周期问题分类浅析

近年在各级各类的试卷中,常见与周期有关的试题．由于周期函数在中学课本中仅介绍定义．练习中也只有求三角函数的周期,除此之外,在课本中再也找不到与周期有关的问题．因此,涉及周期问题的求解,学生颇感困难,本文以近年各类试题为例,对周期问题从周期给出的方式入手进行分类浅析．１　直接给出周期周期为Ｔ的函数,直接给出周期的方式有：ｆ（ｘ＋Ｔ）＝ｆ（ｘ）、ｆ（ｘ＋Ｔ２）＝－ｆ（ｘ）、ｆ（ｘ＋Ｔ２）＝１ｆ（ｘ）、ｆ（ｘ＋Ｔ２）＝－１ｆ（ｘ）等．例１　若ｆ（ｘ）（ｘ∈Ｒ）是以２为周期的偶函数,当ｘ∈［０,１］时,…     

巧用函数单调性解赛题

函数ｆ（ｘ）在区间［ａ,ｂ］上单调增加（或单调减少）,又ｃ、ｄ∈［ａ,ｂ］上,若ｆ（ｃ）＝ｆ（ａ）,则有ｃ＝ｄ．１　求代数式的值例１　已知ｘ、ｙ∈［－π４,π４］,ａ∈Ｒ,且　ｘ３＋ｓｉｎｘ－２ａ＝０４ｙ３＋ｓｉｎｙｃｏｓｙ＋ａ＝０则ｃｏｓ（ｘ＋２ｙ）＝　　．（１９９４年全国高中数学竞赛题）解　由已知条件,可得　　ｘ３＋ｓｉｎｘ＝２ａ（－２ｙ）３＋ｓｉｎ（－２ｙ）＝２ａ故可设函数ｆ（ｔ）＝ｔ３＋ｓｉｎｔ,则有ｆ（ｘ）＝ｆ（－２ｙ）＝２ａ．由于函数ｆ（ｔ）＝ｔ３＋ｓｉｎｔ,在［－π２,π２］上是单…     

巧构函数解一类三角问题

定理设ｆ（ｘ）＝ａ１ｓｉｎ（ｘ＋α１）＋ａ２ｓｉｎ（ｘ＋α２）＋…＋ａｎｓｉｎ（ｘ＋αｎ）（或ｆ（ｘ）＝ａ１ｃｏｓ（ｘ＋α１）＋ａ２ｃｏｓ（ｘ＋α２）＋…＋ａｎｃｏｓ（ｘ＋αｎ））（ａｉ,αｉ是常量,ｉ＝１,２,…,ｎ）．如果对ｘ１,ｘ２（ｘ１－ｘ２...     

忽视函数定义域错解剖析

在函数这一章的复习中,笔者发现学生在解有关函数性质问题时,经常发生一些不该有的错误．本文仅就此发表一点看法．例１判断函数ｆ（ｘ）＝１－ｘ２｜ｘ＋２｜－２的奇偶性．错解∵ｆ（－ｘ）＝１－（－ｘ）２｜－ｘ＋２｜－２＝１－ｘ２｜ｘ－２｜－２．∴ｆ（－ｘ）≠...     

复合函数的性质及应用

复合函数这一概念,现行高中课本未直接定义．而复合函数的应用实例,在现行高中课本《代数》上册（以下简称课本）中大量出现．如　ｙ＝ｌｏｇ０．５（４ｘ－３）（课本Ｐ１００）;ｙ＝１６－５ｘ－ｘ２（课本Ｐ１０８）;ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ）（课本Ｐ１７８）;ｙ＝ｓｉｎ（ａｒｃｓｉｎｘ）（课本Ｐ３００）．在全国高考数学试题中,复合函数的应用问题成为命题热点．本文试对复合命题的性质作点介绍．设ｙ＝ｆ（ｕ）,ｕ＝ｇ（ｘ）,则ｙ＝ｆ［ｇ（ｘ）］为复合函数．根据函数单调性的定义,容易得出下列结论．（１）若ｙ＝ｆ（ｕ…     

复合函数中外函数的确定

问题很多书刊资料上都有这样一道题：例１已知函数ｆ（ｘ２－３）＝ｌｇｘ２ｘ２－６，求ｆ（ｘ）并判断ｆ（ｘ）的奇偶性．而其答案却有两种：答案一：ｆ（ｘ）＝ｌｇｘ＋３ｘ－３（ｘ＞３），它没有奇偶性．〔１〕答案二：ｆ（ｘ）＝ｌｇｘ＋３ｘ－３，它是奇函数．为什...     

高中数学小单元自测题

高中数学小单元自测题反三角函数和简单三角方程（高一）李岱宗（广西南宁市二中５３００２２）第一套反三角函数的性质与计算１．若ｔｇｘ＝ａ，其中ｘ∈（π２，π），则有（）（Ａ）ｘ＝π２＋ａｒｃｔｇａ．（Ｂ）ｘ＝π２－ａｒｃｔｇａ．（Ｃ）ｘ＝π＋ａｒｃｔｇａ...     

一些与Riemann Zeta函数有关的级数的求和公式

采用组合数学的方法，利用第二类Ｓｔｉｒｌｉｎｇ数和Ｂｅｒｎｏｕｌｉ数给出级数∑∞ｋ＝２ｋｍζ（ｋ）、∑∞ｋ＝１ｋｍζ（２ｋ）及∑∞ｋ＝１（２ｋ＋１）ｍζ（２ｋ＋１）（其中ｍ≥１，ζ（ｘ）＝ζ（ｘ）－１）的求和公式。这些公式表述简洁并有鲜明的规律性。     

高中数学中的复合函数

复合函数——高中阶段的一个不予定义的重要数学概念，其应用实例却在课本中屡见不鲜．例如ｙ＝ｌｏｇ０．５（４ｘ－３），高级中学课本《代数》上册（必修）６５页４，（２）；ｙ＝ｓｉｎ（ａｒｃｓｉｎｘ），《代数》上册（必修）第２３９页２．在全国统考数学试题中，...     

被开方数高于一次的函数极值的几何求法

１９９９年第３期《中学数学》刊登了陈宽国老师的文章“函数ｆ（ｘ）＝Ａａ１ｘ＋ｂ１＋Ｂａ２ｘ＋ｂ２的值域的几何求法”，读后颇有启发．并且马上产生了写作此文的想法，聊以助兴．例１　求函数ｆ（ｘ）＝ｘ２＋４＋ｘ２－１０ｘ＋３４的最小值．解析１　用立体几何知识．函数可化为ｆ（ｘ）＝ｘ２＋２２＋（５－ｘ）２＋３２．构造如图１所示的长方体，其三度长分别为２、３、５，设ＢＥ＝ｘ，则　ＡＥ＝ｘ２＋２２，ＥＣ′＝（５－ｘ）２＋３２，∴　ｆ（ｘ）＝ＡＥ＋ＥＣ′．这样，原题就化归为在棱ＢＢ′上找一点Ｅ′，使折线ＡＥ′…     

广义Hausdorf矩中基函数的唯一性

本文通过定义左连续单调函数的广义反函数，讨论了形式为ａｎ＝∫ｂａΨ（ｘ）ｆｎ（ｘ）ｄｘ，ｎ＝１，２，３，…（１）的广义Ｈａｕｓｄｏｒｆ矩的基函数ｆ（ｘ）的唯一性问题。在Ψ（ｘ）为Ｌｅｂｅｓｇｕｅ正可积的条件下，我们证明了当ｆ（ｘ）为单调函数时，满足（１）式的基函数ｆ（ｘ）是唯一的     

利用分段函数制作的几种反例

为澄清对分段函数的一些误解,给出以下反例;１　驳“分段定义函数一定是非初等函数”事实上,存在着分段定义的初等函数,例如ｆ（ｘ）＝ｘ＋１　ｘ＜０３ｘ＋１　ｘ≥０,（１）这个函数可以用统一的解析式表达为ｆ（ｘ）＝２ｘ＋ｘ２＋１,（２）式（２）是基本初等函数的有限次复合与四则运算,式（２）是初等函数,即（１）是初等函数;２　驳“分段定义函数在界点处必不可导”请看反例：ｆ（ｘ）＝ｘ２＋２　ｘ＜１２ｘ＋１　ｘ≥１,ｆ′（１＋０）＝ｌｉｍΔｘ→０－［２（１＋Δｘ）＋１］－（２×１＋１）／Δｘ＝２,ｆ′（１－…     

关于迭代函数方程f~2(x)=af(x) bx的通解

设λ的二次三项式λ２－ａλ－ｂ的两个零点为λ１＝ｒ，λ２＝ｓ（ａ及ｂ为实数）．对０＜ｒ＜ｓ，ｒ＜０＜ｓ≠－ｒ及ｒ＝ｓ≠０这三种情形，Ｊ．Ｍａｔｋｏｗｓｋｉ与ＷｅｉｎｉａｎＺｈａｎｇ在“Ｍｅｔｈｏｄｏｆｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｆｏｒｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓｉｎｐｏｌｙｎｏｍｉａｌｆｏｒｍ”一文中给出了迭代函数方程ｆ２（ｘ）＝ａｆ（ｘ）＋ｂｘ，对任ｘ∈Ｒ；ｆ∈Ｃ０（Ｒ，Ｒ）（１）的通解，并证明了当ｒ及ｓ非实数时方程（１）无解．对ｒ＝－ｓ≠０的情形，Ｍ．Ｋｕｃｚｍａ已给出了方程（１）的通解．本文则对ｒ＜ｓ＜０及ｒｓ＝０这两种情形给出了方程（１）的通解．此外，本文还给出了ｒ＜０＜ｓ≠－ｒ时关于方程（１）的通解的一个简洁的证明     

一类离散型奇异积分算子

设｛αｋ｝∞ｋ＝－∞为正数缺项序列，满足ｉｎｆｋαｋ＋１／ｄｋ＝α＞１，Ω（ｙ′）为Ｂｅｓｏｖ空间Ｂ０，１１（Ｓｎ－１）上的函数，其中Ｓｎ－１为Ｒｎ（ｎ２）上的单位球面．本文证明：若∫Ｓｎ－１Ω（ｙ′）ｄσ（ｙ′）＝０，则离散型奇异积分ＴΩ（ｆ）（ｘ）＝∑∞ｋ＝－∞∫Ｓｎ－１ｆ（ｘ－αｋｙ′）Ω（ｙ′）ｄσ（ｙ′）和相关的极大算子ＴΩ（ｆ）（ｘ）＝ｓｕｐＮ∑∞ｋ＝Ｎ∫Ｓｎ－１ｆ（ｘ－αｋｙ′）Ω（ｙ′）ｄσ（ｙ′）均在Ｌ２（Ｒｎ）上有界．上述结果推广了Ｄｕｏａｎｄｉｋｏｅｔｘｅａ和ＲｕｂｉｏｄｅＦｒａｎｃｉａ［１］在Ｌ２情形下的一个结果     

函数y＝Asin（ωx＋ψ）的图象和性质

函数ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋ψ）的图象和性质白定稳（河南内乡高中４７３３５０）【基本概念】１．函数ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ十）（其中Ａ，ω，是常数）是物理学和工程技术中应用比较广泛的一类函数．例如：物体作简谐振动时位移ｙ与时间ｘ的关系，交流电中电流强度ｙ与时间...     

三类与Riemann Zeta函数有关的级数的求和公式

本文采用组合数学的方法,利用第二类Ｓｔｉｒｌｉｎｇ数和Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ数给出级数∑∞ｋ＝２ｋ＾ｍξ（２ｋ）及∑∞ｋ＝１（２ｋ＋１）＾ｍξ（２ｋ＋１）其中ｍ≥１,ξ（ｘ）＝ξ（ｘ）－１）的求和公式。这些公式表述简洁并有鲜明的规律性。     

关于函数f（x）＝sin~mxcos~nx的最值

关于函数ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ~ｍｘｃｏｓ~ｎｘ的最值周晓（四川省旺苍中学）解决某些生产、生活中的实际问题时要遇到求下列函数在（０，）上的最大值的问题：ｙ＝Ｓｉｎｘｃｏｓ２ｘ，ｙ＝ｓｉｎ２ｘｃｏｓｘ，ｙ＝ＳｌｌｌＣＯＳ３Ｓ，ｙ—Ｓｌｌ’ＩＣＯＳＳ，如此等等．...     

二次分式函数的值域及检验

设二次分式函数ｙ＝ａ１ｘ２＋ｂ１ｘ＋ｃ１ａ２ｘ２＋ｂ２ｘ＋ｃ２①其中ａ１,ａ２,ｂ１,ｂ２,ｃ１,ｃ２∈Ｒ．如何求函数的值域Ａ？若令ｆ（ｘ）＝ａ１ｘ２＋ｂ１ｘ＋ｃ１,ｇ（ｘ）＝ａ２ｘ２＋ｂ２ｘ＋ｃ２,如果ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）存在一次或二次公因式或ａ１,...     

非定常的热传导一对流问题的特征混合元法

１．引言 设 　 Ｒ２是足够光滑的有界区域，考虑非定常的热传导－对流方程的初边值问题： 问题Ｉ．求ｕ＝（ｕ１，ｕ２），ｐ，Ｔ满足：其中ｕ是流体的速度向量，ｐ为压力，Ｔ是温度，ｖ＞０是运动粘性系数，λ＞０是Ｇｒｏｓｈｏｆｆ数，ｊ＝（０，１）是二维向量，ｘ＝（ｘ１，ｘ２）． 非定常的热传导一对流方程是大气动力学中的一个重要的方程，这个方程组也称为强迫耗散的非线性系统方程组，其较Ｎａｖｉｅｒ－Ｓｔｏｋｅｓ方程多了一个未知函数温度场，它与速度和压力之间存在着复杂的非线性关系．从热动力学可知，任何运动都会产生…     

三角函数几类最值求法

三角函数的最值问题作为一种基本题型较好的体现了三角知识的综合运用．近几年高考中,也经常出现此类问题．现将这类问题归纳成如下几种主要形式,供参考．１ｙ＝ａｓｉｎｘ＋ｂｃｏｓｘ型此类函数可化为ｙ＝ａ２＋ｂ２ｓｉｎ（ｘ＋φ）,其中ｔｇφ＝ｂａ,φ所在象限即...