数学归纳法应用中的盲点

数学归纳法应用中的盲点２２６６１１江苏海安县立发中学陈顺源，解发圣本文披露学生在数学归纳法应用中出现的一些盲点，旨在为数学归纳法的教学设计提供参考．１不明白奠基是什么学生错误地认为：对于一个ｎ≥ｎ０（ｎ∈Ｎ）的真命题，如果用数学归纳法证明，第一步总是...     

一个代数不等式的证明

一个代数不等式的证明４１０１２８湖南农业大学２２５＃陈宽红定理设ｘ，ｙ，ｚ∈Ｒ且ｘ＋ｙ＋ｚ＝０，ｎ∈Ｎ，则这是福建杨学枝老师于１９９４年提出的一个猜想，本文将证明此猜想．证（１）当ｎ＝１，２时，①式显然成立．（２）考察ｎ≥３，ｎ∈Ｎ的情形．１°若ｘ，...     

数学归纳法第二步证明“从n＝k到n＝k＋1”过渡的常用技巧

数学归纳法第二步证明“从ｎ＝ｋ到ｎ＝ｋ＋１”过渡的常用技巧陈世安（吉林市教育学院１３２０１１）数学归纳法，无论是第一归纳法还是第二归纳法，都存在着一个“假设ｎ＝ｋ（或）时命题成立，证明ｎ＝ｋ＋１时命题也成立”的问题，能否顺利地实现过渡，恰恰是数学归纳...     

从k到k 1思路受阻分析及转化策略

用数学归纳法证明不等式，特别是数列不等式，是一个行之有效的方法，也是中学数学中的一个基本方法，近些年高考试题中几次出现这类问题．运用这种方法时，往往有好多学生在证ｋ到（ｋ＋１）的过程中，卡了壳、断了思路，这是一种普遍现象．现就笔者在讲授这部分内容时学生暴露的问题，分析一下思路受阻的几种原因及转化策略．１　从ｋ到（ｋ＋１）添项不足在从ｋ到（ｋ＋１）的证明过程中，如果分析不透命题结构，就会造成添项不足，证明夭折．例１　已知Ｓｎ＝１＋１２＋１３＋…＋１ｎ，（ｎ∈Ｎ）．用数学归纳法证明Ｓ２ｎ＞１＋ｎ２　…     

再谈一个不等式命题

再谈一个不等式命题沈文选（湖南师范大学数学系４１０００６）文［１］、［２］分别用数学归纳法、切比晓夫不等式证明了命题设ｘ１，ｘ２；…；∈Ｒ（ｎ≥２），ｍ，Ｐ∈Ｎ且奇偶性相同，则有等号当且仅当ｘ１＝ｘ２＝…＝ｎ时成立．实际上该命题也只不过是如下一个不等...     

累积数学归纳法

数学归纳法是一种证明与自然数ｎ有关的数学命题的重要方法 .一般地用数学归纳法证明命题时 :首先 ,证明当ｎ取第一个值ｎ0 (例如ｎ0 =1或ｎ0 =2 )时结论正确 ;然后 ,假设当ｎ =ｋ(ｋ∈Ｎ ;且ｋ≥ｎ0 )时结论正确 ,证明当ｎ=ｋ 1时结论也正确 .完成这两个步骤 ,就可以断定命题对于从ｎ0 开始的所有自然数ｎ都正确 .其实这只是数学归纳法的第一种形式 ,有些命题在第二步骤只假设当ｎ=ｋ时结论正确是不能推导出ｎ=ｋ 1时结论也正确的 (如下面几道题 ) ,必须假设当ｎ=ｎ0 ,ｎ0 1…… ,ｋ时结论都正确 ,才能推导出ｎ =ｋ 1时结论也正确 .这就是…     

数学归纳法证明中的项数问题

数学归纳法证明中的项数问题５５０００４贵阳市第六中学邢益民在中学数学中，用数学归纳法证明一类恒等式时，如下两个问题常常使学生的解题思路受阻．１当ｎ＝１时的项数例１　　用教学归纳法证明（ｎ＋１）十（ｎ＋２）＋（ｎ十３）＋…＋３ｎ＝ｎ（４ｎ＋１）（ｎ∈Ｎ...     

浅析数学归纳法的奠基步骤

1　从对命题成立的简单验证中选定奠基步骤我们知道 ,在证明与自然数有关问题的正确性时 ,先验证当ｎ取第一个值ｎ0 (例如ｎ0 =1)时命题成立 .然后假设ｎ =ｋ (ｋ∈Ｎ ,ｋ≥ｎ0 )时命题成立 ,证明ｎ =ｋ 1时命题成立 .这个过程可视为 ,若ｐ(ｎ0 )成立 ,取ｋ =ｎ0 ,由归纳步骤证ｐ(ｎ0 1)成立 .同理再由ｐ(ｎ0 1)成立证ｐ(ｎ0 2 )成立 .如此下去 ,对于所有大于ｎ0 的自然数ｎ ,ｐ(ｎ)都成立 .这里ｐ(ｎ0 )不仅是命题成立的一个真命题 ,而且还是起动归纳推理的初始步骤 .奠基步骤ｐ(ｎ0 )正是由递推关系式ｐ(ｎ0 ) ｐ(ｎ0 1) ｐ(ｎ0 2…     

自然数方幂和的一个性质的证明

自然数方幂和的一个性质的证明湖南浏阳十一中刘会成令Ｓｋ（ｎ）＝１ｋ＋２ｋ＋…＋ｎｋ（ｋ≥０，ｋ∈Ｚ）．文［１］，［２］，［３］均提到下面一个性质：Ｓ２ｋ（Ｎ）＝Ｓ２（ｎ）Ｐ２（ｎ）（ｉ）Ｓ２ｋ＋１（ｎ）＝Ｓ２１（ｎ）Ｐ１（ｎ）（ｉｉ）其中ｋ为自然数，...     

反向数学归纳法

反向数学归纳法４３００７０华中师大数学系郑学群我们知道第一数学归纳法是：（１）命题ｐ（ｎ）当ｎ＝１时正确；（２）从命题ｐ（ｎ）的正确性推出命题ｐ（ｎ＋１）的正确性，那么命题ｐ（ｎ）对所有的自然数ｎ都正确．数学归纳法的第二步是证明命题的关键，通常是由自...     

一个应用广泛的不等式

一个应用广泛的不等式湖南沅陵六中周永国定理若ａ、ｂ∈Ｒ＋，ｎ∈Ｎ，则当且仅当ａ＝ｂ时等号成立．证对任意的非负整数ｋ≤ｎ，有（ｋ＝０，１，…，ｎ），上面ｎ＋１式相加，得等号当且仅当ａ＝ｂ时成立．定理有着广泛的应用，下面举例说明．例１设ａ、ｂ、ｃ是△ＡＢ...     

这样证明对吗？

众多的高三复习资料上都有这样一道例题 :题目　设ａｉ>0 (ｉ =1,2 ,… ,ｎ) ,且满足条件ａ1 ａ2 ａ3 … ａｎ=1,用数学归纳法证明ａ21 ａ22 … ａ2 ｎ≥ 1ｎ (ｎ∈Ｎ ,ｎ≥ 2 ) .不少同学是这样证明的 :证　 1)当ｎ =2时 ,ａ21 ａ22 =ａ21 ａ21 ａ22 ａ222≥ ａ21 ａ22 2ａ1ａ22 =(ａ1 ａ2 ) 22 =12 ,不等式成立 .2 )假设当ｎ =ｋ (ｋ≥ 2 )时不等式成立 ,即当ａ1 ａ2 … ａｋ=1时 ,有ａ21 ａ22 … ａ2 ｋ≥ 1ｋ.当ｎ =ｋ 1时 ,ａ21 ａ22 … ａ2 ｋ ａ2 ｋ 1≥ 1ｋ ａ2 ｋ 1>1ｋ 1.由此可见 ,当ｎ =ｋ 1时不等式也成立 .由…     

一个三角恒等式的推广的复数证明

《数学通报》１９９７年第９期“一个三角恒等式的推广”一文中的定理的证明过程较繁，若用复数证明则比较简便．此处对该定理的Ⅱ１作证明，其余各恒等式的证明与其类似．定理Ⅱ１若ｍ，ｎ，ｋ∈Ｎ，则当ｎ＞ｍ≥１时，有∑２ｎｋ＝１（ｃｏｓｋπ２ｎ＋１）２ｍ＝〔（１...     

算术─几何平均不等式的简单证明

算术─几何平均不等式的简单证明王申怀（北京师范大学数学系１００８７５）众所周知，给出ｎ个实数ａｉ≥０（ｉ＝１，２；…，ｎ）成立下述算术─几何不等式：等号成立，当且仅当ａ１＝ａ２…＝ａｎ．一般上述不等式均采用数学归纳法来证，但不太容易．下面提供一个较为...     

一个猜想的否定及其修正

一个猜想的否定及其修正４２２３１４湖南洞口七中陈能茂安振平先生在《一道高考题的别证及引伸》（湖南数学通讯，１９９５，１）一文中提出如下猜想：已知ａｉ∈（０，１），ｂｉ∈（０，＋∞），ｉ＝１，２，…，ｎ，２≤ｎ∈Ｎ．证明或否定笔者指出，此猜想不成立．事...     

数学问题解答

数学问题解答１９９４年７月号问题解答（解答由问题提供人给出）９０１设且求证：证明依题设有由（１）、（２）得所以，即．９０２求解（１）探求由（２）、（３）可知同法可求得由此猜想（２）用数学归纳法讨Ｚ明当时，命题成立．设ｎ＝ｋ时命题成立，即则当ｎ＝ｋ＋１...     

一个反应扩散过程的门槛结果

本文讨论反应扩散方程Ｃａｕｃｈｙ问题（ｕｔ－△ｕ＝ｕ＾ｐ－ｕ＾ｐ－ｕ，Ｘ∈Ｒ＾ｎ，ｔ∈（０，Ｔ），ｕ（ｘ，０）＝ｕ０（ｘ）≥０，Ｘ∈Ｒ＾ｎ，解的整体存在性，渐近性质和Ｂｌｏｗ－ｕｐ问题，其中１＜ｑ＜ｐ＜ｎ＋２／ｎ－２，ｎ≥３或者１＜ｑ＜ｐ＋∞，ｎ＝２．得到门槛结果。     

数学归纳法中归纳推理的常用技巧

数学归纳法中归纳推理的常用技巧党政（广西北海市第二职业高中）众所周知，数学归纳法是重要的证题方法之一，其证题难点一般在于第２步的从归纳假设到归纳结论的归纳推理，即假设ｎ＝ｋ时命题ｆ（ｋ）正确，证明当ｎ＝ｋ＋１时，命题ｆ（ｋ＋１）也正确．本文将从确定增...     

截断和的弱大数律

投｛Ｘｎ，ｎ≥１｝ｉ．ｉ．ｄ．，Ｘｎ，１≤Ｘｎ，２≤…≤Ｘｎ，ｎ是Ｘ１，Ｘ２，…，Ｘｎ的次序统计量．对非负整数ｋ，ｒ，ｋ＋ｒ≤ｎ，令．本文研究当ｋ＝ｋｎ，ｒ＝ｒｎ满足ｍｉｎ（ｋ，ｒ）→∞，ｍａｘ（ｋ，ｒ）→０时截断和Ｓｎ（ｋ，ｒ）的弱大数律．设βｎ＞０，Ｃｎ∈Ｒ，文中给出了依概率收敛的充要条件．     

GL(n,Z)中的局部有限子群的一点注记

证明了：若Ｇ是一般线性群ＧＬ（ｎ,Ｚ）中的局部有限子群,则Ｇ含有一个２~ｍ阶的初等阿贝尔２－子群,且 Ｇ同构于 ＧＬ（ｎ,Ｚ_ｐ）的一个子群,其中户为任意奇素数．当 ｎ＝１,２,３,４时,Ｇ的阶分别是 ２,３· ２~ｋ（ｋ＝ｍｉｎ（４,ｍ＋１）,０≤ｍ≤４）,３·２~ｋ（ｋ＝ｍｉｎ｛５,ｍ＋１｝,０≤ｍ≤５）,３~２·５·２~ｋ（ｋ＝ｍｉｎ｛９,ｍ＋６｝,０≤ｍ≤９）的一个因子,而当ｎ≥５时,Ｇ的阶是（ｐ~ｉ－１）的一个因子,其中ｐ为任意素数．