关于Sk=1+2k+3k+…+nk的探究

1.递推公式由二项展开式得对i求和上式左边可化为(n+1)k+1-1+Sk+1,从而有(1)由(1)式得递推公式     

关于Minc-Sathre不等式的两个初等证明

H .Minc和L .Sathre利用Stirling公式证明了对一切自然数n ,有nn + 1 nnn ! ( 2 )　　当n =1时 ,不等式 ( 2 )显然成立 .假设当n =k(k≥ 1 )时 ,( 2 )成立 ,即( 1 + 1k) k2 >kkk ! .　　根据数学归纳法只须证明( 1 + 1k+ 1 ) (k+1) 2 >(k+ 1 ) k+1(k+ 1 ) ! .　　利用不等式( 1 + 1k + 1 ) (k+1) >( 1 + 1k) k和归纳假设 ,我们得到　 ( 1 + 1k + 1 ) (k +1) 2 >( 1 + 1k) k(k +1)=( 1 + 1k…     

(G~(k+1)/G~k)展开法以及KdV方程的行波解（英文）

本文中,(G(k+1)/G(k))展开法被首次提出,其中k为非负整数,并且G=G(ξ)满足k+2阶常系数齐次线性微分方程(LODE),同时给出表达式(G(k+1)/G(k))的解析公式,并由此得到非线性发展方程的双曲函数解、有理函数解及三角函数周期解,最后给出一个利用(G(k+1)/G(k))展开法求解KdV方程的实例.     

妙用公式ab=((a+b)/2)~2-((a-b)/2)~2

在平方差公式x2-y2=(x+y)(x-y)中,令x=(a+b)/2,y=(a-b)/2,便可得到公式ab=(a+b/2)2-(a-b/2)2,运用此公式,可巧解国内外一组竞赛题.例1 正数a,b,c,x,y,z,满足a+x=b+y=c+z=k,求证:ax+by+cz相似文献   

组合理论中的一个丢番图方程

本文给出了在组合理论中遇到的以下丢番图方程k2 =k+λ(v- 1 ) ,0 <λ 相似文献   

直线方程x=my+a的重要功能

解析几何中关于直线过x轴上定点(a,0)的问题,一般同学都用常规的点斜式法设直线方程为y=k(x-a).这种设法会使运算较为繁琐,有时还会陷入僵局.例1　已知过定点P(2,0)的直线l交抛物线y2=4x于A、B两点,求△AOB(O为坐标原点)面积的最小值.图1解　设直线y=k(x-2)与抛物线方程y2=4x联立,　　y=k(x-2)y2=4x(1)(2)消去y得k2x2-4(k2 1)x 4k2=0.(3)因为　S△AOB=12|OC|.|AB|,而　|AB|=|x1-x2|k2 1=42k2 1k2k2 1,　　|OC|=|2k|k2 1,(这里运算量很大,中间过程已省略)所以　S△AOB=12.42k2 1k2k2 1.|2k|k2 1=42k2 1|k|=42 1k2→42.我们发现达不…     

黎曼ζ函數的一種推廣——Ⅲ.Z_(n,k)(s)的均值公式

<正> 本篇的目的就是要為Z_(n,k)(s)建立類似的公式. 當σ>kν時我們很容易為Z_(n,k)(s)建立類似(1.1)的公式,在這種情形下,我們可以把Z_(n,k)(s)表成絕對收斂級數的和:     

一类隐式的k+1阶线性k步法

本文首先给出了一类比Adams-Moulton方法的绝对稳定区间大的隐式k+1阶线性k步法基本公式.求出了3-9步新公式的分数形式的精确系数,阶数,局部截断误差主项系数和绝对稳定区间,然后构造了由4阶隐式新公式和同阶显式Nyström公式组合而成的预估-校正方法,比著名的Adams-Bashforth-Moulton和Nyström-Adams-Moulton预估校正方法的绝对稳定区间大,最后用对比数值试验对结果进行了验证.     

Ramanujan公式与Riemann Zeta函数在正奇数点上的值

在Ramanujan的“Notebooks”[1]中,有以下包含Zeta函数在奇数点上的值的两个公式:其中Bi是Bernoulli数,正数α,β满足条件αβ=π~2,Σ′表示当k是奇数2m—1时,最后一项应是(—1)~mπ~(2m)B_(2m)~2/(m！)~2. Hardy[2]证明了公式(A).1972年E.Grosswald[3]证明了公式(B).在此以前,E.Grosswald[4]还给出了ζ(2k+1)的一个表达式. 本文的目的是:(1)用Hardy证明公式(A)的方法证明公式(B);(2)用Siegel证明Dedekind函数方程的方法[5]简便地证明公式(B);(3)由公式(B)导出ζ(2k+1)的表达式,并在此过程中得出一些其他关系式.     

复Grassmann流形中的全纯2-球面

研究复Grassmann流形G(k ,n)中的全纯 2 球面S² ,导出了广义Frenet公式和广义Plücker公式.利用这些公式得到一些曲率pinching定理.还给出了G(k ,n)中Einstein全纯S² 的结构定理.     

p(2+ap+bp~2)阶单群

<正> 洪加威在[1]中指出,对任一正整数 n,确定阶为 p(kp+1)(kp+2),(k≤n)的单群的工作是能在有限步之内完成的.事实上,他证明了:定理 对每个正整数 n,存在一个整数 m,使得对任意正整数k≤n,素数 p≥m,p(kp+1)(kp+2)阶的单群必同构于 LF(2,p+1)或 LF(2,2p+1).     

渐近A稳定的线性多步法

本文主要结果为: 1.构造了一类k步k+1阶隐式线性多步公式,它们是渐近A稳定的。 2.构造了一类k步k阶隐式线性多步公式,它们是stiff稳定且是渐近A稳定的。 3.构造了一类k步k—1阶显式线性多步公式,它们是渐近A稳定的。k为任意正整数。     

有限域上一类方程组的解数公式

设F_q为一个q元有限域,其中q=p~s(s≥1),p是一个奇素数.本文给出下列方程组在F_q上的解数公式:a_(k1)x_1~(d_(11)~((k)))...x_(n_1)~(d_(1n_1)~((k)))+...+a_(k,s_1)x_1~(d_(s_1,1)~((k)))...x_(n_1)~(d_(s_1,n_1)~((k)))+a_(k,s_1)+1x_1~(d_(s_1+1,1)~((k)))...x_(n_2)~(d_(s_1+1,n_2)~((k)))+...a_(k,s_2)x_1~(d_(s_2,1)~((k)))...x_(n_2)~(d_(s_2,1)~((k)))...x_(n_2)~(d_(s_2,n_2)~((k)))=b_k,k=1,...,m,其中0s_1s_2,0n_1n_2,a_(ki)∈F_q~*,b_k∈F_q,d_(ij)~(k)0(k=l,...,m,i=1,...,s_2,j=1,...,n_2).特别当ms_1≤n_1,ms_2≤n_2,d_(ij)~(k)满足一定条件时,得到了明确的解数公式.     

一个除数问题

<正> 令 d_k(n)记将 n 表成 k 个因子之积的表法的数目.则有渐近公式于此,P_k(In x)为 In x 之一(k—1)次多项式,为(?)在极点s=1号的残数,而对某一α成立.设 k 固定,令 α_k 为使上式成立之 α 的下确界,则有     

三个极限公式的研究及其应用

首先给出了(∑ from k=1 to n (a_k~f(x)-n))/f(x)的极限公式,进而又给出了[∑ from k=1 to n (a_k~f(x)-(n-1))]~1/f(x)的极限公式,同时也得到了(1/n∑ from k=1 to n a_k~f(x))~1/f(x)的根限公式,从而,可应用公式求三种类型的极限,使求极限公式化     

用表格求自然数方冪和的公式

关于一系列的自然数方幂的和的公式,若利用下面的式子 (m 1)~(k 1)-m(k 1)=c_k~1m~k C_k~2m~(k-1) … 1可以求出和 S_k=1~k 2~k … n~k的递推公式。当k=1,2,…,就可以得到和S_1,S_2…的求和公式。此外,还可以利用表格来求出一系列的自然数方     

多重Hurwitz-zeta值的Euler型恒等式算法北大核心CSCD

设t(s_1,s_2,…,s_k)是与Hurwitz-zeta函数ζ(s_1,s_2,…,s_k;—1/2,—1/2,…,—1/2)相联系的多重级数.对正整数n>k>1,定义T(2n,k)为权重为2n,长度为k且每个s_i为偶数的所有t(s_1,s_2,…,s_k)的和.本文首先利用Granville所提出的交换求和次序方法将T(2n,k)的计算转化为简单级数求和问题,再建立起一元生成函数并给出一个计算T(2n,k)的递归方法,最后利用Bessel函数的性质,建立起T(2n,k)的直接公式.     

或然误差与标准差的函数关系及其级数表达

对于服从正态分布的随机变量,其或然误差ρ与标准差σ存在比例关系ρ=kσ或σ=k′ρ.其比例系数k或k′一般通过查表得到,精度有限,不能满足高精度应用要求.以级数反演理论为基础,推导出比例系数k及k'的级数展开表达式,在此基础上,进一步推导得到k及k'与正态分布误差函数之逆函数erf~(-1)的函数关系:k=1/k'=2~(1/2)erf~(-1)(1/2).数值验算表明推导公式正确,形式简洁.实际应用中,由公式可以得到任意精度水平的k值及k'值,根据需要对级数的展开项数进行取舍,以满足不同精度需求.     

关于Euler常数的一个不等式

利用Γ函数的对数微商的渐近公式,我们建立了下面双边不等式:12n+∑2p+1k=1(-1)kBk2kn2k<∑nk=11k-lnn-γ<12n+∑2pk=1(-1)kBk2kn2k,这里γ=0.57721566…是Euler常数,Bk(k=1,2,…)是Bernoulli数,p0和n1是整数.     

关于调和级数部分和的估计

本文利用 Bernoulli 数给出可以精确到任意 O(1/n~(2k))阶的 Euler 公式,即对任意自然数 k,总有(?)1/m=C+(?)nn+1/(2n)-((?)B_(2(?)))/(2i)·1/(n~(2(?)))+O(1/(n~(2(k+1)))其中,B_(2(?))(i=1,2,3,…)为 Bernoulli 数,C 为 Euler 常数.