一类多目标非线性规划广义Lagrange对偶函数的几个性质

本文对多目标非线性规划问题（ＶＰ）：ｍｉｎｆ（ｘ）ｓ．ｔ．β（ｘ）∈－Ｐ，ｘ∈Ｃ引进了一种广义的Ｌａｇｒａｎｇｅ对偶函数Ｑ（ｗ）＝ｉｎｆ｛ｆ（ｘ）＋〈ｗ，β（ｘ）〉｜ｘ∈Ｃ｝，并讨论它的性质，得到了类似文献［１］中的结果．     

欧氏空间中的变换和线性变换

欧氏空间中的变换和线性变换郝秀梅，杨子胥（山东财政学院数学系２５００１４）文［１］、［２］讨论了欧氏空间中几类与内积相关联的变换必为线性变换，本文不仅推广了该二文的全部定理，而且刻划了文［１］定理１的变换Ｔ．定理１设Ｔ是欧氏空间Ｖ的一个变换．如果存在...     

Dirichlet多项式翻转公式的一个新结果

设ｆ（ｘ）是一个实函数，ｆ（ｘ＋ｉｙ）在某个包含区间［ａ，ｂ］的某区域内解析，则Σ↓α〈ｎ≤βｅ（ｆ（ｎ））＝ｅ（－１／８）Σ↓α〈ｎ≤β│ｆ″（ｘｎ）│＾－１／２ｅ（ｆ（ｘ）－ｎｘｎ）＋△（ｆ，ａ，ｂ）其中α，β，ｘｎ的定义是（１），余项△是（９），它改进了文［１］，［２］的结果。     

一阶急式微分方程周期边值问题(英文)

本文我们描述了一个构造性方法．在存在一个上解β及下解α且α≤β情形下,得到两个单调序列一致收敛于如下周期边值问题．ｘ′（ｔ）＝ｆ（ｔ,ｘ（ｔ）,ｘ′（ｔ））,ｔ∈［０,Ｔ］ｘ（０）＝ｘ（Ｔ）,｛的极值解     

Jacobi多项式零点为结点的Lagrange插值多项式之逼近

对于可微函数ｆ∈Ｃｑ［－１，１］，本文研究以Ｊａｃｏｂｉ多项式Ｊ（α，β）ｎ（ｘ）的零点为结点组之Ｌａｇｒａｎｇｅ插值多项式对ｆ及其导数的同时逼近，证明不等式Ｌ（ｓ）ｎ（ｆ，α，β，ｘ）－ｆ（ｓ）（ｘ）＝Ｏ（１）Δ－ｓｎ（ｘ）Δｑｎ（ｘ）ω（ｆ（ｑ），Δｎ（ｘ））ｌｏｇｎ｛＋（１－ｘ＋ｎ－１）－α－１２ｎ－ｑω（ｆ（ｑ），ｎ－１）｝，在［０，１］上对于ｓ＝０，１，２，…，ｑ一致成立，其中Δｎ（ｘ）＝ｎ－１１－ｘ２＋ｎ－２     

周期问题分类浅析

近年在各级各类的试卷中,常见与周期有关的试题．由于周期函数在中学课本中仅介绍定义．练习中也只有求三角函数的周期,除此之外,在课本中再也找不到与周期有关的问题．因此,涉及周期问题的求解,学生颇感困难,本文以近年各类试题为例,对周期问题从周期给出的方式入手进行分类浅析．１　直接给出周期周期为Ｔ的函数,直接给出周期的方式有：ｆ（ｘ＋Ｔ）＝ｆ（ｘ）、ｆ（ｘ＋Ｔ２）＝－ｆ（ｘ）、ｆ（ｘ＋Ｔ２）＝１ｆ（ｘ）、ｆ（ｘ＋Ｔ２）＝－１ｆ（ｘ）等．例１　若ｆ（ｘ）（ｘ∈Ｒ）是以２为周期的偶函数,当ｘ∈［０,１］时,…     

奇阶中立型时滞微分方程解的振动性

１．引言考虑奇阶非线性泛函微分方程［ｘ（ｔ）－ｃｘ（ｔ—(）］（ｎ）＋ｐ（ｔ）ｆ（ｘ（ｔ－σ））＝０（１）对方程（１）我们作如下假设（Ｈ）：（Ｈ１）ｎ＞１是奇整数,ｐ∈Ｃ（（ｔ０,∞）,（ｔ０,∞））;（Ｈ２）τ＞０,σ＞０且０≤ｃ≤１;（Ｈ３）ｆ∈Ｃ（Ｒ,Ｒ）是单调增加,ｘｆ（ｘ）＞０,Ｘ≠０且当｜ｘ｜→∞时有｜ｆ（ｔ）｜→∞．设δ＝ｍａｘ｛τ,σ｝,∈Ｃ（［Ｔ－δ,Ｔ］,Ｒ）．方程（１）在［Ｔ,∞）上的解是指函数ｘ∈Ｃ（［Ｔ,∞）,Ｒ）,使得ｘ（ｔ）＝(（ｔ）,Ｔ－δ≤ｔ≤Ｔ,［ｘ（ｔ）－ｃｘ…     

多项式翻转公式的一个新结果(英文)

设ｆ（ｘ）是一个实函数，ｆ（ｘ＋ｉｙ）在某个包含区间［ａ，ｂ］的某区域内解析，则∑ａ＜ｎ≤ｂｅ（ｆ（ｎ））＝ｅ（－１８）∑α＜ｎ≤β｜ｆ″（ｘｎ）｜－１２ｅ（ｆ（ｘｎ）－ｎｘｎ）＋△（ｆ，ａ，ｂ）其中α，β，ｘｎ的定义是（１），余项△是（９），它改进了文［１］，［２］的结果．     

正线性算子对无穷区间上有界变差函数的点态逼近度

用ＢＶ［０，∞）表示在［０，∞）的每一有限子区间上为有界变差函数的函数构成的空间。用表示ＢＶ［０，∞）上的正线性算子，其中ｄｔＫｎ（ｘ，ｔ）是非负测度且，则有定理如果Ｌｎ（｜ｔ－ｘ｜β，ｘ）≤Ｃ（ｘ）／ｎｖ，，这里β＞０，ｖ≥１，Ｃ（ｘ）是一个与ｘ有关的常数，对ｆ∈ＢＶ［０，∞）和ｘ∈（０，∞）有这里作为应用，给出算子的逼近估计．     

Burgers－KdV 方程的初边值问题

该文借助适当的逼近，用散逸算子理论，差分和估计方法，证明了［０，１］×［０，Ｔ］上Ｂｕｒｇｅｒｓ－ＫｄＶ方程ｕｔ＋ｕ（ｘｘｘ）－Ｕ（ｘｘ）＋ｕｕｘ＝ｆ（ｘ，ｔ）的一类初边值问题存在唯一的解ｕ∈Ｌ∞（０，Ｔ；Ｈ３（０，１））∩Ｃ（０，Ｔ；Ｈ２（０，１））∩Ｗ（１，∞），（Ｏ，Ｔ；Ｌ２（０，１））．     

粗糙核分数次振荡积分算子的加权有界性

本文给出了一类带粗糙核的分数次振荡积分算子Ｔμ，Ｔμｆ（ｘ）＝∫ＲｎｅｉＰ（ｘ，ｙ）Ω（ｘ－ｙ）｜ｘ－ｙ｜ｎ－μｈ（｜ｘ－ｙ｜）ｆ（ｙ）ｄｙ的加权Ｌｐ（Ｒｎ）有界性．这里Ｐ（ｘ，ｙ）是Ｒｎ×Ｒｎ上非平凡的实多项式，Ω∈Ｌｑ（Ｓｎ－１）为零阶齐次函数，且ｈ（ｒ）∈ＢＶ（Ｒ＋）．作为推论，证明了Ｔμ和ＢＭＯ函数形成的高阶交换子Ｔμ，ｂ，Ｔμ，ｂｆ（ｘ）＝∫ＲｎｅｉＰ（ｘ，ｙ）Ω（ｘ－ｙ）｜ｘ－ｙ｜ｎ－μｈ（｜ｘ－ｙ｜）［ｂ（ｘ）－ｂ（ｙ）］ｍｆ（ｙ）ｄｙ也是加权Ｌｐ（Ｒｎ）有界的，其中ｂ（ｘ）∈ＢＭＯ（Ｒｎ），ｍ∈Ｚ＋     

一道不等式题的简捷证明

题　已知二次函数ｆ（ｘ）＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ,当－１≤ｘ≤１时,有－１≤ｆ（ｘ）≤１．求证：当－２≤ｘ≤２时,有　－７≤ｆ（ｘ）≤７．这是文［１］例３,原给出的证明较繁,现简证如下．证明　∵　ｆ（１）＝ａ＋ｂ＋ｃ,ｆ（０）＝ｃ,ｆ（－１）＝ａ－ｂ＋ｃ,∴　２ａ＝ｆ（１）＋ｆ（－１）－２ｆ（０）,∴　｜２ａ｜≤｜ｆ（１）｜＋｜ｆ（－１）｜＋２｜ｆ（０）｜≤１＋１＋２＝４,且　｜ｃ｜＝｜ｆ（０）｜≤１．若ｘ∈［－２,２］,则　ｘ′＝ｘ２∈［－１,１］,于是可得　｜ｆ（ｘ）｜＝｜ｆ（２ｘ′）｜＝｜２ｆ（…     

滞后线性控制系统的输出能控性

本文对具有滞后的线性泛函微分方程所确定的滞后线性控制系统ｘ（ｔ）＝Ａ（ｔ）ｘ（ｔ）十Ｂ（ｔ）ｘ（ｔ－１）＋Ｃ（ｔ）ｕ（ｔ）ｔ∈（０，Ｔ］ｘ（ｔ）＝Φ（ｔ）ｔ∈［１，０］ｙ（ｔ）＝Ｄ（ｔ）ｘ（ｔ）＋Ｅ（ｔ）ｕ（ｔ）ｔ∈［－１，Ｔ］给出一些关于欧氏空间完全输出能控性的重要结论。并且对自治的滞后线性控制系统做了进一步研究，得到令人满意的充要条件；特别是通过与相应的常微分方程所确定的控制系统的输出能控性相比较，得到比较简明的判则。     

关于Tchebycheff—Fourier级数的（H,λ）平均的逼近

我们定义了（Ｈ，λ）求和法，它含有（Ｎ，ｐｎ），（Ｒ＾ｒｎ）和（Ｖｍｎ）求和法。讨论了函数ｆ（ｘ）∈Ｃ＾ｒ［－１，１］（ｒ∈Ｎ０）以及ｆ（ｘ）∈Ｗ＾ｒＨ＾ａ（ｒ∈Ｎ０，０＜ａ＜１）的切比晓夫－富里埃级数的逼近阶。     

Boundedness of the Maximal Operator on Lipα（R^n）（0〈α〈1）

§１．　ＩｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎＡｌｏｃａｌｌｙｉｎｔｅｇｒａｂｌｅｆｕｎｃｔｉｏｎｆ（ｘ）ｂｅｌｏｎｇｓｔｏＬｉｐα（Ｒｎ）,ｉｆｔｈｅｒｅｉｓａｃｏｎｓｔａｎｔＣ,ｓｕｃｈｔｈａｔｆｏｒｅｖｅｒｙｘ,ｙ∈Ｒｎ｜ｆ（ｘ）－ｆ（ｙ）｜≤Ｃ｜ｘ－ｙ｜α　　ＴｈｅｓｍａｌｌｅｓｔｃｏｎｓｔａｎｔＣｓａｔｉｓｆｉｅｓａｂｏｖｅｉｓｃａｌｌｅｄＬｉｐｓｃｈｉｔｚｎｏｒｍｏｆｆａｎｄｉｓｄｅｎｏｔｅｄｂｙｙｆｙ∧α．Ｂｙ［１］,ｆ∈Ｌｉｐα（Ｒｎ）ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔｔｏｆ∈εα,２,ｗｈｅｒｅεα,２＝…     

求解不等式约束最优化问题的MBF—ODE方法

１引言考虑用基于修正内罚函数的常微分方程（ＭＢＦ－ＯＤＥ）方法求解下列不等式约束极小化问题：其中ｆi∈ｃ２：Ｒ,ｉ=0,１,…,ｍ．求解无约束极小化问题的ＯＤＥ的一般形式是其中,φ（ｘ）∈Ｃ１：ΩＲｎ→Ｒ;ｓ（ｘ）∈Ｃ１：ΩＲｎ→Ｒｎ且满足φ（ｘ）＞０,ｓＴ（ｘ）ｆ（ｘ）＜０,ｆ（ｘ）∈Ｃ１：Ｒｎ→Ｒ为目标函数．为便于用ＯＤＥ方法求解（１．ｌ）,可藉助于罚函数将（１．ｌ）变换为无约束极小化问题（见［７］．但由于经典罚函数（ＣＢＦ）在计算上有较大的困难,我们采用修正内罚函数（ＭＢＦ）．其基本思想是用…     

关于广义Thue－Mahler方程的解数

设ａ，ｂ是非零整数，ｐ１，…，ｐｒ是不同的素数，Ｐ＝｛±｜ｍ１，…，ｍｒ是非负整数｝．设Ｋ是ｎ（ｎ≥３）次代数数域，α１，…，αｍ∈ｋ（１＜ｍ＜ｎ），△（α１，…，αｍ）是α１，…，αｍ的判别式，ｆ（ｘ１，…，ｘｍ）＝αＮｋ／Ｑ（α１ｘ１＋…＋αｍｘｍ）∈ｚ［ｘ１，…，ｘｍ］．本文证明了：当ｆ（ｘ１，…，ｘｍ）非退化且Ｐｉ△（α１，…，αｍ）（ｉ＝１，…，ｒ）时，方程ｆ（ｘ１，…，ｘｍ）＝ｂｙ，ｘ１，…，ｘｍ∈ｚ，ｇｃｄ（ｘ１，…，ｘｍ）＝１，ｙ∈Ｐ至多有（４Ｓｄ２）（Ｓｄ）组解（ｘ１，…，ｘｍ，ｙ），其中ｄ＝ｎ！，Ｓ＝ｒ＋ω是ｂ的不同素因数的个数，ｈＡ是Ｋ的类数．     

一类离散型奇异积分算子

设｛αｋ｝∞ｋ＝－∞为正数缺项序列，满足ｉｎｆｋαｋ＋１／ｄｋ＝α＞１，Ω（ｙ′）为Ｂｅｓｏｖ空间Ｂ０，１１（Ｓｎ－１）上的函数，其中Ｓｎ－１为Ｒｎ（ｎ２）上的单位球面．本文证明：若∫Ｓｎ－１Ω（ｙ′）ｄσ（ｙ′）＝０，则离散型奇异积分ＴΩ（ｆ）（ｘ）＝∑∞ｋ＝－∞∫Ｓｎ－１ｆ（ｘ－αｋｙ′）Ω（ｙ′）ｄσ（ｙ′）和相关的极大算子ＴΩ（ｆ）（ｘ）＝ｓｕｐＮ∑∞ｋ＝Ｎ∫Ｓｎ－１ｆ（ｘ－αｋｙ′）Ω（ｙ′）ｄσ（ｙ′）均在Ｌ２（Ｒｎ）上有界．上述结果推广了Ｄｕｏａｎｄｉｋｏｅｔｘｅａ和ＲｕｂｉｏｄｅＦｒａｎｃｉａ［１］在Ｌ２情形下的一个结果     

关于广义Thue－Mahler方程的解数

设ａ，ｂ是非零整数，ｐ１，…，ｐｒ是不同的素数，Ｐ＝｛±｜ｍ１，…，ｍｒ是非负整数｝．设Ｋ是ｎ（ｎ≥３）次代数数域，α１，…，αｍ∈ｋ（１＜ｍ＜ｎ），△（α１，…，αｍ）是α１，…，αｍ的判别式，ｆ（ｘ１，…，ｘｍ）＝αＮｋ／Ｑ（α１ｘ１＋…＋αｍｘｍ）∈ｚ［ｘ１，…，ｘｍ］．本文证明了：当ｆ（ｘ１，…，ｘｍ）非退化且Ｐｉ△（α１，…，αｍ）（ｉ＝１，…，ｒ）时，方程ｆ（ｘ１，…，ｘｍ）＝ｂｙ，ｘ１，…，ｘｍ∈ｚ，ｇｃｄ（ｘ１，…，ｘｍ）＝１，ｙ∈Ｐ至多有（４Ｓｄ２）（Ｓｄ）组解（ｘ１，…，ｘｍ，ｙ），其中ｄ＝ｎ！，Ｓ＝ｒ＋ω是ｂ的不同素因数的个数，ｈＡ是Ｋ的类数．     

一类非线性椭圆方程组正解的存在性定理

本文考虑如下的椭圆方程组△ｙ＋ｆ（ｘ,ｕ）＋Эｕ＝０,ｘ∈Ω △ｕ＋ｕ－ｖ＝０,ｘ∈Ω ｕ＝ｖ＝０,ｘ∈ЭΩ 其中,Ω∈Ｒ＾Ｎ（Ｎ≥３）是带光滑边界的有界区域,ｆ（ｘ,ｕ）＝ｈ（ｘ）ｕ＾α＋ｕ＾β＋λｕ＾ｐ,ｈ（ｘ）∈Ｃ＾ｒ（Ω）（０〈ｒ〈１）,α,β,ｐ是正常数且０〈β〈α〈１〈ｐ〈（Ｎ＋２）／（Ｎ－２）,λ,δ是正参数,由临界点理论证明了该方程组至少存在二对正解。