一种包含欧拉函数Ф（n）的方程

设礼和k为任意正整数,Ф（n）是欧拉函数,Ω（n）表示n的所有素因数的个数．本文的主要目的是利用初等方法研究方程Ф（Ф（n）））^k=2^Ω（n）的可解性,同时获得了该方程的所有正整数解．     

一个包含欧拉函数的方程

设n为任意正整数,如果n〉1,设n=p1^α1p2^α2…pk^αk是n的标准分解式,函数Ω（n）定义为Ω（1）=0,Ω（n）=∑i=1^kαi,φ（n）为Euler函数,本文的主要目的是利用初等方法研究方程φ（φ（n））=2Ω（n）的可解性,并获得该方程的所有正整数解,从而彻底解决了前学者提出的一个问题．     

一类包含欧拉函数φ（n）的方程

设m,n为任意正整数,φ（n）是欧拉函数.本文的主要目的是利用初等方法研究方程φ（mn）=k（φ（m）＋φ（n））的可解性,其中k为素数,同时获得了该方程的所有正整数解.     

一个包含Smarandache函数及第二类伪Smarandache函数的方程

主要研究方程Z2（n）＋1=S（n）的可解性,利用初等方法以及Smarandache函数的性质,证明了该方程有无穷多个正整数解,并获得了所有正整数解的具体表现形式．     

一个包含Z（n）和D（n）函数的方程及其它的正整数解

对于任意正整数n,著名的伪Smarandache函数Z（n）定义为最小的正整数m使得n｜m（m＋1）／2．而数论函数D（n）定义为最小的正整数m使得n｜d（1）d（2）d（3）…d（m）,其中d（n）为Dirichlet除数函数．本文的主要目的是利用初等方法研究一类包含伪Smarandache函数Z（n）和数论函数D（n）的方程2^z（n）=D（n）的可解性,并获得了该方程的所有正整数解．     

与Euler函数φ(n)有关的两个方程

设φ(n)是Euler函数.主要研究了方程φ(xy)=k(φ(x)+φ(y))的可解性问题,其中k=4,6,利用初等的方法给出了这2个方程的所有正整数解.     

关于欧拉函数方程？（？（x））=2t的可解性

对任意的正整数 n,函数？（n）为著名的 Euler 函数,即在序列1,2,···, n 中与n 互质的整数的个数。本文利用初等方法研究了方程？（？（x））的可解性,并给出了该方程的全部正整数解。     

Smarandache函数的几类相关方程的解

设φ(n),S(n)分别表示正整数n的Euler函数和Smarandache函数,利用初等的方法和技巧,依据Smarandache函数计算公式,给出k的方程φ(p~αm)=S(p~(ακ))的所有解,其中p为素数,α,m为正整数且gcd(m,p)=1,由此得到方程φ(n)=S(n~k)的所有解(n,k)进而确定了满足条件S(n)|σ(n)的全部正整数n.最后,根据莫比乌斯变换反演定理证明了方程φ(n)=∑_(d|n)S(d)仅有两个解,分别为n=2~5和n=3×2~5.     

无穷级数的∞↑∑n=1 1/（2n-1）^2k一种计算方法

根据无穷多项式理论,将余弦函数的幂级数展开式构造成无穷乘积的形式．并且利用ln（1＋x）幂级数展开,得到∞↑∑n=1 1/（2n-1）^2k（k为正整数）的一种计算方法．     

一个包含Smarandache LCM函数的方程

对任意正整数n,著名的Smarandache LCM函数SL(n)定义为最小的正整数k,使得n|[1,2,…,k],其中[1,2,…,k]表示1,2,…,k的最小公倍数.本文利用初等方法研究一类包含Smarandache LCM函数方程的可解性,并获得了给定方程的所有正整数解.     

有限个互素因子链上幂GCD矩阵与幂LCM矩阵的行列式的整除性

设S={x1,x2,...,xn}是由n个不同的正整数组成的集合,并设a为正整数.如果一个n阶矩阵的第i行j列元素是S中元素xi和xj的最大公因子的a次幂(xi,xj)a,则称该矩阵为定义在S上的a次幂最大公因子(GCD)矩阵,用(Sa)表示;类似定义a次幂LCM矩阵[Sa].如果存在{1,2,...,n}上的一个置换σ使得xσ(1)|xσ(2)|···|xσ(n),则称S为一个因子链.如果存在正整数k,使得S=S1∪S2∪···∪Sk,其中每一个Si(1ik)均为一个因子链,并且对所有的1i=jk,Si中的每个元素与Sj中的每个元素互素,则称S由有限个互素因子链构成.本文中,设S由有限个互素的因子链构成,并且1∈S.我们首先给出幂GCD矩阵与幂LCM矩阵的行列式的公式,然后证明:如果a|b,则det(Sa)|det(Sb),det[Sa]|det[Sb],det(Sa)|det[Sb].最后我们指出:如果构成S的有限个因子链不互素,则此结论一般不成立.     

带非卷积位相的粗糙核振荡奇异积分算子的加权L^p估计

文研究一类位相较多项式更一般的振荡奇异积分算子．在积分核Ω∈Llog^＋L（S^n-1）的条件下,建立了该类算子在加权Lp空间的有界性．     

一个包含伪Smarandache函数及其对偶函数的方程

研究一个包含伪Smarandache函数及其对偶函数方程的可解性,利用初等及组合方法给出了该方程的一系列正整数解,并证明了该方程的所有奇数解必为奇素数p（≥5）的方幂.     

环Z/(p~e)上本原序列压缩映射的新结果

令Z/(pe)表示整数剩余类环,其中p为素数且e 2为正整数.令f(x)表示Z/(pe)上的n次本原多项式,G′(f(x),pe)表示Z/(pe)上所有由f(x)生成的本原序列构成的集合.设序列a∈G′(f(x),pe),它有唯一的p进制展开a=a0+a1p+···+ae-1pe-1.令φ(x0,x1,...,xe-1)=g(xe-1)+μ(x0,x1,...,xe-2)表示由Fe p到Fp的一个e变元多项式.那么,φ可以诱导出一个从G′(f(x),pe)到F∞p的压缩映射.在p为奇素数且f(x)为强本原多项式的条件下,人们已经证明该压缩映射是保熵的.而本文证明该压缩映射在f(x)为本原多项式的条件下仍然是保熵的.当deg(g(x))2时,我们还要求deg(g(x))为奇数,或者g(x)=xk+∑k-2i=0cixi.