Sobolev类带权函数的基于给定信息的最佳求积公式

给出了r阶Sobo lev类KWr[a,b]带权函数的基于给定信息的最佳求积公式和它的误差估计式.这里的给定信息是指:已知函数在给定区间若干点上的函数值和直到r-1阶导数值.对r≤2,得到了最佳求积公式和误差估计式的显式结果.另外还给出了类KW2[a,b]中在节点的导数值为零的函数所组成的子类的相应的最佳求积公式.     

三种不同意义下的最佳求积公式之间的关系

详细讨论了函数类KWr[a,b]上Sard和N iko lsk ii意义下以及基于给定信息的最佳求积公式三者之间的关系,并且提供了一种由基于给定信息的最佳求积公式得到其它两种求积公式的方法.     

Sobolev类KWr[a,b]基于给定信息的最佳求积公式

由所有区间[a,b]上(r−1)阶导数绝对连续而其r阶导数几乎处处被常数K所界定的函数组成的类记为KW^r[a, b]. 设函数f∈KW^r[a, b]在一组节点x处的函数值及其直到(r−1)阶的导数值为已知, 称之为给定的Hermite信息. 本文报道函数类KW^r[a, b]基于给定Hermite信息的最佳求积公式. 通过完全样条插值解决了该问题解的存在性和具体的构造, 结果表明该问题的解决依赖于插值样条的自由节点所满足的一个非线性代数方程组. 而根据作者的另一项新的研究成果, 该方程组可以封闭地转换为两个次数大约为r/2的代数方程. 顺便还得到了类KW^r[a, b]的最佳插值.     

基于Thiele型连分式的数值积分

基于Thiele型连分式构造求积公式,这类求积公式能再生由Thiele型连分式前三项渐近式的线性组合所表示的任意有理函数,接着算出求积余项,并推导出分母在给定区间上无零点的充分条件.更进一步,通过等分给定区间,构造相应的复化求积公式,并算出求积余项.研究表明,在若干条件满足的前提下,复化求积公式序列能一致收敛于积分真值,一些数值算例说明了这一点.     

高阶奇异积分的闭形式和变换权形式的求积公式

我们已经在[1]中建立了两种类型的求积公式,在这些求积公式中区间的端点都不是节点,因而是开形式的求积公式。在实际应用中,了解区间端点处的值往往更为重要,因而我们有必要考虑它的闭形式的求积公式。同时,由于奇异积分方程数值解法的需要,我们还要讨论它的另一种称为变换权形式的求积公式。本文准备对这些进行讨论。     

常用数值求积公式渐近性的注记

常用数值求积公式余项中介点当积分区间长度趋于零时满足确定的极限关系式,当这些关系式严格成立时(非极限形式),证明了被积函数是次数不超过某常数的多项式函数.     

含Cauchy核奇异积分高精度求积公式

用分离奇异性方法构造了具有高代数精度的含Cauchy核奇异积分的Gauss-Kronrod求积公式,给出了计算求积系数的简洁方法和表达式,导出了求积公式余项表达式.对求积公式在计算机上用Matlab编程进行了数值实验,数值实验结果与理论分析一致.     

Cotes数值求积公式的校正

本文研究了Cotes数值求积公式代数精度的问题,给出了Cotes求积公式余项"中间点"的渐进性定理.利用该定理得到了改进的Cotes求积公式,并证明了改进后的Cotes求积公式比原来的公式具有较高的代数精度.     

一类广义Gauss型求积公式

基于被积函数在n次第一类和第二类Chebyshev多项式的零点处的差商,该本构造了两种Gauss型求积公式. 这些求积公式包含了某些已知结果作为特例.更重要的是这些新结果与Gauss-Turan求积公式有密切的联系.     

关于Euler-Maclaurin公式的一个注记

利用梯形公式的余项,将被积函数的二阶导数做幂级数展开,证明了余项是关于求积区间长度的奇数次幂级数.推导出了复合梯形公式的一类渐近展开式,从另一方面印证了Euler-Maclaurin公式.     

外推算法在数值三重积分中的应用

1引 言积分的计算是自然科学中的一个基本问题.当积分的精确值不能求出时,数值积分就变得越来越重要了.数值积分的基本思想是直接利用被积函数(及其导数)在若干点处的函数值作线性组合得到积分的近似值.外推算法是一种可以提高数值计算精度的技巧,它利用几个精度较低的近似值作线性组合得到精度较高的近似值.定积分的复化求积公式及其外推算法可见[1]-[7],二重积分的复化求积公式可见[8,9,10],三重积分的复化求积公式可见[11,12].     

球域上的某种意义下的最佳求积公式

关于高维球域上的求积公式,美国的Stroud曾利用代数方法构造了“乘积型求积公式”(见[1])。所谓区域R_n上的求积公式为“乘积型公式”,意即它是由n次迭加一维求积公式所产生的公式。这种公式所用结点个数随着维数的增大而迅速增大,所以对于大维数的积分不宜去构造“乘积型求积公式”。本文应用[2]中给出的矩形域、立方域上的最佳边界型求积公式,给出构造球域上求积公式的一种方法。这种方法的优点是对n维球域的求积公式,只须用一个n-1维的边界型求积公式和一个一维求积公式     

求Abel型积分方程数值解的正则化方法

本文采用近似已知函数稳定求导方法与两点复合Gauss-Legendre求积公式相结合求Abel型积分方程数值解,其结果是数值稳定且精度较高.给出了数值例子.     

关于一些数值求积公式的渐近性

该文给出了一些数值求积公式的渐近性质,这些公式包括求积分的矩形法则、梯形法则和抛物线法则,包含于余项中的中介点的位置当积分区间的长度趋于零时被确定,对应于该法则的校正公式被得到,它们具有较高的代数精度,我们也进行了一些数值试验,得到较满意的数值结果。     

基于连分式与Newton-Padé逼近的数值积分

首先利用Newton-Pade表中部分序列推导出连分式,提出逆差商算法,算出关于高阶导数与高阶差商的连分式插值余项.接着,构造基于此类连分式的有理求积公式与相应的复化求积公式,算出相应的求积余项,研究表明,在一定条件下,求积公式序列一致收敛于积分真值.然后,为保证连分式计算顺利进行,研究连分式分母非0的充分条件.最后,若干数值算例表明,对某些函数采用新提出的复化有理求积公式计算数值积分,所得结果优于采用Simpson公式.     

一类高维沙德意义下的最佳求积公式

Schoenberg,I.J.证明了由一元自然样条插值得到的求积公式和沙德意义下最佳求积公式是一致的。后者是指在具有同样代数精度的求积公式中其余项的皮亚诺核最小者。从而样条插值型求积公式是定积分在一定意义下的最佳逼近。李岳生教授提出了一类多元     

张量积型二元数值积分研究

基于张量积型的二元牛顿插值多项式,构造了矩形网格上的二元求积公式,其对一些二元多项式精确成立,数值算例说明了求积公式的可行性.     

关于求积公式序列收敛性的注记

利用Romberg递推求积算法,证明当子区间数目趋于无穷大时,复化求积公式序列一致收敛于积分真值,证明过程与插值型求积公式序列如Gauss型求积公式序列一致收敛不同.     

连续区间上积分值的MQ拟插值算子

在某些插值问题中,插值点处的函数值是未知的,而连续区间上的积分值是已知的.如何利用连续区间上积分值信息来解决函数重构是一个重要的问题.首先,文章利用连续区间上积分值的线性组合得到结点处函数值和一阶导数值的的四阶逼近.然后,构造了一类基于连续区间上积分值的MQ拟插值算子,它称之为积分值型MQ拟插值算子.最后,给出了该MQ拟插值算子的整体误差,它具有相应的四阶逼近阶.数值实验表明,该方法是有效可行的.     

一类模糊线性规划模型的模糊最优区间值

讨论一类既有模糊不等式约束又有模糊等式约束的全模糊系数线性规划问题。在给定的模糊隶属度水平下 ,将模型转化为区间数线性规划模型 ,通过确定区间模型的最佳目标函数和最大可行域以及最劣目标函数和最小可行域 ,求出目标函数的模糊最优区间值 ,从而为决策者提供更多的决策信息。最后给出一个数值例子。