基于分数阶傅里叶变换的模式测控一体化方法

提出了一种基于分数阶傅里叶变换的模式测控一体化方法。利用分数阶傅里叶变换光路对光纤模式耦合态进行空间调制和相位调制,以实现模式的有效分解。与双重傅里叶变换（F2）法以及空间和频谱成像（S2）法相比,采用的分数阶傅里叶变换法,通过改变分数阶参数,控制模式的空间分布以及模式间的叠加状态,更易于分解出高阶模式。基于分数阶傅里叶变换的模式测量方法可在更广泛空间,研究模式的空间和相位叠加以及模式分解,也可退化为F2法和S2法。     

基于自编码器的荧光分子断层成像快速重建

多激发点荧光分子断层成像(FMT)重建过程中生成的系统矩阵规模较大,导致计算复杂度高,重建时间长。为了加快重建速度并保证其准确性,基于人工神经网络理论,通过降低系统矩阵规模,提出了一种快速FMT重建方法。具体来说,采用的降维方法是自编码器,即一种典型的人工神经网络,训练数据为由系统矩阵和表面荧光测量值组成的矩阵,然后使用自编码器网络的编码部分得到原始矩阵在低维空间上的表示。为了测试所提方法的性能,设计了一系列数值模拟实验,包括非匀质圆柱体实验和数字鼠实验。实验结果表明,该方法能有效缩短重建时间,得到较高的重建精度。     

求解二维Euler方程有限单元边插值的降维重构算法

数值求解二维Euler方程的有限体积法（如k-exact，WENO重构、紧致重构等），无一例外地要进行耗时的网格单元上的二维重构.然而这些二维重构最后仅用于确定网格单元边界上高斯积分点处的解值，单元上二维重构似乎并非必需的.因此，文章提出用网格边上的一维重构来取代有限体积法中网格单元上的二维重构，分别在一致矩形网格和非结构三角形网格上发展了基于网格边重构的求解二维Euler方程的新方法，称为降维重构算法.数值算例表明该算法可以计算有强激波的无黏流动问题，且有较高的计算效率.      

第二类端点奇异Fredholm积分方程的分数阶退化核方法

本文针对第二类端点奇异Fredholm积分方程构造基于分数阶Taylor展开的退化核方法，设计了两种计算格式，一是在全区间上使用分数阶Taylor展开式近似核函数，二是在包含奇点的小区间上采用分数阶插值，在剩余区间上采用分段二次多项式插值逼近核函数.讨论了两种退化核方法收敛的条件，并给出了混合插值法的收敛阶估计.数值算例表明对于非光滑核函数分数阶退化核方法有着良好的计算效果，且混合二次插值法比全区间上的分数阶退化核方法有着更广泛的适用范围.     

具有四个素因子的奇亏完全数

设n为自然数,σ(n)表示n的所有正因子和函数.令d是n的真因子,若n满足σ(n)=2n-d,则称n为亏因子为d的亏完全数.本文给出了具有四个素因子的奇亏完全数的一些性质的刻画.     

时间延迟扩散-波动分数阶微分方程有限差分方法

本文提出求解时间延迟扩散-波动分数阶微分方程有限差分方法，方程中对时间的一阶导函数用α阶（0 < α < 1） Caputo分数阶导数代替.文章中利用Lubich线性多步法对分数阶微分进行差分离散，且文章利用分段区间证明该方法是稳定的，且利用数值实验加以验证.     

一类精细化Eulerian多项式的若干性质

最近,孙华定义了一类新的精细化Eulerian多项式,即$$A_n(p,q)=\sum_{\pi\in \mathfrak{S}_n}p^{{\rm odes}(\pi)}q^{{\rm edes}(\pi)},\ \ n\ge 1,$$ 其中$S_n$表示$\{1,2,\ldots,n\}$上全体$n$阶排列的集合, odes$(\pi)$与edes$(\pi)$分别表示$S_n$中排列$\pi$的奇数位与偶数位上降位数的个数.本文利用经典的Eulerian多项式$A_n(q)$ 与Catalan 序列的生成函数$C(q)$,得到精细化Eulerian 多项式$A_n(p,q)$的指数型生成函数及$A_n(p,q)$的显示表达式.在一些特殊情形,本文建立了$A_n(p,q)$与$A_n(0,q)$或$A_n(p,0)$之间的联系,并利用Eulerian数表示多项式$A_n(0,q)$的系数.特别地,这些联系揭示了Euler数$E_n$与Eulerian数$A_{n,k}$之间的一种新的关系.     

求解分数阶延迟微分方程的卷积Runge-Kutta方法

本文利用强A-稳定Runge-Kutta方法求解一类非线性分数阶延迟微分方程初值问题,并给出了算法的稳定性和误差分析.数值算例验证算法的有效性及其相关理论结果.