关于函数y=asin~tx bcos~tx的最值

关于函数ｙ＝ａｓｉｎｔｘ＋ｂｃｏｓｔｘ的最值黄俊明（贵州省黔东南州民族林校５５６０００）关于用初等方法求函数ｙ＝ａｓｉｎｔｘ＋ｂｃｏｓｔｘ（ａ，ｂ∈Ｒ＋，ｔ为常数，ｘ∈（０，π／２））的最值，文［１］给出了ｔ＝－１时的情形，并在《数学通讯》１９８８年...     

关于函数y=asec~tx-btg~tx的最值

关于函数ｙ＝ａｓｅｃｔｘ－ｂｔｇｔｘ的最值黄俊明（贵州省黔东南州民族林校５５６０００）关于函数ｙ＝ａｓｅｃｔｘ－ｂｔｇｔｘ（ａ，ｂ＞０，ｘ∈（０，π／２），ｔ为常数）的最值，文［１］用与［２］定理对偶的一个不等式，研讨了ｔ＝－ｎ（ｎ∈Ｎ），ｎ（ｎ≥３...     

用方程“asinx bcosx=c”有解的条件解题

三角方程ａｓｉｎｘ＋ｂｃｏｓｘ＝ｃ有解的充要条件是ａ２＋ｂ２≥ｃ２．事实上,原方程可化成ｓｉｎｘａａ２＋ｂ２＋ｃｏｓｘｂａ２＋ｂ２＝ｃａ２＋ｂ２,即　ｓｉｎ（ｘ＋θ）＝ｃａ２＋ｂ２（其中ｔｇθ＝ｂａ）．由于｜ｓｉｎ（ｘ＋θ）｜≤１　知ｃａ２＋ｂ２≤１,即得ａ２＋ｂ２≥ｃ２．显见其逆亦真．利用此结论有时可简捷地解答一些类型的问题．例１　若关于ｘ的方程３＋２ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ１＋２ｓｉｎｘ＋３ｃｏｓｘ＝ｋ恒有实数解,求实数ｋ的取值范围．解　原方程可整理成（３ｋ－１）ｃｏｓｘ＋（２ｋ－２）ｓｉｎｘ＝３…     

求f(x)的若干方法

换元法例１已知ｆ（ｓｉｎｘ－１）＝ｃｏｓ２ｘ＋２,求ｆ（ｘ）．解设ｓｉｎｘ－１＝ｔ,∴ｓｉｎｘ＝ｔ＋１（－２≤ｔ≤０）,则ｃｏｓ２ｘ＝１－ｓｉｎ２ｘ＝１－（ｔ＋１）２,∴ｆ（ｔ）＝１－（ｔ＋１）２＋２（－２≤ｔ≤０）,∴ｆ（ｘ）＝－ｘ２－２ｘ＋２（－...     

1999年全国高中联赛第三题的简解

题目　已知当ｘ∈［０,１］时,不等式ｘ２ｃｏｓθ－ｘ（１－ｘ）＋（１－ｘ）２ｓｉｎθ＞０恒成立,试求θ的取值范围．这是１９９９年全国高中数学联合竞赛试题第三题,下面给出一种有别于“标准答案”的简单解法．解　若对一切ｘ∈［０,１］,恒有ｆ（ｘ）＝ｘ２ｃｏｓθ－ｘ（１－ｘ）＋（１－ｘ）２ｓｉｎθ＞０,则　ｓｉｎθ＝ｆ（０）＞０,ｃｏｓθ＝ｆ（１）＞０,∴　２ｋπ＜θ＜２ｋπ＋π２,ｋ∈Ｚ．（１）又　ｆ（ｘ）＝（１＋ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ）ｘ２－（１＋２ｓｉｎθ）ｘ＋ｓｉｎθ＝（１＋ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ）［…     

一道不等式题的简捷证明

题　已知二次函数ｆ（ｘ）＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ,当－１≤ｘ≤１时,有－１≤ｆ（ｘ）≤１．求证：当－２≤ｘ≤２时,有　－７≤ｆ（ｘ）≤７．这是文［１］例３,原给出的证明较繁,现简证如下．证明　∵　ｆ（１）＝ａ＋ｂ＋ｃ,ｆ（０）＝ｃ,ｆ（－１）＝ａ－ｂ＋ｃ,∴　２ａ＝ｆ（１）＋ｆ（－１）－２ｆ（０）,∴　｜２ａ｜≤｜ｆ（１）｜＋｜ｆ（－１）｜＋２｜ｆ（０）｜≤１＋１＋２＝４,且　｜ｃ｜＝｜ｆ（０）｜≤１．若ｘ∈［－２,２］,则　ｘ′＝ｘ２∈［－１,１］,于是可得　｜ｆ（ｘ）｜＝｜ｆ（２ｘ′）｜＝｜２ｆ（…     

谈反三角方程的解

众所周知含有未知数的等式叫做方程,含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程,同样地,我们把含有未知数的反三角函数的方程叫做反三角方程,解方程就是要求出适合方程中未知数的一切值或指出它无解;本文就一些简单反三角方程的解谈一些看法;一、最简单反三角方程即方程ａｒｃｓｉｎｘ＝ａ,ａｒｃｃｏｓｘ＝ｂ,ａｒｃｔｇｘ＝ｃ和ａｒｃｃｔｇｘ＝ｄ,其中ｘ为未知数,它们也是最基本的反三角方程;根据反三角函数的定义可知,当ａ∈－π２,π２或［－９０°,９０°］,ｂ∈［０,π］或［０°,１８０°］,ｃ∈－π２,π２或（－…     

ANALYSIS OF THE PERIODIC VOLTERRA PREDATOR-PREY MODEL WITH UNDERCROWDING EFFECT

１ＩｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎＴｈｅｓｏｃａｌｅｄＶｏｌｔｅｒａｐｒａｄａｔｏｒ－ｐｒｅｙｍｏｄｅｌｗｉｔｈｕｎｄｅｒｃｒｏｗｄｉｎｇｅｆｅｃｔ［１］ｉｓａｓｙｓｔｅｍｉｎｔｈｅｆｏｒｍｏｆｘ＝ａｘ（ｘ－Ｌ）（ｋ－ｘ）－ｂｘｙ，ｙ＝－ｃｙ＋ｄｘｙ－αｙ２...     

作一种数形转化解一类三角问题

作一种数形转化解一类三角问题王仕维（重庆市兼善中学６３０７００）当θ∈［θ１，θ２］且０＜θ２－θ１＜２π时，如何求函数ｆ（θ）＝ａｃｏｓθ＋ｂｓｉｎθ的值域，这似乎是一个常见而且简单的问题，将其化为ｆ（θ）＝利用θ＋ψ的范围及正弦函数的单调性便可解...     

Notes on Oscillation of Solution for aCertain Second Order Neutral Equation

Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｗｅｃｏｎｓｉｄｅｒｏｓｃｉｌｌａｔｏｒｙｏｆｅｑｕａｔｉｏｎ（１）［ｘ（ｔ）＋ｃｘ（ｔ－τ）］″＋∫ｂａｐ（ｔ，ξ）ｘ［ｇ（ｔ，ξ）］ｄσ（ξ）＝０，（１）ｗｈｅｒｅτ０；ｐ（ｔ，ξ），ｇ（ｔ，ξ）∈Ｃ（［ｔ０，＋∞）×［ａ，ｂ］，Ｒ）；ｇ（ｔ，ξ）ｔ，ξ∈［ａ，ｂ］；ｇ（ｔ，ξ）ａｒｅｎｏｎ－ｄｅｃｒｅａｓｉｎｇｗｉｔｈｔｏｔ，ξ，ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙａｎｄｌｉｍｔ→＋∞ｍｉｎξ∈［ａ，ｂ］｛ｇ（ｔ，ξ）｝＝＋∞，σ（ξ）∈（［ａ，ｂ］，Ｒ）ｉｓｎｏｎｄｅｃｒ…     

Boundedness of the Maximal Operator on Lipα（R^n）（0〈α〈1）

§１．　ＩｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎＡｌｏｃａｌｌｙｉｎｔｅｇｒａｂｌｅｆｕｎｃｔｉｏｎｆ（ｘ）ｂｅｌｏｎｇｓｔｏＬｉｐα（Ｒｎ）,ｉｆｔｈｅｒｅｉｓａｃｏｎｓｔａｎｔＣ,ｓｕｃｈｔｈａｔｆｏｒｅｖｅｒｙｘ,ｙ∈Ｒｎ｜ｆ（ｘ）－ｆ（ｙ）｜≤Ｃ｜ｘ－ｙ｜α　　ＴｈｅｓｍａｌｌｅｓｔｃｏｎｓｔａｎｔＣｓａｔｉｓｆｉｅｓａｂｏｖｅｉｓｃａｌｌｅｄＬｉｐｓｃｈｉｔｚｎｏｒｍｏｆｆａｎｄｉｓｄｅｎｏｔｅｄｂｙｙｆｙ∧α．Ｂｙ［１］,ｆ∈Ｌｉｐα（Ｒｎ）ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔｔｏｆ∈εα,２,ｗｈｅｒｅεα,２＝…     

与反函数有关的几个对称问题

由高中《代数》（上册）互为反函数的性质知：互为反函数的两个函数ｙ＝ｆ（ｘ）与ｙ＝ｆ－１（ｘ）的图象关于直线ｙ＝ｘ对称．那么函数ｙ＝ｆ（ｘ＋１）与函数ｙ＝ｆ－１（ｘ＋１）的图象是否也关于直线ｙ＝ｘ对称？它们之间到底有何关系？本文从函数图象入手,探讨与之有关的几个问题：定理１　若函数ｙ＝ｆ（ｘ）的反函数为ｙ＝ｆ－１（ｘ）,则函数ｙ＝ｆ（ｘ＋ｃ）（ｃ∈Ｒ）与ｙ＝ｆ－１（ｘ＋ｃ）的图象关于直线ｙ＝ｘ＋ｃ对称．证明　设Ｐ（ａ,ｂ）是函数ｙ＝ｆ（ｘ＋ｃ）上任意一点,则　　　　　　ｂ＝ｆ（ａ＋ｃ）①而点Ｐ（ａ…     

复合函数的性质及应用

复合函数这一概念,现行高中课本未直接定义．而复合函数的应用实例,在现行高中课本《代数》上册（以下简称课本）中大量出现．如　ｙ＝ｌｏｇ０．５（４ｘ－３）（课本Ｐ１００）;ｙ＝１６－５ｘ－ｘ２（课本Ｐ１０８）;ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ）（课本Ｐ１７８）;ｙ＝ｓｉｎ（ａｒｃｓｉｎｘ）（课本Ｐ３００）．在全国高考数学试题中,复合函数的应用问题成为命题热点．本文试对复合命题的性质作点介绍．设ｙ＝ｆ（ｕ）,ｕ＝ｇ（ｘ）,则ｙ＝ｆ［ｇ（ｘ）］为复合函数．根据函数单调性的定义,容易得出下列结论．（１）若ｙ＝ｆ（ｕ…     

用αsinx＋bcosx＝c有解的条件探求高考试题

用aｓｉｎｘ＋ｂｃｏｓｘ＝ｃ有解的条件探求高考试题杜楚琼，陈建军（湖南邵东八中）高中《代数》上册第２３６页中指出：形如ａｓｉｎｘ＋ｂｃｏｓｘ＝ｃ的三角方程（ａ、ｂ不同时为零）有解的条件是我们不妨把△＝ａ２＋ｂ２－ｃ２称为上述三角方程的判别式．那么ａ２?..     

二次分式函数的值域及检验

设二次分式函数ｙ＝ａ１ｘ２＋ｂ１ｘ＋ｃ１ａ２ｘ２＋ｂ２ｘ＋ｃ２①其中ａ１,ａ２,ｂ１,ｂ２,ｃ１,ｃ２∈Ｒ．如何求函数的值域Ａ？若令ｆ（ｘ）＝ａ１ｘ２＋ｂ１ｘ＋ｃ１,ｇ（ｘ）＝ａ２ｘ２＋ｂ２ｘ＋ｃ２,如果ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）存在一次或二次公因式或ａ１,...     

反正弦函数教案(1)

一、教学内容：反正弦函数的定义及简单运算．二、教学目的：①正确理解反正弦函数的定义;②明确ｓｉｎ（ａｒｃｓｉｎｘ）＝ｘ,ｘ∈［－１,１］,ａｒｃｓｉｎｘ∈［－π２,π２］的含义;③利用反正弦函数定义解决有关问题;④通过反正弦函数定义的学习,让学生在实...     

抽象函数关系给出的对称性与周期性

命题１设函数ｙ＝ｆ（ｘ）的定义域为Ｒ,且满足条件ｆ（ａ＋ｘ）＝ｆ（ｂ－ｘ）,则函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图象关于直线ｘ＝ａ＋ｂ２成轴对称．证明设函数ｙ＝ｆ（ｘ）图象上任一点为Ｐ′（ｘ′,ｙ′）,它关于直线ｘ＝ａ＋ｂ２的对称点为Ｐ（ｘ,ｙ）,则ｘ＝ａ＋ｂ－ｘ′...     

新题征展(1)

Ａ．题组新编１．设函数ｆ（ｘ）＝ｌｇ（ａｘ２－４ｘ＋ａ－３）．（１）若ｆ（ｘ）的定义域是Ｒ,则ａ的取值范围是　　;（２）若ｆ（ｘ）的值域是Ｒ,则ａ的取值范围是　　;（３）若ｆ（ｘ）在区间（－４,－１）上递减,则ａ的取值范围是　　．２．设０＜θ＜π．（１）若ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ＝１５,则ｔｇθ＝　　;（２）若ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ＝－１５,则ｔｇθ＝　　;（３）若ｓｉｎθ－ｃｏｓθ＝１５,则ｔｇθ＝　　;（４）若ｓｉｎθ－ｃｏｓθ＝－１５,则ｔｇθ＝　　．３．如图,向高为Ｈ的水瓶（Ａ）、（Ｂ）、（Ｃ）、…     

The Properties of Finitely Generated Shift-invariant Subspace in L_(2π)~2

§１．　ＩｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎＡｔｆｉｒｓｔ,ｗｅｉｎｔｒｏｄｕｃｅｏｕｒｎｏｔａｔｉｏｎｓ．Ｗｅｄｅｎｏｔｅｔｈｅｃｌａｓｓｏｆａｌｌｓｑｕａｒｅ－ｉｎｔｅｇｒａｂｌｅ２π－ｐｅｒｉｏｄｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎｓｂｙＬ２２π,ｔｈａｔｉｓ,Ｌ２２π＝｛ｆ（ｘ）｜ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋２π）,ｘ∈Ｒ,∫２π０｜ｆ（ｘ）｜２ｄｘ＜∞｝．　　Ｆｏｒａｎｙｆ（ｘ）,ｇ（ｘ）∈Ｌ２２π,ｔｈｅｉｎｎｅｒｐｒｏｄｕｃｔ〈ｆ,ｇ〉ｉｓｄｅｆｉｎｅｄａｓ〈ｆ,ｇ〉：＝１２π∫２π０ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ．（１．１）　…     

关于函数f（x）＝sin~mxcos~nx的最值

关于函数ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ~ｍｘｃｏｓ~ｎｘ的最值周晓（四川省旺苍中学）解决某些生产、生活中的实际问题时要遇到求下列函数在（０，）上的最大值的问题：ｙ＝Ｓｉｎｘｃｏｓ２ｘ，ｙ＝ｓｉｎ２ｘｃｏｓｘ，ｙ＝ＳｌｌｌＣＯＳ３Ｓ，ｙ—Ｓｌｌ’ＩＣＯＳＳ，如此等等．...