数学归纳法中归纳推理的常用技巧

数学归纳法中归纳推理的常用技巧党政（广西北海市第二职业高中）众所周知，数学归纳法是重要的证题方法之一，其证题难点一般在于第２步的从归纳假设到归纳结论的归纳推理，即假设ｎ＝ｋ时命题ｆ（ｋ）正确，证明当ｎ＝ｋ＋１时，命题ｆ（ｋ＋１）也正确．本文将从确定增...     

从k到k 1思路受阻分析及转化策略

用数学归纳法证明不等式，特别是数列不等式，是一个行之有效的方法，也是中学数学中的一个基本方法，近些年高考试题中几次出现这类问题．运用这种方法时，往往有好多学生在证ｋ到（ｋ＋１）的过程中，卡了壳、断了思路，这是一种普遍现象．现就笔者在讲授这部分内容时学生暴露的问题，分析一下思路受阻的几种原因及转化策略．１　从ｋ到（ｋ＋１）添项不足在从ｋ到（ｋ＋１）的证明过程中，如果分析不透命题结构，就会造成添项不足，证明夭折．例１　已知Ｓｎ＝１＋１２＋１３＋…＋１ｎ，（ｎ∈Ｎ）．用数学归纳法证明Ｓ２ｎ＞１＋ｎ２　…     

数学问题解答

数学问题解答１９９４年７月号问题解答（解答由问题提供人给出）９０１设且求证：证明依题设有由（１）、（２）得所以，即．９０２求解（１）探求由（２）、（３）可知同法可求得由此猜想（２）用数学归纳法讨Ｚ明当时，命题成立．设ｎ＝ｋ时命题成立，即则当ｎ＝ｋ＋１...     

数学归纳法

数学归纳法刘昌尧（宜昌教育学院）［基本概念］数学归纳法是数学证明的一个重要工具．设ｐ（ｎ）是与ｎ有关的一个命题．为了证明ｐ（ｎ）对于ｎ≥ｎ０（ｎ０≥１，ｎ０∈Ｎ）的一切ｎ均成立．先证明当ｎ取第一个值ｎ０时ｐ（ｎ０）成立，然后假设当ｎ＝ｋ（ｋ∈Ｎ，ｋ≥...     

反向数学归纳法

反向数学归纳法４３００７０华中师大数学系郑学群我们知道第一数学归纳法是：（１）命题ｐ（ｎ）当ｎ＝１时正确；（２）从命题ｐ（ｎ）的正确性推出命题ｐ（ｎ＋１）的正确性，那么命题ｐ（ｎ）对所有的自然数ｎ都正确．数学归纳法的第二步是证明命题的关键，通常是由自...     

数学归纳法证明中的项数问题

数学归纳法证明中的项数问题５５０００４贵阳市第六中学邢益民在中学数学中，用数学归纳法证明一类恒等式时，如下两个问题常常使学生的解题思路受阻．１当ｎ＝１时的项数例１　　用教学归纳法证明（ｎ＋１）十（ｎ＋２）＋（ｎ十３）＋…＋３ｎ＝ｎ（４ｎ＋１）（ｎ∈Ｎ...     

数列x_（n＋2）＝x~2_（x＋1）／x_n的周期性

数列ｘ_（ｎ＋２）＝ｘ~2_（ｘ＋１）／ｘ_ｎ的周期性江西赣南师范学院熊曾润设数列｛Ｘｎ｝满足其中．本文探讨这类数列的周期性．引理若数列（Ｘｎ）满足（１）和（２），则它必定满足证明应用数学归纳法．（ｉ）ｎ＝１时，由（１）和（２）可得这表明ｎ＝１时等式（３?..     

帕斯卡与数学归纳法

帕斯卡与数学归纳法孙宏安（大连教育学院１１６０２１）数学归纳法是证明关于自然数ｎ的命题Ｐ（ｎ）的一种方法，是人们最早掌握的递归方法．其具体操作是：１°证明Ｐ（１）为真；２°假设Ｐ（ｋ）真，证明Ｐ（ｋ＋１）为真．若１°，２°都得证，则Ｐ（ｎ）对所有自然...     

谈重根——中学数学笔谈之六

笔者曾看到这样一本教材，在论证ｎ次代数方程有ｎ个根这一命题以及提出重根概念时，在承认代数基本定理“（复系数的）代数方程一定有根”的基础上是这样写的（大意如此）：“用归纳法证明ｎ次（ｎ≥１）代数方程有ｎ个根．当ｎ＝１即一次方程正好有一个根．现设ｎ＝ｋ时...     

方程f~（n）（x）＝Af~（n－k）（（ax＋b）／（cx－a））

本文提出方程ｆ~（ｎ）（ｘ）＝Ａｆ（ｎ－ｋ）（（ａｘ＋ｂ）／（ｃｘ－ａ）），证明它是可积的．所得结论是文献［１］中结论的推广．     

n阶时滞差分方程的边值问题

本文研究ｎ阶时滞差分方程的边值问题：ｘ（ｋ＋ｎ）＝ｆ（ｋ，ｘｋ（），ｘ（ｋ），ｘ（ｋ＋１），…，ｘ（ｋ＋ｎ－１）），ｋ∈ＩＴ，ｘ（ｍ）＝φ（ｍ），ｍ∈Ｉ－ｒ，ｘ（１）＝ａ１，ｘ（２）＝ａ２，…，ｘ（ｎ－２）＝ａｎ－２，ｘ（Ｔ）＝Ａ，｛得到了解的存在性和唯一性的结果．     

一个三角恒等式的推广的复数证明

《数学通报》１９９７年第９期“一个三角恒等式的推广”一文中的定理的证明过程较繁，若用复数证明则比较简便．此处对该定理的Ⅱ１作证明，其余各恒等式的证明与其类似．定理Ⅱ１若ｍ，ｎ，ｋ∈Ｎ，则当ｎ＞ｍ≥１时，有∑２ｎｋ＝１（ｃｏｓｋπ２ｎ＋１）２ｍ＝〔（１...     

数学归纳法的证题技巧

通常那些直接或间接与自然数ｎ有关的命题可考虑运用数学归纳法来证明 .除第一归纳法和第二归纳法外 ,还有跳跃数学归纳法 :设Ｐ(ｎ)是关于自然数ｎ的命题 ,若1°　Ｐ( 1) ,Ｐ( 2 ) ,… ,Ｐ(ｌ)成立 ;2°　假设Ｐ(ｋ)成立 ,可以推出Ｐ(ｋ 1)成立 ,则Ｐ(ｎ)对一切自然数ｎ都成立 .每种形式的数学归纳法都由两步组成 :“奠基”和“归纳” ,两步缺一不可 .在“归纳”的过程中必须用到“归纳假设”这一不可缺少的前提 .利用数学归纳法证题有如下技巧 .1　“起点前移”或“起点后移” :有些关于自然数ｎ的命题Ｐ(ｎ) ,验证Ｐ( 1)比较困难 ,或者…     

两个不等式的简捷证法

下面给出的两类不等式问题,一般是通过代换的方法证明．本文给出直接简捷的证明．命题１　设ｘｉ∈Ｒ＋（ｉ＝１,２,…,ｎ）且ｘ２１１＋ｘ２１＋ｘ２２１＋ｘ２２＋…＋ｘ２ｎ１＋ｘ２ｎ＝ａ（０＜ａ＜ｎ）,求证：ｘ１１＋ｘ２＋ｘ２２１＋ｘ２２＋…＋ｘ２ｎ１＋ｘ２ｎ≤ａ（ｎ－ａ）①证　由题设易知：１１＋ｘ２１＋１１＋ｘ２２＋…＋１１＋ｘ２ｎ＝ｎ－ａ．由于　１１＋ｘ２ｋ＋ｎ－ａａ·ｘ２ｋ１＋ｘ２ｋ　　≥２１１＋ｘ２ｋ·ｎ－ａａ·ｘ２ｋ１＋ｋ２ｋ　　＝２ｎ－ａａ·ｘｋ１＋ｘ２ｋ）（ｋ＝１,２,…,ｎ）,此ｎ式相…     

自然数方幂和的一个性质的证明

自然数方幂和的一个性质的证明湖南浏阳十一中刘会成令Ｓｋ（ｎ）＝１ｋ＋２ｋ＋…＋ｎｋ（ｋ≥０，ｋ∈Ｚ）．文［１］，［２］，［３］均提到下面一个性质：Ｓ２ｋ（Ｎ）＝Ｓ２（ｎ）Ｐ２（ｎ）（ｉ）Ｓ２ｋ＋１（ｎ）＝Ｓ２１（ｎ）Ｐ１（ｎ）（ｉｉ）其中ｋ为自然数，...     

再谈一个不等式命题

再谈一个不等式命题沈文选（湖南师范大学数学系４１０００６）文［１］、［２］分别用数学归纳法、切比晓夫不等式证明了命题设ｘ１，ｘ２；…；∈Ｒ（ｎ≥２），ｍ，Ｐ∈Ｎ且奇偶性相同，则有等号当且仅当ｘ１＝ｘ２＝…＝ｎ时成立．实际上该命题也只不过是如下一个不等...     

累积数学归纳法

数学归纳法是一种证明与自然数ｎ有关的数学命题的重要方法 .一般地用数学归纳法证明命题时 :首先 ,证明当ｎ取第一个值ｎ0 (例如ｎ0 =1或ｎ0 =2 )时结论正确 ;然后 ,假设当ｎ =ｋ(ｋ∈Ｎ ;且ｋ≥ｎ0 )时结论正确 ,证明当ｎ=ｋ 1时结论也正确 .完成这两个步骤 ,就可以断定命题对于从ｎ0 开始的所有自然数ｎ都正确 .其实这只是数学归纳法的第一种形式 ,有些命题在第二步骤只假设当ｎ=ｋ时结论正确是不能推导出ｎ=ｋ 1时结论也正确的 (如下面几道题 ) ,必须假设当ｎ=ｎ0 ,ｎ0 1…… ,ｋ时结论都正确 ,才能推导出ｎ =ｋ 1时结论也正确 .这就是…     

数学问题解答

数学问题解答１９９８年２月号问题解答（解答由问题提供人给出）１１１６设ａｉ０（１ｉｎ），ｎｉ＝１ａｉ＝１（ｎ２），并记ａｎ＋１＝ａ１，则对ｋ∈Ｎ，有不等式：（３）ｋｎ１－ｋｎｉ＝１（ａｉ２＋ａｉａｉ＋１＋ａｉ＋１２）ｋ２，且对左边不等...     

平均单叶函数的相邻系数

设ｆ（ｚ）＝ｚ＋Σａｎｚ＾ｎ为单位园｜ｚ｜＜１内解析且平均单叶，记其族为Ｍ又设｛ｆ（ｚ）／ｚ｝＾λ＝１＋Σ＾∞ｎ＝１Ｄｎ（λ），λ＞０，本文说明了：定理一 若ｆ∈Ｍ，λ＞０，则：Σ＾∞ｋ＝１｛｜｜Ｄｋ（λ）｜－｜Ｄｋ－１（λ）｜｜／ｄｋ（λ）｝＾２≤Ａｎ，ｎ＝２，３，…其中Ａ为绝对常数。ｄｋ（ｈ）＝ｈ（ｈ＋１）…（ｈ＋ｋ－１）／ｋ！当λ＝１／２，ｆ∈ｓ时为Ｉ．Ｖ．Ｍｉｌｍ所证明。定理二 若ｆ∈Ｍ并     

浅谈数学归纳法的七大变化

数学归纳法是证明跟自然数ｎ有关的命题的一种重要的递推方法 .虽然数学归纳法有着固定的程序 ,但每一步中都蕴含着丰富的变化 .下面对这些变化加以归纳 ,以供大家参考 .1　验证步中的变化1.1　起点前移命题虽陈述为“对一切自然数ｎ成立” ,但命题成立的范围可更宽时 ,可以考虑证比“ｎ =1”更方便的起点 .　　例 1　试证对一切自然数ｎ ,都有　　　 12 ｃｏｓα ｃｏｓ2α … ｃｏｓｎα=ｓｉｎ2ｎ 12 α2ｓｉｎ α2.分析 :ｎ =0时命题显然成立 .以下只须假设ｎ=ｋ时命题成立 ,再推出ｎ =ｋ 1时命题也成立即可 .(证略 )1.2　起点…