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| Ramanujan公式与Riemann Zeta函数在正奇数点上的值 | |
| 引用本文： | 张南岳.Ramanujan公式与Riemann Zeta函数在正奇数点上的值[J].数学进展,1983(1). |
| 作者姓名： | 张南岳 |
| 作者单位： | 北京大学 |
| 摘 要： | 在Ramanujan的“Notebooks”1]中,有以下包含Zeta函数在奇数点上的值的两个公式:其中Bi是Bernoulli数,正数α,β满足条件αβ=π~2,Σ′表示当k是奇数2m—1时,最后一项应是(—1)~mπ~(2m)B_(2m)~2/(m！)~2. Hardy2]证明了公式(A).1972年E.Grosswald3]证明了公式(B).在此以前,E.Grosswald4]还给出了ζ(2k+1)的一个表达式. 本文的目的是:(1)用Hardy证明公式(A)的方法证明公式(B);(2)用Siegel证明Dedekind函数方程的方法5]简便地证明公式(B);(3)由公式(B)导出ζ(2k+1)的表达式,并在此过程中得出一些其他关系式. |
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