等价无穷小代换在求极限过程中的应用

等价无穷小代换是一种很灵活的求极限方法。如果用来替换的无穷小选择恰当的话 ,可以使计算简化。但替换中要严格遵守无穷小替换法则 ,即定理 1　在自变量同一变化过程中 ,设 α～ α′,β～ β′,且 limβ′α′存在 ,则 lim βα=limβ′α′证明见 [1 ]。定理 1说明 ,无穷小替换只能在积商运算中使用。其实不然 ,等价无穷小代换也能在多项式无穷小之比时使用。例 1　求 limx→ 0x-sin2 xx+sin2 x解　原式 =limx→ 0x-2 xx+2 x=-13例 2　求 limx→ 0tanx-sinxx3解　原式 =limx→ 0x-xx3=0例 1正确 ,但例 2错误。事实上 ,limx→ 0tanx -sin…     

关于利用等价无穷小代换来求极限的探讨

一、利用等价无穷小代换来求极限的一些容易证明的定理定理1设无穷小量f（x）～（x），且limf（x）·g（x）存在，则这里，（1）无穷小量f（x）～（x），表示f（x）与（x）是当x→x0或x→∞时的等价无穷小；（2）limf（x）表示limf（x）或limf（x）．下同。定理2设无穷小量f（x）～（x），且存在，则由这二个定理可知，一般在乘或除的情况下是可用等价无穷小代换来求极限的。此外在幂指函数求极限中，也常利用等价无穷小代换，这有下面二个定理，这里只证后一个定理。定理3设八x）＞0，无穷小量g（x）～～（x），且tim八x）”“’存在，则定…     

利用Taylor公式选择恰当的等价无穷小

在求函数极限的过程中,利用等价无穷小代换常常会使计算简单,但对形如的极限,若无穷小量有时权限并不相等.这里的关键是与的选取不当．本文着重讨论这种情况下利用Taylor公式选取适当的等价无穷小量作代换保持权限不变．为叙述方便,我们只讨论的情况．同时假定下文中所涉及的都是当时的连续且具有任意阶导数的函数无穷小量,以后不再交代．引理1若引理2若则,这里不全为0引理3若a在处的Taylor展开式（带皮亚诺余项）为（按前面假设,常数项为0）：证明显然,从而实际上,通常我们所用的等价无穷小都是取Tayfor展式的第一个非零项．如…     

极限lim x→＋∞f（x）=0的一个充分条件的探讨

从无穷积分∫＋∞ a f（x）dx收敛与无穷远极限lim x→＋∞f（x）=0之间的关系展开论述,研究在广义积分∫＋∞ a f（x）dx收敛的前提下,无穷远极限lim x→＋∞f（x）=0的一个充分条件．在此基础上,适当减弱条件得到该条件的推广形式,为更好的解决无穷远极限lim x→＋∞f（x）=0的问题提供更一般的方法．     

(1∞)型极限的探讨

(1 ∞ )型的极限是一类很重要的未定型的极限。文 [1 ]给出了求 ( 1 ∞ )型极限的一种方法 ,但是未能揭示其极限存在与否的充要条件 ,本文给出了几个充要条件 ,同时也将第二个重要极限进一步做了推广。定理 1　设α、β是同一变化过程中的两个非零无穷小量 ,则有( 1 ) lim( 1 +α) 1β=ec的充要条件是 α=0 ( β) ,其中 c≠ 0为常数( 2 ) lim( 1 +α) 1β=1的充要条件是　　 α=0 ( β)证明　 ( 1 )　lim( 1 +α) 1β=limeln( 1+α)β =elimln( 1+α)β =elimαβ因为　α=0 (β) limαβ=c( c≠ 0常数 ) ,故知　 ( 1 )式成立。下证 ( 2 )…     

不定式定值法的几点注记

1.等价无穷小代换问题在求0/0型不定式的极限过程中,有时为了方便运算,而进行等价无穷小代换,但当0/0型不定式的分子(或分母)是两个无穷小量相加减时,应如何代换?我们分4种情况来归纳这个问题.1.0/0型不定式的分子(或分母)是两个无穷小量a_1、a_2相加,并且当lim（a_1/a_2）≠-1时,可分别用各自的等价无穷小代换,特别是相加的两项中一项比另一项高阶时,可以删去高阶项(其结果都相当于把分子(或分母)作为整体进行了等价无穷小代换).     

1~∞型不定式中等价无穷小代换

<正> 设α、α′、β、β′γ、γ′为同一极限过程中的远佃小,且有α～α′,β～β′,γ～γ′),试问是否一定有α+β～α′+β′(A)lim (α+β)/γ=lim (α′+β′)/γ′(B)成立?答案是不一定,为此我们可以举出下面的反例,若令α=α′=x,β=-sinx,β′=-x,γ=γ′=x~3,则α+β=x-sinx,α′+β′=0,故(A)不成立,lim (α+β)/γ=1/6,lim (α′+β′)=0,故(B)不成立,但若附加条件lim α/β存在,且     

关于求函数极限的两点注记

本文针对学生在利用等价无穷小求函数极限时出现的常见错误进行较深入的分析，并对教材中较少涉及的一类求极限的方法进行举例说明，旨在拓宽学生的解题思路。主要在于两个方面：（一）如何正确使用等价无穷小求极限，本文给出两个推论。（二）Taylor公式在求极限中的应用。（一）如何正确使用等价无穷小求极限定理设有无穷小量a、尸、a’、尸，且a～al，。～／，timS存在，则有timp一tim4．”—————’“”—“”“——－”‘”－”””———一’”””““”””a，’‘“””“”“““““““”“”al’对于此定理，在积与商的情…     

求0~0型极限在弱条件下的简便方法

利用洛必达法则与等价无穷小代换对抽象函数的00型极限可得结论:设当x→x0时f(x)与g(x)为无穷小,g(x)～(x-x0)β,取k为正实数,使得fk(x)=A(x-x0)α+o[(x-x0)α],其中A0,α≥2,β0为实数,则有limx→x0f(x)g(x)=1.该方法对求常见的00型极限都适用.当使用洛必达法则求li mx→x0f(x)g(x)很复杂时,使用该方法可简化计算.     

利用等价无穷小判定级数敛散性举例

利用比较审敛法的极限形式可知,若sum from n=1 to ∞ (u_n)与sum from n=1 to ∞( v_n)都是正项级数,且n→∞ 时,u_n与v_n为等价无穷小,则sum from n=1 to ∞( u_n)与sum from n=1 to ∞( v_n)有相同敛散性.利用此结论可以不求极限,而用等价无穷小直接判定级数的敛散性.下面举例说明.     

幕指函数极限的一种简捷求法

等价无穷小代换在计算极限中是一种非常有用的方法．特别对幂指函数极限的计算，如能巧妙运用，可使问题变得简明、易解，为此我们介绍以下命题．命题设在自变量的某一变化过程中，均为无穷小量，若且证明由例1求极限解当在以上计算中，我们采用了等价无穷小代换，使问题变得简明、易解，如利用罗必塔法则或其他方法将是很繁锁的，读者不妨一试．有些幂指函数极限，还可用等价无穷小代换并结合重要权限及导数定义等综合求解．例4设存在，试求当时故原式幕指函数极限的一种简捷求法@符世斌$陕西财经学院!西安,710061     

高阶无穷小与低阶无穷小：—无穷小比较的一个问题

一般的微积分教材 ,是这样定义高阶与低阶无穷小的 :设在同一变化过程中 ,α,β是无穷小量 ,若1°　lim βα=0 ,就说 β是比 α高阶的无穷小 ;2°　lim βα=∞ ,就说 β是比 α低阶的无穷小 .对此 ,不少人认为 2°是多余的 ,以为β是比α高阶的无穷小 ,就意味着α是比β低阶的无穷小 ,将 1°、 2°合并为一条 .果真 ,近年来有些高等数学教材 ,就是用 1°一条来定义 β是比 α高阶的无穷小 (或说 α是比 β低阶的无穷小 ) .笔者认为这是值得商榷的 ,因为无穷小的比较 ,首先是指无穷小的比 ,这样 ,β是比α高阶的无穷小未必有α是比β的低阶…     

一类二阶渐近周期微分方程的正同宿轨道

§ 1　IntroductionIn this note we are concerned with the asymptotically periodic second order equation-u″+α( x) u =β( x) uq +γ( x) up,　 x∈ R,( 1 )where1 相似文献   

关于Ueda与Mues的两个结果的注记

得到了若亚纯函数f与g以0，1，∞为CM公共值，且E1）（a，f）=E1）（a，g）≠φ，其中a≠0，1，∞，则f是g的分式线性变换     

对《质疑无穷小比较的一种解释》的质疑

因为混淆了无穷小的“瞬时”速度和它与0的靠近“速度”,所以由此而否定“若α是较β的高阶无穷小,则α比β趋近于0的速度快”的试图是站不住脚的．从导数角度,能够证明无穷小的“瞬时”速度小与无穷小向0的靠近“速度”快之间不仅不是矛盾的,而且还是协调一致的．     

R上向量场的一个几何性质

本文讨论n维空间上的向量场在其奇点附近的几何性质,主要结果如下列定理所述。定理考虑n维微分系统 x=X(x),x∈R~n (E) 设X∈C~1(R~n),X(0)=0,L=DX(0)。 (Ⅰ) 假定0为(E)的双曲奇点,则下列三点等价: (ⅰ) 矩阵L的所有特征根为实数; (ⅱ) 对(E)的任何解X(t)≠0,只要limx(t)=0(当t→ ∞或-∞时),则极限limx(t)/||x(t)||存在; (ⅲ) 对x(E)的任何解x(t)≠0,只要limx(t)=0(当t→ ∞或-∞时),则极限lim(x′(t)/||x′(t)||)存在。 (Ⅱ) 如果L的特征值均为实数且不为零,则有: 当limx(t)=0时,有lim(x(t)/||x(t)||=-lim(x′(t)/||x′(t)||); 当limx(t)=0时,有lim(x(t)/||x(t)||)=lim (x′(t)/||x′(t)||)     

对称QL算法对角元的收敛条件

文[1]指出,在QL算法收敛性讨论中,仅有β_1~(K)→0并不能保证α_1~(k)收敛,并证明在加上条件:|α_1~(k)-σ_k|μ0”后,可确保α_1~(k)趋于T的某个固定特征值。本文首先对QL算法收敛性给出了一个精确的定义,然后给出一个与[1]不同的确保收敛的条件: “若{σ_k}_k=1~∞极限存在且β_i~(k)→0,则有α_i~(k)→λ_i(j=1,2,…,m)”条件“{σ_k}_k=1~∞极限存在”与“α_1~(k)-σ_k|→0”互不包含,在具体应用中,对后者无法判别(如[3]中给出的NS位移)或不成立的某些场合,前者具有独到的优点。     

样本均值幂级数的收敛性

摘要设X_1,X_2,…为iid.,EX_1=0,0相似文献   

关于等价无穷小代换的一个注记

在条件limx xA （x）＝0成立的情况下,等价无穷小关系（1＋ x）α-1～αx和（1＋ x）α-1-αx ～→0α（α-1）2 x2（x →0）中的常数α可被推广至函数A （x）,实例说明推广结论在求极限问题中的应用。     

Galton-Watson过程收敛速率的一个充要条件

假设{Z_n}_(n=0)~∞为一Galton-Watson过程,Asmussen[1]给出了在EZ_1(logZ_1)~(α+1)∞条件下W-W_n=o(n~(-α)),a.s.的结果,这是一个充分条件.本文给出lim sup_(n→∞)n~α|W-W_n|∞,a.s.的充要条件.