一个包含Z（n）和D（n）函数的方程及其它的正整数解

对于任意正整数n,著名的伪Smarandache函数Z（n）定义为最小的正整数m使得n｜m（m＋1）／2．而数论函数D（n）定义为最小的正整数m使得n｜d（1）d（2）d（3）…d（m）,其中d（n）为Dirichlet除数函数．本文的主要目的是利用初等方法研究一类包含伪Smarandache函数Z（n）和数论函数D（n）的方程2^z（n）=D（n）的可解性,并获得了该方程的所有正整数解．     

一类包含欧拉函数φ（n）的方程

设m,n为任意正整数,φ（n）是欧拉函数.本文的主要目的是利用初等方法研究方程φ（mn）=k（φ（m）＋φ（n））的可解性,其中k为素数,同时获得了该方程的所有正整数解.     

一种包含欧拉函数Ф（n）的方程

设礼和k为任意正整数,Ф（n）是欧拉函数,Ω（n）表示n的所有素因数的个数．本文的主要目的是利用初等方法研究方程Ф（Ф（n）））^k=2^Ω（n）的可解性,同时获得了该方程的所有正整数解．     

关于Diophantine方程（44n）x＋（117n）y=（125n）z 的整数解

在Jeismanowicz猜想的基础上,利用初等方法证明了对任意的正整数n, Diophantine方程（44n）x＋（117n）y=（125n）z 仅有正整数解（x, y, z）=（2,2,2）。     

关于丢番图方程（195n）^x＋（2Sn）^y=（197n）^z

运用同余及元素阶的性质,证明了对任意的正整数n,丢番图方程（195n）^x＋（2Sn）^y=（197n）^z仅有正整数解（x,y,Z）=（2,2,2）．     

一个包含Euler函数及k阶Smarandache ceil函数的方程及其正整数解

设k≥2为给定的整数．对任意正整数n,k阶Smarandache ceil函数Sk（n）定义为Sk（n）=min{x：x∈N,n｜x^k}．本文的主要目的是利用初等方法研究函数方程Sk（n）=Ф（n）的可解性,并给出该方程的所有正整数解,其中Ф（n）为Euler函数．     

方程φe（n）= nd（e=1,2,4）的可解性

利用已有的广义欧拉函数的准确计算公式来研究方程φe(n)的可解性,其中n为正整数,d为n的正因子.并利用初等的方法和技巧给出方程φe(n)=n/d(e=1,2,4)的全部正整数解(n,d).     

关于丢番图方程（143n）^x＋（24n）^y=（145n）^z

设a,b,c为两两互素的正整数,满足a^2＋b^2=c^2．1956年,Jesmanowicz猜想：对任意的正整数n,丢番图方程（an）^x＋（bn）^y=（cn）^x仅有正整数解（x,y,z）=（2,2,2）．本文对（a,b,c）=（143,24,145）的特殊情形,证明了该猜想是正确的．     

一个包含Smarandache函数及第二类伪Smarandache函数的方程

主要研究方程Z2（n）＋1=S（n）的可解性,利用初等方法以及Smarandache函数的性质,证明了该方程有无穷多个正整数解,并获得了所有正整数解的具体表现形式．     

一个包含欧拉函数的方程

设n为任意正整数,如果n〉1,设n=p1^α1p2^α2…pk^αk是n的标准分解式,函数Ω（n）定义为Ω（1）=0,Ω（n）=∑i=1^kαi,φ（n）为Euler函数,本文的主要目的是利用初等方法研究方程φ（φ（n））=2Ω（n）的可解性,并获得该方程的所有正整数解,从而彻底解决了前学者提出的一个问题．     

关于丢番图方程（195n）x+（28n）y=（197n）z

运用同余及元素阶的性质,证明了对任意的正整数n,丢番图方程(195n)x+(28n)y=(197n)z仅有正整数解(x, y, z)=(2,2,2)。     

一个包含新的Smarandache函数的方程

定义一个新的Smarandache函数(?)(n),并研究一个包含该函数的方程.利用初等方法,给出了一个包含函数(?)(n)的方程的正整数解.方程只有五个正整数解.     

一个包含新的F．Smarandache函数的方程

定义一个新的F.Smarandache函数(?)(n),并研究一个包含该函数的方程.利用初等方法.给出了一个包含函数(?)(n)的方程的正整数解.该方程只有两个正整数解.     

关于Smarandache函数的一个同余方程

研究了一个包含Smarandache函数S（n）的同余方程的可解性,并利用初等方法及原根的性质得到了该同余方程的所有正整数解,从而解决了相关文献中提出的一个问题.     

关于数论函数方程S(SL(n))=φ(n)的可解性

对于任意正整数n,S(n),SL(n),φ(n)分别为Smarandache函数,Smarandache LCM函数和Euler函数.本文利用S(n),SL(n),φ(n)的基本性质结合初等方法推广了方程S(n)=φ(n)和SL(n)=φ(n),研究了方程S(SL(n))=φ(n)的可解性,给出并证明了该方程仅有正整数解n=1,8,9,12,18.     

一个包含Smarandache LCM函数的方程

对任意正整数n,著名的Smarandache LCM函数SL(n)定义为最小的正整数k,使得n|[1,2,…,k],其中[1,2,…,k]表示1,2,…,k的最小公倍数.本文利用初等方法研究一类包含Smarandache LCM函数方程的可解性,并获得了给定方程的所有正整数解.     

无穷级数的∞↑∑n=1 1/（2n-1）^2k一种计算方法

根据无穷多项式理论,将余弦函数的幂级数展开式构造成无穷乘积的形式．并且利用ln（1＋x）幂级数展开,得到∞↑∑n=1 1/（2n-1）^2k（k为正整数）的一种计算方法．     

除数和函数对平方补数的均值

对于任意正整数n的平方补数c（n）,研究了其除数和函数σ（c（n））均值的渐近性,并利用解析方法得到了一个渐近公式。     

Smarandache函数的几类相关方程的解

设φ(n),S(n)分别表示正整数n的Euler函数和Smarandache函数,利用初等的方法和技巧,依据Smarandache函数计算公式,给出k的方程φ(p~αm)=S(p~(ακ))的所有解,其中p为素数,α,m为正整数且gcd(m,p)=1,由此得到方程φ(n)=S(n~k)的所有解(n,k)进而确定了满足条件S(n)|σ(n)的全部正整数n.最后,根据莫比乌斯变换反演定理证明了方程φ(n)=∑_(d|n)S(d)仅有两个解,分别为n=2~5和n=3×2~5.     

再议f（x）＝f~（－1）（x）与x＝f（x）是否同解

再议ｆ（ｘ）＝ｆ~（－１）（ｘ）与ｘ＝ｆ（ｘ）是否同解邬坤昌（上海宝山松浦中学）常绪珠（湖北钟祥一中）方程ｆ（ｘ）＝ｆ－１（Ｘ）与方程Ｘ＝ｆ（ｘ）［或Ｘ＝ｆ－１（Ｘ）］是否同解？文［１］以函数ｙ＝１－ｘ的反函数是它自己为反侧，说明了ｆ（ｘ）＝ｆ－１（?..