除數問題(Ⅰ)

<正> 設dk(n)是n分解為k個因子的數目,設 R_k(x)=(a_(k,0)+a_(k,1)ln x +…+a_(k,k-1)ln~(k-1)x)x (x>0)是ζ~k(s)x~s/s在s=1的留数。定義 △_k(x)=D_k(x)-R_k(x). 當n=2時,下列的公式是大家熟悉的(參看[1]):     

組合算法中的一對互逆公式及其應用

在這裹我們來介紹一對異常簡單的互逆公式(或稱反轉公式),就其性質來講,甚至此初等數論中的(?)公式還要简單些。公式的證明亦只用到初等代數裏的一些组合算法的知識。 設f(k),g(k)都代表任意的函數,其中的變數k只取非負整數值:k=0,1,2,3,…。又以(n/k)表示二項展開式的係數,當k>n時,共值規定為零,我們所要介紹的互逆公式便是:     

Frobenius数的若干计算公式

在本文中,我们得到了 Frobenius 数φ(n,n+d,…,n+kd,n+(k+s)d)(01,s≥k-1)的计算公式。前一公式中 d=1,k=2,s=2,3,4时的特例即为 Dulmage 和 Mendelsohn 用图论方法所得,并且认为不可能用图论方法以外的其他方法直接得到的三个 Frobenius 数的计算公式。我们还推广了 Roberts 的公式而得到了任一缺项算术序列的 Frobenius 数的计算公式。     

黎曼ζ函數的一種推廣—Ⅱ.Z_(n,k)(s)的階

<正> 一.引論 在σ≤kν—ν的情形下,要想估計當t→∞時Z_(n,k)(s)的階是比較困難的.本篇的目的就是要證明:當A_1<σ相似文献   

除數問题(Ⅲ)

<正> 設d_k(n)是n分解為k個因子的數目,設 R_k(x)=(a_(k,0)+a_(k,1)ln x +…+a_(k,k-1)ln~(k-1)x)x(x>0)是ξ~k(s)x~s/s在s=1的留數.定義△_k(x)=D_k(x)-R_k(x).設σ_k真是使估計式     

地图着色定理与图的曲面嵌入(Ⅳ)

<正> 1.n≡3(mod 12),即n=12s+3,s≥0.s=0,不足道。s≥1.用第三类电流图Z_(12s+3)(Ⅲ),如图14.1.     

除數問題(Ⅱ)

<正> 設d_k(n)是n分解為k個因子的數目,設 R_k(x)=(a_(ko)+a_(k1) ln x +…+a_(k,k-1) ln~(k-1)x)x (x>0)是ζ~k(s)x~s/s在s=1的留数.定義△_k(x)=D_k(x)-R_k(x).本文目的在於證明下面的結果.     

積分∫F(x,y,y′,…,y~((n)))dx的等價問题

<正> 命g為x,y平面上由所有保切變換所構成的羣。在本文內我們將定義一類廣義空間使這空間與積分∫F(x,y,y′,…y~((n)))dx對於羣g而言有不變的聯繫。所謂一空間對於羣g而言與積分∫Fdx有不變的聯繫,意義是:如我們施用羣g     

地图着色定理与图的曲面嵌入(Ⅲ)

<正> 用Z_(12s+6)(I)带附加条件 d3,若在一个次为3的顶点处有三个字母,如a,b,c,则各边流入的电流只能mod 3余1或2.而且,三个流入电流之和是Z_(12s+6)的由3的倍数形成的子群的生成元. 先构造一个梳图Γ_(2s+1).然后,通过结构变换把它变为Z_(12s+6)(I)的中心部分.最后,添上首尾部分.     

三角形等心的寶藏(續)

五§10.三角形中有所謂類似中綫,這是我們所熟知的,類似中綫被三角形的外接圓所截的部分,我們特别稱它為類似弦。設作△ABC的類似弦AD,則ABDC稱為調和四邊形,因為用外接圓上任一點為反演中心而施行反演法,可以把這四邊形的頂點反演為調和點列的原故。這些知識,下面將要用及,希望讀者在前面所舉的書籍中參考一下。定理 I、I_1、I_2、I_3為△ABC的四等心,設將(?)倍增為(?)又各作(?)IBC、ICA、IAB的一類似弦IK_1、IK_2、IK_3,則A′、B′、C′、I_1、I_2、I_3、K_1、K_2、K_3九點共圓。餘類推。 (證) 因為I是△I_1I_2I_3的垂心,所以(?)     

关于一类中心循环的有限P-群的自同构群

确定了一类中心循环的有限p-群G的自同构群.设G=X_3(p~m)~(*n)*Z_(p~(m+r)),其中m≥1,n≥1和r≥0,并且X_3(p~m)=x,y|x~(p~m)=y~(p~m)=1,[x,y]~(p~m)=1,[x,[x,y]]=[y,[x,y]]=1.Aut_nG表示Aut G中平凡地作用在N上的元素形成的正规子群,其中G'≤N≤ζG,|N|=p~(m+s),0≤s≤r,则(i)如果p是一个奇素数,那么AutG/Aut_nG≌Z_(p~((m+s-1)(p-1))),Aut_nG/InnG≌Sp(2n,Z_(p~m))×Z_(p~(r-s)).(ii)如果p=2,那么AutG/Aut_nG≌H,其中H=1(当m+s=1时)或者Z_(2~(m+s-2))×Z_2(当m+s≥2时).进一步地,Aut_nG/InnG≌K×L,其中K=Sp(2n,Z_(2~m))(当r0时)或者O(2n,Z_(2~m))(当r=0时),L=Z_(2~(r-1))×Z_2(当m=1,s=0,r≥1时)或者Z_(2~(r-s)).     

概周期线性系统与指数型二分法(英文)

本文讨论概周期线性系统具有指数型二分法与它的特征指数的关系。 考虑线性系统 dx/dt=A(t)x.其中A(t)是n×n方阵,它在实轴上连续和有界。如果(1)有基本方阵X(t),具有如下的分解 X(t)=X_1(t)+X_2(t),X~(-1)(s)=Z_1(s)+Z_2(s), X(t)X~(-1)(s)=X_1(t)Z_1(s)+X_2(t)Z_2(s). 同时有常数α,β>0,使 ‖X_1(t)Z_1(s)‖≤βexp(-α(t-s)),t≥S; ‖X_2(t)Z_2(s)‖≤βexp(α(t-s)),s≥t。就说(1)具有指数型二分法。 我们所得的结果,可叙述如下: 一、对拟周期线性系统,存在同频率的酉变换,把它化为三角型系统。从而推出: 若拟周期线性系统的特征指数异于零,则它具有指数型二分法。 二、对概周期线性系统。定义了广义的零特征指数。当它不具有广义的零特征指数,则该系统具有指数型二分法。 三、利用一和二的结果,解决了Hale所提的关于中心积分流形的存在性问题。     

“重複組合定理”的另一證明

范氏代數學§772,關於重複組合有定理如下:n個不同文字中取r個許重複的組合共有C_r~(n+r-1)個;現在我們用歸納法來證明它: 1.n=1時,定理顯然成立。 2.文字個數為n-1時,假設定理成立。 3.在n個文字中,取r個許重複的全部組合可分類如下: 1)不含某一特殊文字如a的:這顯然為n-1個文字中,取r個許重複的組合。由2,這種組合共有a_r~(n-1+r-1)=c_r~(n+r-2)個。     

論Понтрягин示性類Ⅴ

<正> 本文是這系列著作中Ⅱ的一個補充.在Ⅱ中(參閱Ⅱ的更正)我們證明了可微分閉流形的某些示性類特別是法3示性類的拓撲不變性.它的證明是隱合的(implicit).本文目的在進一步求得這些示性類用流形同調構造來表示的顧谿(explicit)公式,使我們能就任意可定向的可微分閉流形的這些示性類進行具體的計算.特別可以獲得下述結果:     

某些实二次曲面的示性类

<正> 前言 对于任意微分流形M,可定义Stiefe-Whitney示性类W~i(M)∈H~i(M,Z_2)与示性类P~(4k)(M)∈H~(4k)(M).对于任意复流形M,則可定义陈省身示性类C~(2i)(M),这时視M为实微分流形时,W~i(M)与P~(4k)(M)都可自C~(2i)(M)定出(見[8]).一些重要流形的示性类的具体計算虽原則上有一般方法,但并不簡单,其巳知者就作者所知犹如下述:     

自然數的平方和

自然數列中,前n個數的平方和的公式,是大家都熟悉的,我們還可以這樣地導出此公式。取兩個互相垂直的直線OA和OB,選取任意的線段為單位長,並且在横軸OA上,從點O開始相繼地截出線段1,2,3,4,…,n(圖1)。在縱軸OB上,截出一個等於1的線段,然後再截出n-1個線段,每個線段的長邵等於2/3。通過諾分割點我們引平行於軸的直線,一直到它們的交點為止,於是我們得到邊長為1的正方形和n-1個六角形,這些六角形的面積相繼地表示前面的自然數的平方。 證明:上面的命題很容易證明,命六角形MNTPQR的邊MN等於k,已知RS‖OB,我們得到面積MNTPQR=面積MNTS+面積RSPQ,     

一个奇素數定理

定理:如果2n+1是一个素數,那么,它必定是2~n+1或2~n-1的約數;当[n+(1/2)]是奇數時取正号,反之取負号。 証明:我們只要作出一个整係數方程,滿足下面三个条件,問題就解决了。 1) 2n+1是方程的根。 2) 常數項有約數2~n+1(或2~n-1)。 3) 常數項其他素約數与2n+1互素。 現在我們就來作这个整係數方程。当[(n+1)/2]是奇數時,我們給出方程:(x-2)(x-4)…(x-2n)= =-(x-4)(x-8)…(x-4n)。方程的常數項等於士2~n(2~n+1)n!,条件2),3)顯然滿足。以2n+1代入,我們还需要証明等式 multiply from k=1 to n (2n+1-2k)=-multiply from i=1 to n (2n+1-4i)对应於k的偶數值,我們取i=k/2,就有     

二面体群的增广商群

记整群环ZG的增广理想△(G)的n次幂为△~n(G).描述了二面体群G=D_2t_r(t≥2,r为奇数)的n-次增广商群Q_n(G)=△n(G)/△~(n+1)(G)的结构,并得到Q_n(D_2t_r)≌Z_2~((s(n))),其中,如果1≤n≤t,那么s(n)=2n;如果n≥t+1,那么s(n)=2t+1.     

级数S_k(n)=sum from p=1 to n p~(k-1)的计算与分解

<正> 1.前言关于级数 S_k(n) 的计算,国内外已有很多方法,一般说,当 k>6时,计算都比较复杂.1984年金治明利用(?)变换给出了一个通式,但实际计算时只能对给定的 k 与 n求 sum from p=1 to n p~k.陈景润给了另一种方法,推得了从 S_2(n) 到 S_(11)(n)的分解公式,使求值大为简化,但如继续推 S_(12)(n),S_(13)(n),…,计算量将会急剧增大.本文给出一个比较简便易记的递推法(定理1),并受陈景润所得结论的启示,证明 S_k(n) 的分解式对任意正整数k≥3成立(定理2).     

關於獨立機變數之和的漸近展式

<正> §1.引言 令{X_k},k=1,2,…,n,…為一敍列互相獨立的機變数,各具有有限的变差σ_k~2.我們可以假設每個X_k的數學期望都是0,這樣並不失去普遍性.令