一道竞赛试题解法探究

例 1　 ( 1995年数学冬令营第五题 )设xi >0 ,∑ni =1xi=1(i =1,2 ,… ,n) ,求证 :∑ni =1xi1+ (x1+x2 +… +xi- 1)xi+xi+ 1+… +xn≤ π2 .证　令sinθi=∑ik =1xk ,θ0 =0 (i =1,2 ,… ,n) ( 0<θi≤ π2 ) ,则∑ni=1xi1+ (x1+x2 +… +xi - 1)xi+xi + 1+… +xn=∑ni =1sinθi-sinθi- 11+sinθi - 11-sinθi- 1=∑ni =12sin θi-θi - 12 cosθi+θi- 12cosθi - 1≤∑ni =12sinθi-θi - 12<∑ni =1(θi-θi - 1)=θn -θ0 =π2 .例 1的命制及解法均含有高等数学中的思想方法 ,为了说明问题 ,我们给出如下两个结论 .定理 1　设 f(x) 是区…     

用〔F,d_n〕平均逼近周期函数

设f(x)∈L_(2π)的Fourier级数为 f(x)～a_0/2+sum from n=1 to ∞ (a_ncosnx+b_nsinnx)sum from n=0 to ∞(A_n(f,x)) (1)以s_n(f,x)sum from i=0 to n(f,x)表示(1)第n部分和。称序列     

两个三角公式及其证明

利用线性变换思想可证明三角公式：sum from i=0 to ｜n｜-1 （cos（i.（2π）/n）=0,sum from i=0 to ｜n｜-1（sin（i.（2π）/n））=0,n∈Z,n≠0,±1.     

一类“数学问题”的统一证法

文[1]给出了不等式:已知x,y,z∈R+,m∈N+.求证:x/mx+y+z+y/x+my+z+z/x+y+mz≤3/m+2. 文[2]给出了不等式:已知xi＞0(i=1,2,…n),k＜1,求证: n∑i=1 xi/x1+x2+…+xi-1+kxi+xi+1+…+xn≥n/n+k-1. 文[3]给出了不等式:设ai＞0(i=1,2,3,…,n),p∈R,q＞0,且n∑i=1ai=A,Si=pai+q(A一ai)＞0(i=1,2,…,n),求证:     

一类指数函数的高阶导数

在微积分学中,指数函数f(x)=e~(-x)~(-2)(x≠0)是一个非常简单而十分重要的初等偶函数,尤其是在函数的幂级数展开中,需要研究这个指数函数的有限形式的高阶导数及其性质.本文对此问题进行了研究,并得到如下结果:设f(x)=e~(-x)~(-2)(x≠0)的n阶导数为f_n(x)=fn(x)e~(-x)~(-2),则f_n(x)=sum from i=1 to n(-1)~(n+i)C_i(n)x~(-n-2i),其中C_1(n)=(n+1)!,C_i(n)=2sum from j=i to n(n+2i-1)!/(j+2i-1)!C_(i-1)(j-1),(1i≤n).     

关于凸函数的Hadamard不等式的拓广(英文)

设,是区间[a,b]上连续的凸函数。我们证明了Hadamard的不等式 f(a+b/2)≤1/b-a integral from a to b (f(x)dx)≤f(a)+f(b)/2可以拓广成对[a,b]中任意n+1个点x_0,…,x_n和正数组p_0,…,p_n都成立的下列不等式 f(sum from i=0 to n (p_ix_i)/sum from i=0 to n (p_i))≤|Ω|~(-1) integral from Ω (f(x(t))dt)≤sum from i=0 to n (p_if(x_i)/sum from i=0 to n (p_i),式中Ω是一个包含于n维单位立方体的n维长方体,其重心的第i个坐标为sum from i=i to n (p_i)/sum from i=i-1 (p_i),|Ω|为Ω的体积,对Ω中的任意点t=(t_1,…,t_n) ω(t)=x_0(1-t_1)+sum from i=1 to n-1 (x_i(1-t_(i+1))) multiply from i=1 to i (t_i+x_n) multiply from i=1 to n (t_i)。不等式中两个等号分别成立的情形亦已被分离出来。 此不等式是著名的Jensen不等式的精密化。     

一类二次方程组的一个定理及其运用

定理　在方程组∑ni=1xi=A∑ni=1x2i=B中 ,A、B是实数 ,记Δ=n B-A2 .若 xi∈ R( i=1,2 ,… ,n) ,则Δ≥ 0 ,当且仅当x1 =x2 =… =xn=An时 Δ=0 .证明　 ∑1≤ i相似文献   

The definite integral

<正>1.What does the definite integral mean?The definite integral of f(x)fromato b is defined the limit of the sum as n→∞.That is limn→∞∑n i=1f(ξi)·Δxi.We divide the interval[a,b]into n subintervals of equal widthΔx=(b-a)n.Let x0=a,x1,x2,…,xn=b be the endpoints of these subintervals and we chooseξiis any point in the ith subinterval,that is,xi-1≤ξi≤xi,then,the sum∑n f(ξi)·Δxiis called a Rie-     

三角代换在解题中的应用

三角代换是数学中的一种重要代换,下面就几个典型例题说一下三角代换在解题中的应用.一、利用三角代换求函数值域或最值例1求函数的y=x+1-x2的值域分析:此题首先观察到函数定义域[-1,1]与正弦函数值域一致,因此可考虑用三角代换.解:令x=sinθθ∈-2π,2π则y=sinθ+1-sin2θ=sinθ+cosθ=2sinθ+4π由-2π≤θ≤2π有-4π≤θ+4π≤34π所以-22≤sinθ+4π≤2函数值域:[-1,2]例2求函数y=1+2cos2x-1+2sin2x的最值分析:不难发现(1+2cos2x)2+(1+2sin2x)2=4因此可联想是否可用平方三角代换呢?解:由(1+2cos2x)2+(1+2sin2x)2=4可设1+2cos2x=2sinθ…     

二次指派问题的一个新的限界方法

二次指派问题(QAP)的数学模型是:min{z(x)=sum from i=1 to n sum from =1 to n a_(ip)x_(ip)+sum from i=1 to n sum from p=1 to n sum from j=1 to n sum from q=1 to n c_(ipjq)x_(ip)x_(jq)|x∈},(1)这里∈(n~2维布尔集)是满足如下约束的集合:sum from i=1 to n x_(ip)=1,1≤p≤n,(2)sum from p=1 to n x_(ip)=1,1≤i≤n,(3)x_(ip)=0,1,1≤i,p≤n.(4)因为 x_(ip)~2=x_(ip)并且有约束(2)和(3),我们可以约定 c_(ipjq)=0,当 i=j 或 p=q.如果所有二次项的系数都可以写成     

Hilbert重级数定理的一个改进

The object of this note is to prove the followingTheorem Let{a_n}and{b_n}be sequences of real numbers such that0<∑∑a_n~2<+∞and0<∑b_n~2<+∞.Then we have the inequalitysum from m=1 to∞sum from n=1 to∞a_mb_n/m+n<{sum from n=1 to∞(π-θ/n~(1/2)a_n~2}~1/2{sum from n=1 to∞(π-θ/n~(1/2)b_n~2}~1/2 (1)whereθ=3/2~(1/2)-1=1.121320343.     

Fejèr-Korovkin算子及一种内插线性算子的渐近展开

设f(x)∈C_(2π)。本文讨论两种线性算子对f(x)的逼近,全文分两个部分。 在第一部分中,我们考虑在正卷积型三角多项式线性算子中占重要地位的Fejr-Korovkin算子K_n(f,x)=1/π integral from -x to π (f(x+t)k_n(t)dt),其中k_n(t)≡1/2+sum from k=1 to n (ρ_k~((n)) cos kt)=1/2+sum from k=1 to n (F_n(k/n+2)coskt),F_n(x)=(1-x)cosπX+1/n+2 cot π/n+2·sinπx.由于它满足Korovkin条件:所以有下述结果:设f(x)∈C_(2π),f″(x)∈C_(2π)。那么,当n→∞时,成立着     

退缩椭圆型方程的边值问题

<正> 在 R~n 的有界凸区域Ω上考虑椭圆型方程Lu≡sum from i,j=1 to n (a_(ij)(x)u_(xi)_(xj)+sum from i=1 to n b_i(x)u_i+c(x)u=f(x),(1)设对 x∈(?)及所有的实数组(ξ_1,ξ_2,…,ξ_n)sum from i,j=1 to n a_(ij)(x)ξ_iξ_j≥λ(x)sum from i=1 to n ξ_i~2≥0,a_(ji)(x)∈C(?),即算子 L(u)可能退缩而为退缩椭圆型算子。记(?)的边界为∑,∑上满足 sum from ij=1 to n a_(ij)n_in_j=0的点集为∑_0,(n_1,…,n_n)表示∑上的内单位法向量,∑_3=∑\∑_0,设其 n-1维测度非零,则对方程(1)可提如下的边值问题:     

On the Best Degree of Approximation by Euler (E,q)-Means

Let f(x)∈L_(2π) and its Fourier series by f(x)～α_0/2+sum from n=1 to ∞(α_ncosnx+b_nsinx)≡sum from n=0 to ∞(A_n(x)). Denote by S_n (f,x) its partial sums and by E_n~q(f,x) its Euler (E, q)-means, i. e. E_n~q(f,x)=1/(1+q)~π sum from m=0 to n((?)q~(n-m)S_m(f,x)), with q≥0 (E_n~0≡S_n). In [1] Holland and Sahney proved the following theorem. THEOREM A Ifω(f,t) is the modulus of continuity of f∈C_(2π), then the degree of approximation of f by the (E,q)-means of f is givens by##特殊公式未编改     

一个猜想不等式的加细与推广

文 [1 ]提出如下猜想　设 x1,x2 ,… ,xn ∈ R+ ,x1+ x2 +… + xn =1 ,n≥ 3,n∈ N,则　 ∏ni=1( 1xi- xi)≥ ( n - 1n) n. ( 1 )戴承鸿、刘兵华在文 [2 ]中证明了上述猜想不等式成立 .本文给出该不等式的一个加细及推广形式 .定理　设 x1+ x2 +… + xn=k,n≥ 3,n∈ N;若 k≤ 1 ,x1,x2 ,… ,xn ∈ R+ ,则　 ∏ni=1( 1xi- xi)≥ ( nk - kn) n ( ∏ni=1nxik) 1n-13≥ ( nk - kn) n ( 2 )若 k≥ n - 1 ,x1,x2 ,… ,xn ∈ ( 0 ,1 ) ,则∏ni=1( 1xi- xi)≤ ( nk - kn) n .　　 ( ∏ni=1n - nxin - k) 13 -1n ≤ ( nk - kn) n. ( 3)为证定理 ,先…     

关于Littlewood的一个问题

本文证明了: (1)如果{a_n}_n~N=1是非负不减序列,p>0,q>0,0≤r≤1,且p(q+r)≥q+p,则sum from n=1 to N(a_n~pA_n~q)(sum from m=n to N(a_n~(1+p/q)~r≤1·sum from n=1 to N(a_n~pA_n~q)~(1+p/q),其中A_n=sum from m=n to n (a_m).上述不等式在0≤r≤1时完全解决了H.Alzer~([4])在1996年提出的一个问题,且1是最佳常数; (2)如果{a_n}_n~N=1是非负序列,p,p≥1,r>0,r(p-1)≤2(q-1),令α=((p-1)(q+r)+p~2+1)/(p+1) β=(2p+2r+p-1)/(q+1),σ=(q+r-1)/(p+q+r)则sum from n=1 to N (a_n~p)sum from i=1 to n (a_i~qA_i~r)≤2~σsum from n=1 to N(a_n~αA_n~β)(0.2)(0.2)式改进了G.Be(?)et~([2,3])在1987年对Littlewood一个问题的结果,常数因子的3/2降为2~(3/2)=1.2598…     

关于积的三个三角恒等式的推广

一易证下列三个恒等式成立: (1)sinθsin(θ+π/ 3)sin(θ+2π/ 3) =sin3θ/4; (2)cosθcos(θ+π/3)cos(θ+2π/3) =-1/4cos3θ; (3)tgθtg(θ+π/3)tg(θ+2π/3) =-tg3θ。本文把上述三个恒等式予以推广,其一般形式为: (Ⅰ) multiply form j=1 to n sin(θ+(j-1)/nπ)=sinnθ/2~(n-1); (Ⅱ) multiply form j=1 to n cos(θ+(j-1)/nπ) =(-1)~(n-2) sinnθ/2~(n/1) (n为偶数), (-1)~(n-1)~2 cosnθ/2~(n-1)(n为奇数);     

兔子是这样从帽子里面抓出来的

数学问题1785 设0≤xi≤1,n∈N,n≥3,且n∑i=1xi=1,求f(x1,x2…,xn)=n∑i=1 xi/1+x2i的最大值. 命题人用下面的引理给出了该问题解答.引理 0≤x≤1时,有不等式x/1+x2≤(n/n2+1)2[(3+n2)x-2nx2](*),当且仅当x=1/n时等号成立. 文[1]将上述引理调侃为“就象从一顶帽子里抓出一只兔子的戏法一样令人感到意外,根本不具备什么启发性”.笔者认为这种说法有失偏颇,不能把自己没有看透的东西说成不自然的东西,现在我们来看引理是怎样被发现的.     

一个代数不等式的加强

近两年,在众多刊物上,载有不等式: multiply from i=1 to n(x_i+1/x_i)≥(λ/n+n/λ) (*)这里x_i∈R~+(i=1,2,…,n),x_1+x_2+…+x_n=λ≤n,仅当x_1=x_2=…=x_n时(*)式取等号。现在,我们给出(*)的一个加强: 定理设x_i∈R~+(i=1,2,…,n,n≥2),且sum from i=1 to n x_i=λ(常数)≤n,则 sum from i=1 to n(x_i+1/x_i)~(-1)≤n(λ/n+n/λ)~(-1) (1)当且仅当x_1=x_2+…=x_n时,(1)式中的等号成立。     

用希尔伯特空间理论讨论傅立叶级数

<正> 函数和它的傅立叶级数之间的关系,常见的有下列四种。命题1 (狄里赫勒定理)若f(x)∈C[-π,π),或在[-π,π]上只有有限个第一类间断点,并且可以把[-π,π]分为f(x)的有限个单调区间,则有f(x)=a_0/2+sum from i=1 to ∞(a_icosix+b_isinix)(1)其中x∈(-π,π)为f(x)的连续点,a_i,b_i为f(x)的傅立叶系数(以下同)。当x∈(-π,π)为f(x)的间断点时,则(1)式友端改为[f(x—0)+f(x+0)]/2。当x=±π时,则(1)式左端改为[f(-π+0)+f(π-0)]/2。命题2 若f(x)∈L_2[-π,π],则对任意确定的n,有||f(x)—a_0/2—sum from i=1 to n(a_1cosix+bsinix)||_2