让解题思路来得更自然一些——一道高中数学联赛试题引起的思考

1999年全国高中数学联赛的第五大题为:给定正整数n和正数M,对于满足条件　　　　　a21+a2n+1≤M(1)的所有等差数列a1,a2,…,试求S=an+1+an+2+…+a2n+1的最大值.这是一个关于数列、不等式和极值等知识的综合性题,着重考查学生综合应用知识的能力.下面是命题组提供的解答:解法1(配方法)　设公差为d,an+1=a,则　　S=an+1+an+2+…+a2n+1=(n+1)a+n(n+1)2d,故有　　　a+nd2=Sn+1.于是　M≥a21+a2n+1=(a-nd)2+a2=410(a+nd2)2+110(4a-3nd)2≥410(Sn+1)2.(2)因此　|S|≤102(n+1)M,且当a=310M,d=4101nM时,S=(n+1)[310M+n24101nM]=(n+1)510M=102(n+1)M,且由于此时4a=3nd,故a21+a2n+1=410(Sn+1)2=410.104M=M.所以　S的最大值为102(n+1)M.显然,解法1不失为一种“优美”的解答,它所用到的凑配技巧确实构思精巧,解法独特,充分体现了(凑)配方技术的魅力和解题技巧性的高明.可以说,将(1)式凑配为(...     

不要被恒成立问题中的“或”迷惑

例1(2007年江苏省南通市高三联考题,由上海2001春季高考试题改编)已知{an}是首项为2,公比为12的等比数列,Sn为它的前n项和.(1)用Sn表示Sn+1;(2)对于任意的正整数k及正数c(c≤3)都有Sk+1-cSk-c<2成立,求c的取值范围.错解(参考答案提供的解法)∵Sn=21-21n1-21=41-21n,∴Sn+1=12Sn+2·由SSkk+1--cc<2,可得cc--44--2264kk>0,∵4-62k<4-24k,∴c>4-24k≤[2,4)恒成立,或c<4-62k∈[1,4)恒成立,得c≥4或c<4-26kmin=1,又∵00,∵4-26k<4-24k,∴(1)k=1时,c<1或c>2,由于03,由于072,由于0     

2004年第五期初中数学问题参考解答

一、求证 :f(n) =an + 2 +(a +1 ) 2n + 1被a2 +a +1整除 ,其中a是整数 ,n是自然数 .证明 :( 1 )当n =0时 ,f( 0 ) =a2 +(a +1 ) =a2 +a+1能被a2 +a +1整除 .( 2 )假设当n =k时 ,f(k) =ak+ 2 +(a +1 ) 2k+ 1能被a2 +a +1整除 .当n =k +1时 ,有f(k +1 ) =ak+ 3 +(a +1 ) 2 (k + 1) + 1=a·ak + 2 +(a+1 ) 2k+ 1·(a+1 ) 2=a·ak+ 2 +a2 ·(a +1 ) 2k + 1+2a·(a +1 ) 2k+ 1+(a+1 ) 2k + 1=[a·ak+ 2 +a·(a +1 ) 2k+ 1]+[a2 (a +1 ) 2k+ 1+a·(a +1 ) 2k + 1+(a+1 ) 2k+ 1]=a[ak + 2 +(a+1 ) 2k + 1]+(a +1 ) 2k + 1·(a2 +a +1 ) .∵a是整数…     

自正则Chung型重对数律的精确渐近性

设X,X1,X2,…为零均值、非退化、吸引域为正态吸引场的独立同分布随机变量序列.记Sn=n∑j=1Xj,Mn=maxk≤n|Sk|,V2n=n∑j=1X2j,n≥1.证明了当b＞-1时,limε↗∞ε-2(b+1)∞∑n=1(loglogn)b/nlognP(Mn/Vn≤ε√π2/8loglogn)=4/πΓ(b+1)∞∑k=0(-1)k/(2k+1)2b+3.     

关于多项式系数的整除性

设 n是正整数 ,k1 ,k2 ,… ,ks 是适合 k1 +k2 +… +ks=n的非负整数 ,正整数 nk1 k2 … ks=n!k1 !k2 !… ks!称为多项式系数 .本文讨论了当n=a0 +a1 p+a2 p2 +… +arpr ,其中 p为素数且 p≤ n,0≤ ai相似文献   

Sn+1中M(o)ebius形式平行的超曲面

如果x:M→Sn+1是不含脐点的超曲面,且M的Moebius形式 =0和Blaschke张量A=λg,就称M为Moebius迷向超曲面,如果x:M→Sn+1 是不合脐点的超曲面,且M的Moebius形式 平行( =0)和Blaschke张量A=λg,就称M为Moebius拟迷向超曲面,这里g是M上的Moebius度量,λ:M→R是M上的光滑函数,本文证明了如下结果: (1)设x:M→Sn+1(n 3)是不含脐点的超曲面,则M是拟迷向超曲面当且仅当M是迷向超曲面,(2)设x:M→Sn+1(n 3)是不合脐点的超曲面,且M的Moebius形式 平行和Blaschke张量A也平行( A=0),则 =0.     

三角形Toeplize矩阵的三角本原指数

讨论了三角形 Toeplize矩阵与一元多项式的关系以及非负三角形 Toeplize矩阵的三角本原指数 ,证明了 n阶非负上三角 Toeplize矩阵的三角本原指数集 Sn={1 ,2 ,… ,k-1 ,k,k1,k2 ,… ,ks,n-1 },其中 k是满足 k >4n -3 -12 和 n -1k +1 =n -1k 的最小整数 .     

不动点集为L1(p)的对合

§ 1.　Introduction　　Let(M ,T)beasmoothinvolutiononasmoothclosedmanifold ,andFdenotesthefixedpointsetof (M ,T) .WhenF =RP( 2k) ,RP(m)∪RP(n) ,∪RP( 2l+ 1 ) (lfixed) ,∪pi =1 RP( 2li+ 1 ) ,∪ri =1 (S1 ) ki ,(Sn1 ×Sn2 ×… ×Snp)∪ {pt},etc .,theexistenceandtherepresentative (uptobordism)of(M ,T)havebeenstudiedin [2 ],[3],[5 ],[6],[7]and[8].Thepurposeofthepaperistodeterminetheexistenceandtherepretentativeuptobord ismofallinvolutionsfixingthelensspaceL1 ( p) ,whereL1 ( p)isa 3 dimens…     

Sn+1(1)中的极小超曲面的等谱问题

设M为Sn 1(1)中紧致极小超面Mn1,n2= Sn1nn1×Sn2nn2 Sn 1(1)为Sn 1(1)中的Clifford极小超曲面如果Specp( M) =specp( Mn1,n2) ,Specq( M) =specq( Mn1,n2) ,其中0≤p 相似文献   

一类条件最小值问题的统一解法

本文给出一类条件最小值问题及其统一的解法,这类问题是:已知a,b,c为正实数,且a+b+c=1,k(k≠0,1)为整数,求(a+b)k+(b+c)k+(c+a)k的最小值.统一解法使用的工具是n(n≥2)元均值不等式:a1+a2+…+an≥nna1a2…槡an(ai>0,i=     

类Vandermonde恒等式的新组合恒等式:第一部分

Vandermonde卷积恒等式为n∑k=0(xk)(yn-k)=(x+yn),其中x和y为复数,n为非负整数.本文研究如下形式n∑k=0(x k)(y k)=(x+yn)+R(x,y,n)与其他相关扩充的关系.     

Kantorovich型Meyer-K(o)nig-Zeller算子的点态逼近定理

1引 言 1960年Meyer-K(o)nig W.和Zeller K.在[6]中提出了Meyer-K(o)nig-Zeller算子 Mn(f,x)=∞∑k=0f(k/(n+k))mn,k(x),0≤x＜1,Mn(f,1):=f(1),mn,k(x)=(n+kk)xk(1-x)n+1,在[1,2,5,7,9,10,12]中对于此算子的逼近性质及各种修正了的Meyer-K(o)nig-Zeller算子作了研究,其中重要的变形是Kantorovich型的积分算子： M*n(f;x)=∞∑k=0((n+k)(n+k+1))/n∫(k+1)/(n+k+1)k/(n+k)f(u)dumn,k(x),x∈[0,),其中Mn(f,1)：＝f(1),mn,k(x)＝(n+kk)xk(1+x)n+1,mn,-1(x)：=0. V.Totik在[8]中给出了M*n(f;x)的Lp-逼近(1≤p＜∞),王建力在[11]研究了其加权Lp-逼近(1≤p＜∞).本文引进新的K+泛函,利用Ditzian-Totik模ω2ψ(f,t)研究了该算子的点态逼近性质,得到了它的逼近正、逆及等价定理.     

等差数列中Sm，Sn，Sm＋n之间的关系

在等差数列 {an}中 ,d为公差 ,Sn 为前n项和 ,则Sm,Sn,Sm +n有下列性质 .性质 1　在等差数列 {an}中 ,Sm +n=Sm+Sn+mnd(m ,n∈N ) .证明　Sm+n=a1+a2 +… +am+am +1+am +2 +… +am+n=Sm+ (a1+md) + (a2 +md) +… + (an+md) =Sm+Sn+mnd .性质 2　 Sm +nm +n=Sm-Snm -n (m ,n∈N ,且m≠n) .证明　∵Sm-Sn=ma1+ m(m - 1)d2 -na1-n(n - 1)d2=(m -n)a1+ (m +n - 1)d2=m -nm +n (m +n)a1+ (m +n) (m +n - 1)d2=m -nm +nSm +n,∴ Sm +nm +n=Sm-Snm -n .性质 3　若Sm =Sn,则Sm +n=0 (m ,n∈N ,且m≠n) .证明　由性质 2知 ,Sm +nm +n=Sm-…     

关于多项式系数的整除性

设n是正整数,k1,k2,…+k1=n的非负整数,正整数[nk1k2…ks]=n！/k1!k2!…k5!称为多项式系数,本文讨论了当n=a0+a1p+a2p^2+…arp^r,其中p为素数且p≤n,0≤ai&;lt;p(0≤i≤r);ki=a0^(i)+a1^(i)p+…+ar^(i)p^r,其中ki≤0,∑^si=1,ki=n,0≤ak^(i)p(0≤i&;lt;s)时多项式系数的整除性问题,得出的结果推广了著名的Lucas定理^[1].     

关于Erds-Jacobson-Lehel问题的门槛(英文)

设σ(k ,n)表示最小的正整数m ,使得对于每个n项正可图序列 ,当其项和至少为m时 ,有一个实现含k+ 1个顶点的团作为其子图 .Erd s等人猜想 :σ(k ,n) =(k - 1 ) ( 2n-k)+ 2 .Li等人证明了这个猜想对于k≥ 5,n≥ k2 + 3是对的 ,并且提出如下问题 :确定最小的整数N(k) ,使得这个猜想对于n≥N(k)成立 .他们同时指出 :当k≥ 5时 ,5k- 12 ≤N(k)≤ k2 + 3.Mubayi猜想 :当k≥ 5时 ,N(k) =5k - 12 .在本文中 ,我们证明了N( 8) =2 0 ,即Mubayi猜想对于k =8是成立的     

关于正项等比数列方幂的不等式

文[1 ]给出了正项等差数列方幂的若干不等式,本文将建立正项等比数列方幂一些类似的不等式.为简便起见,以下约定数列{an}是正项等比数列,公比为q (q >0 ) ,前n项和为Sn,m ,p ,n ,k均为正整数,且m

相似文献   

非整边的直角三角形整距点问题

以直角顶点为原点 ,两直角边分别为 x轴和 y轴的正方向建立坐标系 .不妨设斜边所在直线方程为 ax +by=n,则方程 ax +by=n - kc(其中 a、b、c∈ N+,且 a2 +b2 =c2 ,k为整数 )的正整数解就是整距点的坐标 ,因此整距点问题与一类不定方程的正整数解联系起来 .设 a,b,n皆为正整数 ,有以下引理 .引理 1　方程 ax +by =n有整数解的充要条件是 (a,b) |n.引理 2　若 (a,b) =1,且 x0 ,y0 为方程 ax+by =n的一组解 ,则方程其它解可表示为 :x =x0 +bt,y =y0 - at(t为整数 ) .引理 3　设 (a,b) =1,则当 n>ab- a-b时 ,方程 ax +by =n必有非负整数解 .以…     

用“化成等差数列法”求自然数列方幂和

定理 如果Sn=1^m+2^m+3^m+…+n^m(m∈N）,那么存在g(n)=λ1n^(m+1)+λ2n^m+λ3n^(m-1)+…+λmn^2和常数k,使数列{Sn-g(n)}成为公差为k的等差数列,其中λi(i=1,2,…,m)和k由下述方程组给出：     

不动点集是Dold流形P(2m+1,2n+1)的对合

本文证明了具有光滑对合T的(4n+2m+3+k)-维闭流形,如果对合的不动点集为F=P(2m+1,2n+1),其中2m+2n=2+22+…+2b(2b为2n二幂展开式的最大二幂),m=4a或m=4a+3(a为非负整数),0相似文献   

Smarandache函数在两数列上的下界估计

设S(n)是Smarandache函数,其中n是一正整数.讨论Smarandache函数S(n)在数列F((2k),1)=F(n,1)=n2n+1(n=2k)与数列G(2n,1)=(2n)2n+1上的下界估计.基于初等方法证明了:当偶数n≥6时,有S(F((2k),1))=S(F(n,1))≥6×2n+1;当n≥4时,有S(G(2n,1))≥6×2n+1.