋ×ｋ，其中ｅｉ表示Ｉｋ的第ｉ列． 矩阵方程…     

非负矩阵最大特征值的平滑算法

１引　言 本文中Ａ＝（ａｉｊ）表示ｎ阶方阵,Ａ＞０表示Ａ为正矩阵,即ａｉｊ＞０（ｉ,ｊ＝１,２,…,ｎ）;Ａ≥０表示Ａ为非负矩阵,即ａｉｊ≥０（ｉ,ｊ＝１,２,…,ｎ）且至少有一个严格大于号成立,周知,当Ａ＞０时Ａ有一个正特征值λ满足λ＞｜λ｜,其中λ为Ａ的其它任一特征值;当Ａ≥０时Ａ有一个非负特征值λ满足λ≥｜λ｜,其中λ为Ａ的任一特征值．把这样的λ称为Ａ的最大特征值,为强调它属于Ａ,记作λ（Ａ）．同时,把与λ（Ａ）对应的Ａ的特征向量记作ｘ（Ａ）． 对Ａ≥０,记当Ｒｔ＞０（ｉ＝１,２,…,ｎ）时…     

线性流形上双对称阵逆特征值问题

１．引言 令Ｒ表示所有ｎ×ｍ阶实对称阵集合,Ｒ＝Ｒ,Ｒ表示Ｒ中秩为ｒ的子集; ＯＲ是ｎ阶正交阵之集; Ａ＋表示Ａ的Ｍｏｏｒｓ－ｐｅｎｒｏｓｅ广义逆;Ｉｋ表示ｋ阶单位阵; ＳＲ表示 ｎ×ｎ表示ｎ阶实对称阵的全体; Ｒ（Ａ）表示 Ａ的列空间; Ｎ（Ａ）表示 Ａ的零空间; ｒａｎｋ（Ａ）表示 Ａ的秩,对 Ａ＝（ａｉｊ）, Ｂ＝（ｂｉｊ） Ｒ, Ａ＊ Ｂ表示 Ａ与 Ｂ的 Ｈａｄａｍａｒｄ乘积,其定义为 Ａ＊ Ｂ＝（ａｉｊ　ｂｉｊ）,并且定义 Ａ与 Ｂ的内积为（Ａ,Ｂ）＝ｔ,（ＢＡ）,由此内积导出的范数为（Ａ,Ａ）＝（ｔ,（Ａ…     

代数特征值反问题Hermite情形可解的充分条件

１　引言及主要结果 本论文将要讨论如下问题［２,４］： 问题ＨＧ给定ｎ＋１个Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵Ａ＝（ａｉｊ）ｎ×ｎ和Ａｋ＝Ｓ和ｎ个实数　,求个实数ｃ１,…,ｃｎ,使得Ａ（ｃ）＝ ．的特征值为 对于上述问题,有解的充分条件已有许多研究结果,如［２,４,６］．下面将利用Ｂｒｏｕｗｅｒ不动点定理给出新的充分条件． 本文的符号和定义如下： 对任意ｎ阶Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵Ｂ＝（ｂｉｊ）,记Ｂ（０）＝Ｂ－ｄｉａｇ（ｂ１１,ｂ２２,…,ｂｎｎ）,ρ（Ｂ）表示Ｂ的谱半径, ｛λ（Ｂ）｝表示Ｂ的特征值（谱）集合,且设　表…     

求矩阵A^＋的初等变换法

求矩阵Ａ~＋的初等变换法赵昌成（湖北郧阳师专４４１９００）设Ａ是复ｍ×ｎ矩阵，如果ｎ×ｍ矩阵Ｘ满足（１）ＡＸＡ＝Ａ（２）ＸＡＸ＝Ｘ；（３）（ＡＸ）＝ＡＸ；（４）（ＸＡ）＝ＸＡ．则称Ｘ为Ａ的Ｍｏｒｅ－Ｐｅｎｒｏｓｅ广义逆（号表示对矩阵取共轭转置运算）．...     

矩阵方程AX + XB=0求解初探

一、矩阵方程ＡＸ＋ＸＢ＝０解的判定命题＝设Ａ、Ｂ均为ｎ阶方阵,则矩阵方程ＡＸ＋ＸＢ＝０（＊）与矩阵方程Ｑ·Ｙ＝０等价;其中ＹＴ＝（ｘ１１,ｘ１２,…,ｘ１ｎ,ｘ２１,…,ｘ２ｎ,,ｘｎ１,ｘｎｎ）证明设Ａ＝（ａｉｊ）,Ｂ＝（ｂｉｊ）,Ｘ＝（ｘｉｊ）均为ｎ阶方务,则（＊）式等价于由矩阵相等关系知（＊＊）等价于下列ｎ组线性方程组现在就第（１’）式进行讨论,将（１’）展开为用矩阵表示为（ａ１１Ｅ＋ＢＴａ１２Ｅａ１３Ｅ…ａ１ｎＥ）Ｙ＝０（１’）其中ＹＴ＝（ｘ１１ｘ１２…ｘ１ｎ,ｘ２１…ｘ２ｎ…ｘｎ１…ｘ…     

矩阵损失下均值向量的线性可容许估计

设Ｙ＝（Ｙ１，…，Ｙｎ）′相互独立，ＥＹ＝Ｘβ，ＣｏｖＹ＝Ｘｄｉａｇ（β１，…，βｎ）Ｘ′，β＝（β１，…，βｎ）′∈Ｒ＋ｎ为参数，Ｒ＋＝（０，＋∞），Ｘ为已知的元素非负且对角线元素为正的ｎ阶满秩矩阵，估计均值Ｘβ，选取损失函数为矩阵损失，估计类为Ｄ＝｛ＡＹ：Ａ为元素非负的ｎ阶矩阵｝．本文研究ＡＹ在Ｄ中的容许性，获得了ＡＹ在Ｄ中是Ｘβ的容许估计的充要条件．     

厄米特矩阵的迹的几点性质

应用矩阵Ａ＝（ａｉｊ）∈Ｃｎ×ｎ的弗罗伯尼范数ＡＦ和谱范数ＡＳ，研究厄米特矩阵的迹的性质，得到几个结论：Ｔｒ（ＡＢ）＝∑ｎｉ＝１λｉ∑ｎｊ＝１ｔｉｊμｊ（λｉ，μｊ分别为Ａ，Ｂ的特征值，０≤ｔｉｊ≤１，且∑ｎｉ＝１ｔｉｊ＝１，ｊ＝１，２，…，ｎ）；Ｔｒ（ＡＢ）≤Ｔｒ（Ａ）ＢＳ；Ｔｒ（ＡＢ）Ｈ（ＡＢ）］≤Ｔｒ（ＡＨＡ）［ｍａｘ１≤ｉ≤ｎλｉ］２（λｉ是Ｂ的特征值）等．     

实方阵存在 Volterra乘子的判定

设Ａ为实方阵,熟知,若Ａ＋ＡＴ正定,则称Ａ亚正定;若存在正对角阵Ｄ,使得ＤＡ＋（ＤＡ）Ｔ正定,则称人广义亚正定,又若使得 ＤＡ＋（ＤＡ）Ｔ为正定矩阵,则称 Ｄ为Ａ的 Ｖａｌｔｅｒｒａ乘子．易证下列结果． 定理 １设 Ａ＝（ａｉｊ） ∈ Ｒｎｘｎ,且 Ａ＝ 则 Ａ亚正定的充要条件是亚正定． ２理 ２设Ａ＝（ａｉｊ）ｎｘｎ,则 Ａ存在Ｖｏｌｔｅｒｒａ乘子的充要条件是Ａ为广义亚正定阵． 定理 ３设 Ａ＝（ａｉｊ）ｎｘｎ,Ａ分块如定理 ２,若 Ａ１１,Ａ２２亚正定,则 Ａ存在 Ｖｏｌｔｅｒｒａ乘子． 定理 ４设 Ａ＝（ａｉｊ）…     

严格对角占优矩阵行列式模下界的估计和应用

严格对角占优矩阵行列式模下界的估计和应用胡永建（北京师范大学数学系９０级１００８７５）对于严格对角占优矩阵Ａ＝（ａｉｊ）∈Ｍｎ（Ｃ），即有它的行列式摸有一个下界：在本文，我们用归纳法来证明比它更好的下界估计（定理１），并讨论其应用．有关结果见文献［１...     

伴随矩阵的反问题

伴随矩阵的反问题王新哲（保定师范专科学校数学系０７１０５１）设Ａ＝（ａｉｊ）为一方阵，记Ａ＊＝（Ａｊｉ），其中Ａｊｉ为ａｊｉ在Ａ中的代数余子式，则称Ａ＊为Ａ的伴随矩阵．然而，当给定一方阵Ｂ时，却不一定有方阵人使得Ａ＊＝Ｂ．如：Ｂ＝因三阶方阵Ａ的伴随矩...     

一类双对称矩阵反问题的最小二乘解

１．问题的提出近年来,对于矩阵反问题ＡＸ＝Ｂ的研究已取得了一系列的结果［１］,获得了解存在的条件,但由于实际问题中Ｘ,Ｂ由实验给出,很难保证满足解存在的条件,因此研究问题的最小二乘解是有实际意义的．本文就结构设计中用到的一类双对称矩阵的最小二乘问题进行探讨．令Ｒ~(ｎ×ｍ)表示所有ｎ×ｍ阶实矩阵集合,Ｒ~n=Ｒ~(n×1)　表示其中秩为ｒ的子集;ＯＲ~（ｎ×ｎ）　表示所有ｎ阶正交阵之集;Ａ~（ ）表示矩阵Ａ的Ｍｏｏｒｅ－Ｐｅｎｒｏｓｅ广义逆;Ｉ_ｋ表示ｋ阶单位阵;||·||表示Fｒｏｂｅｎｉｕｓ范数;表示ＳＲ~(ｎ…     

关于加法逆特征值问题

１．引言 设Ａ（ｃ）＝（ａｉｊ（ｃ））是ｎ阶实矩阵,其元素ａｉｊ（ｃ）（ｉ,ｊ＝１,…,ｎ）是参变量ｃ＝（Ｃ１,…,ｃｎ）Ｔ的实解析函数,λ１（ｃ）,…,λｎ（Ｃ）是矩阵Ａ（ｃ）的特征值,λ１,…,λｎ是给定的实数,代数特征值反问题［４］就是研究如何求解实的ｃ,使Ａ（ｃ）的特征值为给定的λ１,…,λｎ． 假设给定的ｎ个数λ１,…,λｎ互异,且问题的解存在（解不存在时可考虑某种形式的最小二乘解）,过去的研究一般是直接研究或将问题转化为如下等价的非线性方程组 ｄｅｔ（Ａ（ｃ卜人Ｉ）一０, ｉ＝ １,…,…     

线性齐次微分方程一种特解的矩阵求法

线性齐次微分方程一种特解的矩阵求法周传忠（华南师范大学数学系５１０６３１）设ａｉｊ（ｉ＝０，１，…，ｍ；ｊ＝０，１，…，ｎ）均为常数，ｒ为非负整数，λ为复数；为求微分方程的ｔＴｅλｔ型特解，称为（１）的系数矩阵，用０ｋ表示ｋ个零行，记定理１方程（１）...     

On the Equivalences of Matrix Norms Related to the l_p Norms

１．ＩｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎＦｏｒａｐｏｓｉｔｉｖｅｎｕｍｂｅｒ１ｐ∞ａｎｄａｃｏｍｐｌｅｘｍａｔｒｉｘＡ＝（ａｉｊ）∈Ｃｎ×ｎ，ｗｅｄｅｎｏｔｅｂｙ｜Ａ｜ｐ＝ｎｉ，ｊ＝１｜ａｉｊ｜ｐ１ｐｔｈｅｌｐｎｏｒｍｏｆｔｈｅｍａｔｒｉｘＡ，ａｎｄｂｙＡ...     

线性常微分方程组解的特征数的估计

复数域上线性系统ｘ＝Ａ（ｔ）ｘ，当Ａ（ｔ）＝（ａｉｊ（ｔ））ｎ×ｎ具有（ｎ，Ｎ，ｒ） 差异性质且ｒｎ时，解的特征数ｊ有估计λｊ－ｌｉｍｔ→∞１ｔ∫ｔｔ０Ｒｅａｊ（τ）ｄτｎ－１ｒ＋１－ｎｌｉｍｔ→∞１ｔ∫ｔｔ０Ａ（τ）ｄτ，ｊ＝１，２，…，ｎ，其中Ａ（ｔ）＝ｍａｘ｛｜ａｉｊ（ｔ）｜：ｉ，ｊ＝１，２，…，ｎ，ｉ≠ｊ．｝     

关于阶数为奇数的布尔矩阵行空间的基数

设Ｂｎ表示所有的ｎ阶布尔矩阵的集合，Ｒ（Ａ）表示Ａ∈Ｂｎ的行空间，｜Ｒ（Ａ）｜表示Ｒ（Ａ）的基数．设ｍ，ｎ为正整数，本文证明了（Ⅰ）ｍ∈［１，４６］，［１，７８］，分别存在Ａ∈Ｂ７，Ａ∈Ｂ８，使得｜Ｒ（Ａ）｜＝ｍ．（Ⅱ）当ｎ≥９为奇数时，则ｍ∈［１，２（ｎ＋３）／２＋２（ｎ＋１）／２＋…＋２３］，存在Ａ∈Ｂｎ，使得｜Ｒ（Ａ）｜＝ｍ．     

MW-分形集的分离性质

令（ａｉｊ）ｎ×ｎ为０ １不可约矩阵．对每一ａｉｊ＝１，取Ｒｄ中具有相似率０＜ｒｉｊ＜１的相似压缩映射φｉｊ．则对应地存在Ｒｄ中唯一紧集族Ｆ１，…，Ｆｎ满足：Ｆｉ＝∪ｎｊ＝１ａｉｊ＝１φｉｊ（Ｆｊ）．我们证明开集条件成立当且仅当强开集条件成立当且仅当对某个１ｉｎ，Ｆｉ为一ｓ－集，此处ｓ为使得矩阵ｒｓｉｊｎ×ｎ的谱半径为１的唯一非负实数．     

二阶方阵的平方根和三角方阵的三角平方根

二阶方阵的平方根和三角方阵的三角平方根胡结梅（南昌航空工业学院基础一部３３００３４）定义设Ａ是一个ｎ阶方阵，若存在ｎ阶方阵Ｂ，使Ｂ２＝Ａ，则称方阵Ｂ是方阵Ａ的一个平方根．以ｄｅｔＡ表示方阵Ａ的行列式，则由定义得：ｄｅｔＢ＝±ｄｅｔＡ．下面的定理１给出...     

布尔矩阵广义逆A－ω，A－d，A－ω

设Ａ是布尔矩阵，而矩阵Ｇ满足ＡＧＡ＝Ａ．（１）如果对所有Ａｘ＝ｙ的向量ｘ，ｙ．有ω（Ｇｙ）≤ω（ｘ）（＊）称Ｇ是Ａ的一个极小权ｇ－逆，表示为Ａ－ω．（２）如果对所有向量ｘ，ｙ，有ｄ（ＡＧｙ，ｙ）≤ｄ（Ａｘ，ｙ）（＊＊）称Ｇ是Ａ的最小距离ｇ－逆，表示为Ａ－ｄ．（３）如果（＊）和（＊＊）都成立，就称Ｇ是极小权最小距离ｇ－逆，表示为Ａ－ωｄ．本文研究这三类广义逆矩阵的最大逆的存在性及表示式．主要结果如下：假定对于矩阵Ａ．Ａ－ω，Ａ－ｄ，Ａ－ωｄ分别存在，那么．（１）存在最大Ａ－ω，当且仅当Ａ中设有两个相同的非零列，且最大Ａ－ω为Ａω＝［ＩＣＡＴ］Ｃ．（２）最大Ａ－ｄ存在，且为Ａｄ＝［ＡＴＡＣＡＴ＋ＡＴ（ＪＡＴ）Ｃ］Ｃ．（３）存在最大Ａ－ωｄ，当且仅当Ａ的所有非零列向量线性独立，且最大Ａ－ωｄ为Ａωｄ＝［ＡＴＡｃＡＴ＋ＡＴ（ＪＡＴ）ｃ＋（ＡＴＪ）ｃＡＴ］Ｃ．其中Ｊ为全１矩阵