《超级画板》帮你教圆锥曲线（2）

上一讲我们介绍了与圆锥曲线有关的一些函数，最常用的圆锥曲线一般方程的函数命令“Conic Of Equation（A＊x2＋B＊x＊y＋C＊、y2＋D＊x＋E＊y＋F，）；”，有了此命令，基本上就能解决圆锥曲线作图的大部分问题．譬如绘制椭圆的标准方程，     

一个不等式的解集

文[1]用反例否定了不等式l）x]，文[2]给出了此不等式成立的一个条件，但该条件过繁且不够透彻．本文求出此不等式的解集结论已知nN，则不等式的解集是＿1＿，十］＿．＋］1＿D＆M】·＜》＋——巨工为十——乏＼7Mb十——．一l·－－—一D、－17＋］——一rt其中kEZ，i—1，2，…，n一川．证明设x一卜卜ZxI，则0qxI＜1，故原不等式即为（n＋1）hlx〕＋，；Ixl」＜n【（n＋1）卜I－（。；＋1）x所以（n＋l）卜卜」卜（n＋1）卜lxl」＜nl（n＋1）［x］」＋n［（n＋1）x］，即（n＋1）【n《xl」＜nl（n＋1）lxl」．（。）当0＜Ix【＜上…     

积分integral from (1/x~n 1)dx的计算

对于积分当n较小时，好计算，但当n较大时，例如n=6、7等，很难计算．现在利用橡模佛定理、欧拉公式和一些基本方法求出它的原函数，并举例说明其应用．被积函数由律模佛定理可知：方程Xn＋1=0的解为其中．因此有的计算由（1）可得又根据欧拉公式1．3化简由于方程X”＋1一0的根具有共轭性，故有若n为偶数，则上式为若n为奇数，则上式为2计算实例当n较大时，运用上述公式非常简单，现举两个例子说明．。．．。＿l‘l例呈求I＝＝＝－dXJ。x‘＋1解n二7，可列表如下：［＊。」8表示X21时＊。的值减去X一0时＊。的值，［用z亦同．例2求入。一…     

一个插值公式及其应用

本文介绍二次拉格朗日插值公式及其在证明与二次函数相关的不等式方面的广泛应用．二次拉杜朗间揭值公式：设f（x）是M次多项式，。，，az，as是3个两两不等的常数，则：、（xa。）（xas）。in3u！，＼2382，证明将等式右端的二次三项式记为p（X），由于人J）一户（X）的次数＜2且人工）一户（X）一0有3个不同的根：N一rtl，HMQZ，NMrt3·故f（X）一p（X）．下面略举囊的介绍二次指位公式的应用．例1已知a，b，c为实数，函数／（x）。。2＋bte＋C，g（x）＝。＋b，当1＜x＜1时，if（川＜1．（1）证明：Icl＜1；（2）证明：当一1＜X＜…     

函数对称性及简单应用

性质1y=f(x)关于x=a轴对称<=>f（a＋x）＝f（a—x）（或f（x）＝f（2a-x)，f(-x)=f2＋x)等)性质2y=f(x)关于（a，b)中心对称<=>f(a＋x) f(a－x）=2b（或f(x)＋f（2e-x）＝2b，f（-x） f（2a＋x）＝2b等）特别地有：（1）y=f(x)关于（a，0）对称b八a＋x）—一人a－x）（或人x）—一人如一动，人一X）—一人加十X）等）（2）y一人工）关于（0，b）对称白人工）＋＊（一X）一Zb证明1．y一人工）关于x＝a轮对称hoJ一人。＋＊关于x—0对称edy一人x＋a）为偶函数今户八一x＋a）一人x＋。），通过提元面得人）一人加一），人一）一八b＋＊等．2．…     

方差非负性的应用

方差的计算公式为S2人教版初中《代数》第三册），它又可化为9一上【】X～上（，IZI方差具有非负性，即5270，当且仅当xl—12一…一xu，SZ＝0，利用方差公式及其非负性，可以将不少数学问题转化为方差问题来解决．例1已知a，heR”，a＋b—1，求证a’＋bZk且2”证考虑a，b二项的方差例3已知实数x，y，z满足x－y＝6，cy＝zZ十9，求证：X一y·证工，y的方差为Y一言【x“十y“一二（x＋y广」”亏以x＋y）“一zry一青（x＋y广」一一子【一子X十一月．t＋o）1一一，J＞几4＝O，于是X一y·例4已知0＜6＜。，求函数y＝／厂工面F肩而十／而百…     

大型稀疏线性互补问题的行作用法

且引言考虑线性互补问题＊＊P（q，M）：求X二（X；，x。，…，x。厂E”使得x＞O，训x）E＊x＋g＞o，／U（X）一O（1）其中M一（m；。）为nXn矩阵（不必对称），q一切，q。，…，q。）rER“为给定常向量．通常情况下已有求解LCP（q，M）的若干著名算法［‘－’j．本文提出求解LCP（q，M）的一种新算法一行作用法，方法具有如下特点：（i）每次迭代只需n个简单的投影运算，每次投影只涉及矩阵M的一行；（n）生成新的迭代点x‘“‘时只利用前次迭代点／；（iii）对矩阵M不实施任何整体运算．因而适合于求解大型（巨型）稀疏问题，且…     

判定递推数列极限存在的一种方法

在讨论极限问题时，对于单调有界数列常用单调有界原理判定其极限的存在性。但是有些数列本身就不具有单调有界性，或是其单调有界性难以考查，这时单调有界原理就无能为力了。本文绘出一个不用单调有界原理而判定数列极限存在的例子。例求数列分析若设满足X一八X）。通过观察可以看出，x一3是方程X一人X）的一个根，有可能就是所求的极限值。这使我们想到要对DX。一引进行估计。则数列的通项为并且。＜／方，x。＜／方．如果没。＜／方，则。＋；＝V13一地方＜／乃，所以。E［0，、／元」，n—l，2，·：·．而在［0，／乃」上，，则在…     

对凝聚函数法的探讨

1．引言考虑问题（）：这里人（n）是”中二次连续可微函数，n，n是正整数．（利是非光滑规划中常见的一种情形，且光滑约束优化问题的某种罚函数也是这种形式．因此如何有效地求解（P）是非线性规划中一个重要的课题［’‘］．凝聚函数法是近几年发展起来的一种重要的求解（P）的方法［“‘l，其想法比较简单：用一族二次连续可微的凝聚函数Fp（x）去一致逼近f（x）（PM＋co），从而当p充分大时，用几（X）的极小解X（叫作为（日的近似解．因为马（X）是＊”中光滑函数，所以可用己知的求解光滑无约束优化的数值方法（如＊＊＊S方法）…     

理科第24题别解

试回设二次函数人X）一。‘十仅十C（C＞O），方程人C）一C—O的两个根CI，1。a足0＜J1＜而＜上，（互）当工E（o，xl）时，证明：l＜人l）＜11；（巨）设用数人X）的图方关于直线X—XO对称，证明：二＜于．解法1（I）”．”xl，x。是人x）一x一0的两个根，故可设f（）一x—x（x—xl）（1—1：）令g（x）一a（x—xt）．。＞o，则以）在（一一，十一）内单调速增．解法2（I）同解法1，则故一’十hi十〔＜＊片十bll＋〔，即人l）＜人11）一11．又由a＞O，xl，xZ为／（x）一x—0的两个根（X；＜X。），则人X）一工在「0，Xl」上为减…     

西北工业大学(1996—1997学年第1学期)高等数学试卷(A卷)

一、填空题（每小题3分，共9分，填错或不填均得零分）1．设厂（x）一g（x），则dfsin’x）2。。。。s。n手十。。s士。－；3·。f。x。－l。－In＿，。f。。。x。。－Inx，。。仁。x。dx－·二、选择题（每小题3分，共9分，选错或不选均得零分）1．设函数人X）在［O，1」上有产（X）＞0，且尸（0）20，则／（1），广（o），八1）一八0）或f（）一人1）的大小顺序是：（A）f（1）＞f（0）＞f（）一f（）；（）f（1）＞f（1）一f（）＞f（0）；（C）f（）一f（）＞广（l）＞广（0）；（D）f（l）＞f（）一f（）＞广（0）答：「j2·设ah＜…     

半无限规划问题的一个有效解法

1．引言在计算机辅助设计和工程设计中,经常遇到下面的两类优化问题1,2］．1．无约束半无限极大极小问题．其中外x）二——x。。Im。x。。。Yi夕（x;N）这里J二（】,2,·,｝对任何7E八岁：R－xR”。＋R是连续可微的函数,X是R”。中的一个紧子集,且VYj）一O,这里问h）表示X体积．2．约束半无限代化问题．其中I一（1,2,·．小记L二《0｝UI对任何jCL冲’（x）一max。。。Yi夕（x,yi）·这里拉：PX＊n＋R是连续可微函数,X是”。中的一个紧子集,且NU）一0·注．设Y（Z,一二切EyW一叫卜4．今后对本文用到的紧子集地做…     

向量线性组合的行列式表示

学习过线性代数，就会知道：如果以实数为元素的矩阵的第一列的代数余因式顺次为A1，A2，…，Ak，那么，对于任意实数组a1，a2，…，ak成立等式：现在略加扩展，设a1、a2、…、ak表示向量组，而把（1）式作为这个向量组线性组合的行列式表示法的定义。例如从下面的命题中，可以看出定义（1）的作用。命题1设a1、a2、…、ak与b2，…，bk都是向量，令证令x一alal＋aZaZ＋…＋a。a。则x·bZ一人（。1·b。）十八（a·bZ）＋…＋A＊（。。·bZ）一同样X·句—…S·由一0命题2设a；，a。，…，a。是线性独立实向县组。。。（。）。。。。。…     

W空间中最佳逼近插值算子

一元函数有种种不同的插值方法，如多项式插值，样条插值，有理插值等，也给出了最佳插值算子[2]本文对二元函数讨论最佳逼近插值算子．设X是点集Ω上的实函数空间，是Ω上给定的一组点．由下式确定x上的一组泛函设Xu是X的。维子空间，定义X到Xu的算子Hn：其中（a；闪丹ZCXn．对X的子集人称dA【VI“fill＿fillSlipwIVJ一【＊un八V川UJXnCX｛。。（Q）IVC。。irCh为A的逼近偏差．若某个n维子空IWXu达到（2）式的第一个下确界，则称此Xn为A的最佳逼近子空间，记为X：．X：中达到（2）式的第二个下确界的扣；（Q）｝Z称为A的最…     

积分上限函数在运用微分中值定理证题中的应用

一、在运用洛尔定理证题中的应用分析将结论改写为，由于给出的条件：f（x）在［0，1］上连例3设y＝f（x）是闭区间［0，1」上的任一非负连续函数。（1）试证存在x。E（O，1），使得在区间「0，x＊上以f（x。）为高的矩形面积等于在区间［x。，l］上以y一八x）为曲边的梯形面积；（2）设入。）在（0，1）内可导，且／（x）＞－——，证明（1）中的lr。唯一。分析（1）矩形面积一T／（x。），曲边梯形面积一I人x）d。，即欲证明的结论为。。八x。）一if。）dx．If（）dx－x。f（。）一O（一）（）’。x＝。。一Ifx）dx－。。八万。）一0，…     

F2＋vF2上生成M序列的非奇异反馈函数的性质

M序列是一类最长的非线性伪随机序列．本文研究了在F2＋vF2上生成M序列的非奇异反馈函数f（x1，X2，…，xn）所具有的3条性质：1）Rf≠f；2）Djf为互不相同的生成M序列的非奇异反馈函数（j=1，v，1＋v）；3）在f的多项式表达式中，常数项j。一定不为0；若线性项x2，x3，…，xn全出现，则它们的系数不能全为1或j。     

解非线性方程的二阶敛速指数迭代法

1．gi言文［1，2］中利用ODE方法［'］给出解非线性方程在卜6I内的根x"的两个非线性迭代法其中'w由文［2］中（5）式确定．令h-1方法（2）具有M阶敛速，方法（3）是线性收敛的．它们是李雅普诺夫渐近稳定性和文［4］中Lambert提出的解Stiff方程的非线性方法相结合的结果．Lllbll't在每个小区间【Ln，Ln＋1］上用一个有理函数月O一句（I十利来逼近微分方程的解z二"I，＊。）；＊。Ek；q，使得对I＿，J。）一J＿，"乙十；，J。）＝。＿＋i，l'（Ln，10）一人，而tim0（7；00）一0"．那么我们能否在每个小区间【Ln，Ln＋1］上用一个指…     

高等数学试题

一、填空（每小题5分）2．微分方程好的通解为3．曲面3在点（2，1，0）处的法线方程为4．过点（3，1，－2）且与直线垂直的平面方程为5．幂级数的收敛区间为答案：其中函数人g具有二阶连续导数，5、（10分）计算曲线积分I其中L为圆周x’＋y’一a’的逆时外方向。答案：－。四、（10分）试求球体x’＋y’＋z‘＜Zz的质量，已知球体上任一点的密度与该点到原点的距离平方成正比。答案：＊切，足是常数””””］q”’～’”一五、（10分）计算曲面积分是曲面X—X‘＋／（0＜Z＜1）的外侧。竺室．二“——’2六、（10分）设P（x，y）一xy’o…     

一类线性约束凸规划的内椭球算法

1引言自从1984年Karmarkar的著名算法——梯度投影算法发表以来,由其理论上的多项式收敛性及实际计算的有效性,使得内点算法成为近十几年来优化界研究的热点（［1］）．通过中外学者的深入研究,线性规划与凸二次规划的内点算法研究已取得了不少成果（［2」、［3〕）．这些算法大致可分为四种类型：梯度投影算法、仿射尺度算法、路径跟踪法和势函数减少法吸3］、〔9〕）．近来,人们开始着手将这些方法推广到非线性规划中的凸规划问题、线性互补问题和非线性互补问题（【6」、［7」、〔sj、［10」、Ill〕）．例如：文［8」对一类凸可分规…     

巧用圆的一般方程解题

圆的一般方程C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0（D2＋E2-4F〉0）.当点P（x0,y0）在圆外时,x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F〉0,那么x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F的几何意义是什么呢？经过探索,我们发现：结论1已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0（D2＋E2-4F〉0）,当点P（x0,y0）在圆外时,过点P作圆的切线PA,