不等式研究成果集锦(15)

178　设 xi>0 ,yi>0 (i=1 ,2 ,… ,n,n≥2 ) ,实数 p≥ 2 ,如果 ∑ni=2x2i ≤ x21,∑ni=2y2i ≤ y21,那么[(xp1- ∑ni=2xpi) (yp1- ∑ni=2xpi) ]1p ≥ x1y1-∑ni=2xiyi- ∑ni=2|y1xi- x1yi|,当且仅当 p =2 ,x1y1= x2y2=… =xnyn时取等号 .(文家金 .2 0 0 0 ,5～ 6)1 79　设 b1,b2 ,… ,bn是实数 ,而 a1≥ a2 ≥…≥ an >0 ,又设 ∑kj=1aj≤ ∑kj=1bj(k=1 ,2 ,… ,n- 1 ) .∑nj=1aj ≥ ∑nj=1bj,则当 0

相似文献   

一类“数学问题”的统一证法

文[1]给出了不等式:已知x,y,z∈R+,m∈N+.求证:x/mx+y+z+y/x+my+z+z/x+y+mz≤3/m+2. 文[2]给出了不等式:已知xi＞0(i=1,2,…n),k＜1,求证: n∑i=1 xi/x1+x2+…+xi-1+kxi+xi+1+…+xn≥n/n+k-1. 文[3]给出了不等式:设ai＞0(i=1,2,3,…,n),p∈R,q＞0,且n∑i=1ai=A,Si=pai+q(A一ai)＞0(i=1,2,…,n),求证:     

一类二次方程组的一个定理及其运用

定理　在方程组∑ni=1xi=A∑ni=1x2i=B中 ,A、B是实数 ,记Δ=n B-A2 .若 xi∈ R( i=1,2 ,… ,n) ,则Δ≥ 0 ,当且仅当x1 =x2 =… =xn=An时 Δ=0 .证明　 ∑1≤ i相似文献   

多线性Marcinkiewicz积分在Campanato空间上的存在性与有界性

设n≥2, m≥1,y=(y1,..., ym).μ(f)是如下定义的多线性Marcinkiewicz积分:μ(f)(x)=(∫∞01/tm∫(B(0,t))~m?(y)|y|m(n-1)m∏i=1f_i(x-y_i)|2dt/t)~(1/2),其中dy=dy1···dym.本文考虑了μ(f)在Campanato空间上的存在性与有界性,证明了若m-线性Marcinkiewicz积分μ(f)在一点处有限,则它几乎处处有限,而且,如下范数不等式成立:||μ(f)||Eα,p≤C m∏j=1||fj||Eαj,pj,其中E~(α,p)是经典的Campanato空间,1/p=1/_p1+···+1/p_m,α=α_1+···+α_m.     

数学奥林匹克问题选登

1992年6月号问题解答 (解答由问题提供人给出) 25.证明因为不等式(*)关于x,y,z对称,所以不妨设x≤y≤z,令y=x+m,z=x+m+n(x≥0,m≥0,n≥0),代入不等式(*)两边得 x·(x+2m+n)~2+(x+m)·(x+n)~2+(x+m+n)·(x-n)~2     

关于一类中心循环的有限P-群的自同构群

确定了一类中心循环的有限p-群G的自同构群.设G=X_3(p~m)~(*n)*Z_(p~(m+r)),其中m≥1,n≥1和r≥0,并且X_3(p~m)=x,y|x~(p~m)=y~(p~m)=1,[x,y]~(p~m)=1,[x,[x,y]]=[y,[x,y]]=1.Aut_nG表示Aut G中平凡地作用在N上的元素形成的正规子群,其中G'≤N≤ζG,|N|=p~(m+s),0≤s≤r,则(i)如果p是一个奇素数,那么AutG/Aut_nG≌Z_(p~((m+s-1)(p-1))),Aut_nG/InnG≌Sp(2n,Z_(p~m))×Z_(p~(r-s)).(ii)如果p=2,那么AutG/Aut_nG≌H,其中H=1(当m+s=1时)或者Z_(2~(m+s-2))×Z_2(当m+s≥2时).进一步地,Aut_nG/InnG≌K×L,其中K=Sp(2n,Z_(2~m))(当r0时)或者O(2n,Z_(2~m))(当r=0时),L=Z_(2~(r-1))×Z_2(当m=1,s=0,r≥1时)或者Z_(2~(r-s)).     

φ形式Khintchine不等式不成立

本文论证了龙顺潮、王键建立的φ形式的Khintchine 不等式不成立,他们的不等式如下:φ- 1 ∑n1φ(｜aj｜) ≤C 12n ∑ε1…∑εn｜ε1a1+ …+ εnan｜,其中φ(x)为满足φ(a+ b)≥φ(a)+ φ(b) (a,b≥0),其反函数φ- 1(x)单调增加的函数,C为常数,εi= ±1,∑ε1…∑εn对所有(ε1…εn)取值,a1,…,an 为任意复数.     

一个代数不等式的指数推广

文 [1 ]中 ,程龙海先生证明了下面不等式 :若 0≤ x,y≤ 1 ,则x2 y2 ( 1 - x) 2 y2 x2 ( 1 - y) 2 ( 1 - x) 2 ( 1 - y) 2≤ 2 2 . ( 1 )本文将 ( 1 )式作如下推广定理　若 0≤ x,y≤ 1 ,n≥ 2 ,n∈ N,则n xn yn n ( 1 - x) n yn n xn ( 1 - y) n n ( 1 - x) n ( 1 - y) n≤ 2 n 2 . ( 2 )引理　若 u≥υ≥ 0 ,n≥ 2 ,n∈ N,则n un υn ≤ u ( n 2 - 1 )υ. ( 3)证明　因为 u≥υ≥ 0 ,所以[u ( n 2 - 1 )υ]n=un ∑ni=1Cinun- i( n 2 - 1 ) ivi≥ un ∑ni=1Cin( n 2 - 1 ) iυn=un [∑ni=0Cin(…     

多维拟线性退化抛物方程Cauchy问题解的唯一性和稳定性

本文证明了拟线性退化抛物方程 (e)u/(e)t=n∑i=1 (e)/(e)xi(aij(u)(e)u/(e)xi)+n∑i=1 (e)bi(u)/(e)xi -c(u), u(x,0)=u0(x),aij(u)ξiξj≥0,(A)ξ∈Rn 的Cauchy问题BV解的唯一性和稳定性.     

一个不等式的推广及应用

1999年河南省高中数学竞赛有这样一道不等式试题:设x1,x2,y1,y2∈R*,a=x1x2 y1y2,b=(x1 x2)(y1 y2),试判断a,b的大小.不难证得结论为b≥a.本文给出这一不等式的推广,然后举例说明其应用.1推广及推论命题设aij>0(i=1,2,…,m;j=1,2,…n),则(∑mi=1ai1∑mi=1ai2…∑mi=1ain)1n≥∑     

一个最值问题的求解方法

文[1 ] 对如下问题进行了研究 :已知实数x1 ,x2 ,… ,xn 满足x21 +x22 +… +x2 n= 1 ,当n≥ 3时 ,求maxi≠j mini≠j|xi-xj|.本文给出如下简捷解法 .由题意 ,不妨设x1 ≤x2 ≤…≤xn -1 ≤xn,并令mini≠j|xi-xj|=min|xi+ 1 -xi|=a(i=1 ,2 ,… ,n - 1 ) .则当 j>i时 ,xj-xi=(xj-xj-1 ) +… +(xi+ 1 -xi)≥(j-i)a∴ ∑1≤i相似文献   

权方和不等式的改进及其姊妹不等式

1 权方和不等式的改进 不等式:xm+1/1/ym/1+xm+1/2/ym/2+…+xm+1/n/ym/n≥(x1+x2+…+xn)m+1/(y1+y2+…+yn)m (A) (其中xi,yi∈R+,i=1,2,…,n,m＞0),当且仅当x1/y1=x2/y2=…=xn/yn时取等号.     

一类加强不等式的推广

本文给出了 n个正数 x1 ,x2 ,… ,xn 的如下不等式 :∏nk=1( xαk+x-αk )≥ ( Aαn( x) +A-αn ( x) ) n ,每个 xk≤ xα,∏nk=1( xαk+x-αk )≤ ( Aαn( x) +A-αn ( x) ) n ,每个 xk≥ e.其中 α>0 ,xα=[4α2 +1 +2 α]12α ,常数 e=2 .71 81 82 81 8… ,An( x) =1n∑nk=1xk.     

一道数学竞赛题的推广

设 a1,a2 ,… ,an和 b1,b2 ,… ,bn都是非负实数 ,则　 [( a1+ b1) ( a2 + b2 )… ( an + bn) ]1n ≥　 ( a1a2 … an) 1n + ( b1b2 … bn) 1n.这是第 6 4届普特兰数学竞赛中的一道题目 .本文给出该不等式的一个推广 .推广　设 aij >0 ( i =1 ,2 ,… ,m;j=1 ,2 ,… ,n) ,则( ∑mi=1ai1∑mi=1ai2 …∑mi=1ain) 1n ≥ ∑mi=1( ai1ai2 … ain) 1n,等号当且仅当 as1at1=as2at2=… =asnatn( s,t=1 ,2 ,… ,m;s≠ t)时成立 .证明　由平均不等式知 :1na11∑mi=1ai1+ a12∑mi=1ai2+… + a1n∑mi=1ain≥　a11a12 … a1n∑mi=1ai1∑mi=1ai2 …∑mi=1ai…     

NOTES ON GLAISHER''''S CONGRUENCES

Let p be an odd prime and let n ≥ 1,k ≥ 0 and r be integers. Denote by Bk the kth Bernoulli number. It is proved that (i) If r≥1 is odd and suppose p≥r+4, thenp-1∑j=11/(np+j)=-(2n+1+(x+1)/2(x+2)Bp-r-2p2(modp3).(ii)IFr≥2is even and suppose p≥r+3,thenp-1∑j=11/(np+j)+=r/r+1Bp-x-1p(modp2).(iii)p-1∑j=11/(np+j)p-2=-(2n+1)p(modp2).Thisesult generalizes the Glaisher's congruence. As a corollary, a generalization of the Wolstenholme's theorem is obtained.     

短区间的并集中整数及其m次幂的差的均值分布

本文研究了短区间的并集中整数及其m次幂的差的均值分布问题,给出了渐近公式.具体来说,设P是奇素数,1≤H≤p,实数δ满足0 δ≤1,整数m≥2.设I~((j))是(0,p)的互不相交的子区间,1≤j≤J,满足H/2≤|I~((j))|≤H,以及(y)_p表示y在模p下的非负最小剩余.定义I=∪_(j=1)~JI~((j)),并设X是模p的Dirichlet非主特征.证明了Σ x∈1 |x-(x~m)p|δp 1=1/p∫_0~([δp]) (Σ x∈1 x≤p-1-t 1+Σ x∈1 x≥t=1 1)dt+O(mJ~(1/2)P~(1/2)log~2 plog H),以及Σ x∈1 |x-(x~m)p|δp X(x)mJ~(1/2)P~(1/2)log~2 plog H.     

两个代数不等式及应用

定理 1　对于 x ,y ,a ,b∈R ,则有　 (x -a) 2 + ( y -b) 2≥ (x2 + y2 -a2 +b2 ) 2 ( 1 )等号成立当且仅当x y =a b并且x与a同号 .证　将 ( 1 )左端减去右端得(x -a) 2 + ( y -b) 2 - (x2 + y2 -a2 +b2 ) 2=- 2 (ax +by) + 2 (x2 + y2 ) (a2 +b2 )≥ 0 (应用Cauchy不等式 ) .等号成立当且仅当x y =a b并且x与a同号 ,可见式 ( 1 )成立 .定理 2　对于 xi,yi∈R ,若当n≥ 2时存在x2 + y2 ≥∑ni=1xi2 + yi2 ,则有(x -∑ni=1xi) 2 + ( y -∑ni=1yi) 2　≥ (x2 + y2 -∑ni=1xi2 + yi2 ) 2 ( 2 )等号成立当且仅当 x1y1=x2y2=… =xnyn=xy 且x…     

新二元三角插值多项式的构造

设Ω=[-πxπ,-πyπ],C(Ω)表示关于x,y均以2π为周期的连续函数空间.若f(x,y)∈C(Ω),取结点组为(xk,yl)=(2k+2n 1)π,(2l 2+m 1)πk=0,1,2,…,2n,l=0,1,2,…,2m,则我们获得一个二元三角插值多项式Cn,m(f;x,y)=M1N∑k=2n0∑l=2m0f(xk,yl).1+2∑nα=1cosα(x-xk)+2∑mβ=1cosβ(y-yl)+4∑nα=1∑mβ=1cosα(x-xk)cosβ(y-yl)其中M=2m+1,N=2n+1.为改进其收敛性,本文构造一个新的因子ρα,β,使得带有该因子ρα,β的二元三角插值多项式Ln,m(f;x,y)可以在全平面上一致地收敛到每个连续的f(x,y),且具有最佳逼近阶.     

小区间上的素变数三角和估计

设A(n)为von Mangoldt函数且实数θ=95-83~(1/2)/121.当xθ+ε≤y≤x时,本文对于所有的α∈[0,1]给出了指数和S2(x,y;α)=∑x0,估计式∑x相似文献   

一个不等式的逆向

文[1]证明了文[2]提出的一个猜想:说ai≥0,pi≥0,(i=1,2,…,n)且p1 p2 … pn=1,则n∑i=1piai≥n∏i=1aipi.本文将给出上述不等式的一个逆向不等式,从而得出一个不等式组.命题设ai>0,pi≥0(i=1,2,…,n),且p1 p2 … pn=1,则1∑ni=1piai≤n∏i=1aipi≤n∑i=1piai.证为了使命题证明