四元数矩阵积的特征值与奇异值的不等式

运用优化不等式理论和四元数体上的几何理论 ,得到了四元数矩阵积的特征值与奇异值的几个不等式 .     

四元数矩阵的特征值与奇异值不等式

关于复矩阵特征值与奇异值不等式的研究,[1]中已有既系统又较深入的综述。四元数矩阵的特征值,自[2]、[3]的工作以来,近三十年中进展甚微,其特征值不等式至今未见论述。近些年来,由于体上矩阵标准形理论研究的进展,谢先生在[5]中定义了体上一类矩阵的特征值,使得这方面的研究又有了新的势头。本文就是在[5]的特征值定义下,对四元数矩阵的特征值与奇异值不等式作些考察,将复矩阵论中著名的特征值Cauchy交错定理,奇异值Thompson交错定理以及惯性律的Ostrowski数量公式推广到四元数体H上。     

一个四元数矩阵乘积奇异值的不等式及其应用

本文得到了四元数矩阵乘积奇异值的一个不等式，并且在四元数体上推广、改进了有关矩阵乘积迹不等式的相应结果．     

四元数矩阵的Schur积的奇异值和的估计

本文得到了四元数矩阵Schur积的奇异值和的估计.     

四元数自共轭矩阵和的特征值的不等式

本文将Wietandt关于复自共轭矩阵的特征值和的变分特征以及和的特征值的不等式推广到四元数体上，由此还给出了复自共轭矩阵的主对角元与特征值的优化关系的Schur定理、复矩阵的主对角元的模与奇异值的优化关系的Fan定理在四元数体上的推广.     

奇异四元数矩阵的正态及Wishart分布

本文利用拉直算子(vec)和Kronecker积求得了四元数矩阵的实表示矩阵的一些性质,在此基础上利用实矩阵的奇异正态分布密度函数,求出了四元数矩阵的奇异正态分布的密度函数表达式.由此得到四元数矩阵奇异Wishart分布的密度函数表达式.     

一四元数矩阵方程组的最佳逼近解

利用四元数矩阵的广义Frobenius范数和弱圈积,建立一个关于四元数矩阵的实函数并简洁表征其极小值.再用四元数矩阵的奇异值分解和广义Frobenius范数的性质,讨论四元数矩阵方程组[AX,XB]=[C,D]的最小二乘解,得到了解的具体表达式.最后在该方程组的解集合中导出了与给定矩阵的最佳逼近解的表达式.     

四元数矩阵乘积的奇异值与特征值的不等式

本文给出了两个四元数矩阵乘积的奇异值的一些不等式,在此基础上估计了两个自共轭矩阵A、B的乘积的每个特征值,其中A≥0、B≥0或B>0.     

关于谢邦杰的一个定理的推广

本文采用[1]的术语.1978年,谢邦杰将著名的Hadamard不等式推广到四元数体上,即:设A=(a_ij)_n×n为四元数体上可中心化的非奇异矩阵,则等号成立当且仅当A的各行广义正交.本文给出关于四元数体上长方阵的不等式(2).当m=n,且A是可中心化的非奇异矩阵时,(2)式即为(1)式.     

分裂四元数矩阵的奇异值分解及应用

利用i-共轭重新定义了分裂四元数矩阵的共轭转置,在此基础上借助复表示和友向量研究了分裂四元数矩阵的奇异值分解,并利用所得结果解决了分裂四元数矩阵的极分解和分裂四元数矩阵方程AXB-CYD=E.     

具有实谱值的四元数矩阵的谱值估计

本文给出了具有实谱值的四元数矩阵的定义，得到了一些具有实谱值的四元数矩阵的谱值不等式，这些不等式只涉及到了四元数矩阵的迹的实部和它的平方的迹的实部。     

矩阵乘积之Schur补的奇异值估计

0引言矩阵特征值和奇异值的估计,在数值代数、线性系统及控制论、力学等学科中有着十分重要的应用.中外学者获得了许多著名结果,但对Schur补的特征值及奇异值的估计则较困难.我国学者王伯英等得到了矩阵Hadamard之积的Schur补不等式及广义Schur余不等式,刘建州等给出了矩阵乘积的Schur补的奇异值估计.本文改进和推广了文献[2]、[4]和[5]中的一些不等式.     

关于四元数EP矩阵偏序的研究

本文利用四元数矩阵的奇异值分解给出四元数EP矩阵的一个刻画,并得到四元数EP矩阵减序,左（右）星序,星序的相应刻画定理与性质定理．     

关于四元数矩阵的最佳逼近问题

通过使用四元数矩阵的广义奇异值分解,给出了四元数矩阵最佳逼近问题‖AHXA-C‖2F+‖BHXB-D‖2F=min, s.t. XH=X的一般表达式.     

四元数矩阵的加权广义逆

利用四元数矩阵的加权奇异值分解 ,给出了四元数矩阵加权广义逆的显式表达 ,简化了应瓦金给出的相应结果 ,同时解答了有关的公开问题 .     

四元数矩阵方程AXAH=B的最小二乘解

引入了四元数矩阵范数的概念，通过使用四无数矩阵的奇异值分解，给出了四元数矩阵方程AXA^H＝B在最小二乘意义下的Hermitian解以及Skew-Hermitian解．     

四元数Sylvester方程的Toeplitz约束解及其最佳逼近

本文研究了四元数体上Sylvester方程具有Toeplitz矩阵约束解及其最佳逼近问题.利用四元数矩阵的实分解和矩阵Kronecker积,获得四元数Sylvester方程AX-XB=C具有Toeplitz矩阵解的充要条件及其通解表达式.同时在Toeplitz解集合中,得到与预先给定的四元数Toeplitz矩阵有极小Frobenius范数的最佳逼近解.     

四元数体上一类矩阵方程的极小范数最小二乘解

借助于四元数体上自共轭矩阵的奇异值分解,给出了四元数矩阵方程AX＋XB＋CXD=F的极小范数最小二乘解.同时,在有解的条件下给出了Hermite最小二乘解及其通解的表达形式.     

关于Hadamard不等式的再改进

本文提出并改进了文[1]中所给出的几个关于可除环上矩阵行列式的不等式,利用这些不等式我们给出了可除环上任意非奇异矩阵的经典Hadamard不等式的一个再改进. 定义1 设A=(a_(ij))_(n×n)是四元数除环Ω上的矩阵,A=(a_(ij))_(n×n)是A的共轭矩阵,如果A=A,则称A为自共轭矩阵,如果A的各阶主子式均为正实数,则称A为正定自共轭矩阵(文[2]定理4).     

关于Thompson定理及两个相关命题的评注

本文指出了文［１－３］关于复矩阵、实矩阵及四元数矩阵与其（嵌入）子矩阵的奇异值交错不等式的几个定理的局限性，给出了Ｔｈｏｍｐｓｏｎ定理必须具备的隐含条件，指出了隐含条件之外仍使Ｔｈｏｍｐｓｏｎ定理成立的两种情形，进而提出了一个尚须进一步研究的问题