对凝聚函数法的探讨

1．引言考虑问题（）：这里人（n）是”中二次连续可微函数，n，n是正整数．（利是非光滑规划中常见的一种情形，且光滑约束优化问题的某种罚函数也是这种形式．因此如何有效地求解（P）是非线性规划中一个重要的课题［’‘］．凝聚函数法是近几年发展起来的一种重要的求解（P）的方法［“‘l，其想法比较简单：用一族二次连续可微的凝聚函数Fp（x）去一致逼近f（x）（PM＋co），从而当p充分大时，用几（X）的极小解X（叫作为（日的近似解．因为马（X）是＊”中光滑函数，所以可用己知的求解光滑无约束优化的数值方法（如＊＊＊S方法）…     

两个二元函数之商的极限的探讨

在数学理论的研究和应用中，常常遇到这样的问题，设两个二元函数它们都在点（x0，y0）的某个邻域内连续（甚至于有更好的性质，例如可微），且（x0，y0）是它们的公共零点。当（x，y）→（x0，y0）时’此两个二元函数之商的极限是否存在？这是二元函数I型未定式的极限问题。与一元函数相比，二元函数未定式的极限问题要复杂得多和困难得多。引理1设函数g（x，y）在点（0，0）处可徽，且g（0，0）一0，匕radg（0，0）一1人IZ，。。。＿，2，。。、＿。。。＿＿。J。（0，0）。，＿＿＿。＿。nn。V。。。＿Vg‘Z（0，0）＋g’2（0，0）学0…     

利用微分方程解关于积分上限的函数方程

我们从《高等数学》上册里已经知道：若是内的连续函数，则积分些关于积分上限的函数方程，关键是要建立一些恰当的微分方程，然后再利用解微分方程的方法去解函数方程。这里需要注意的是：初始条件隐含在积分上限的函数方程中。例1设f（x）在[0，＋co）内连续，且会解由八x）在【0，＋co）内连续，从所给函数方程表达式可知，人工）可导。从而有；n，、。11＿l＿＿。，、一．．—。，一、－———。。。广（x）一月会·2到·2，有f（）ZC／”。又f（）一1，有Czl即f（）一e‘“。“—”“＼2一）—””“”—”一“—“”””“’n—。。…     

费玛引理的一种推广

如所周知，微积分中有一条经典的费玛引理：可微函数在极值点的导数为零．这是可微函数取得极值的必要条件．下面命题可以看作费玛引理的一种推广．命题是定义在R上的可微且有下界的实值函数，则对任意，存在X使证今因为f（x）有下界，故有，于是对任一取定的函数值，存在X＞使当时，又因在闭区间上连续，故在，上取得最小值．而因此有从而可知x是在R上的最小值点，即有由三角不等式得上述命题表明，即使f（X）在R上的下界未必达到，但有推论在上述命题的条件下，存在数列（Xn）使证只需在命题中取可．对多元函数，也有相应的结论成立．…     

关于曲线,曲面积分对称性的应用初探

在一元函数定积分和多元函数重积分计算中，对称区间或对称区域上奇偶函数的良好性质将大大简化其运算，在曲线、曲面积分中，奇偶函数在对称曲线、曲面上也具有这些良好性质。命题一设分段光滑平面曲线L关于X轴对称，而人X，火是L上的连续函数，那么门）若f（x，－y）＝f（x，y），则，其中L1是L在上半平面的部分；（2）若f（x，－y）＝-f（x，y），则证设。。。…I，。，x。。。，。f。x，。。－，。。。。。。，…。。。－。l。ds－0命题二设分段光滑平面曲线L关于X轴对称，L在上半平面的走向与在下半平面的走向相反，而人工，／在L…     

再探函数f（a＋x）与f（a-x）的图像性质

文[1]研究了两种不同情况：一种是函数f（a＋x）与函数f（a-x）的图像关于直线对称的问题;另一种是函数f（x）对一切x∈R满足f（a＋x）=f（a-x）都成立,函数f（x）图像关于直线对称的问题．     

多元函数取条件最值的充分条件

根据泰勒公式以及实二次型的正定理论，本文介绍”中利用矩阵判定函数取得条件最值的充分条件，该结论具有一般性。若z＝f（x）与gk（x）船可微，则z＝f（x）在gk（x）＝0时（k＝1，2，…，m且m＜n）于c处取条件最值的必要条件是：存在人一（x，砧，…，此）ER”，使得点风（c，入）是拉格朗回函数。）的稳定点，这里如果在此基础上我们对有关函数的限制加强，则可继续作如下讨论。设P。什，入）是拉氏函数的稳定点，X一八X）与以（X）是二阶连续可徽的，设A是满足约束条件：g。（x）一0的一切点x的集合，则任取c的充分小的0邻域U（c，…     

双障碍问题的逐次逼近阻尼牛顿法

1．引言及算法考虑Rn中的双障碍问题：求＊E年使其中f：Rn→Rn连续可微,c＝｛x-∈Rn|0≤x≤c｝,c∈Rn为常向量．若记c＝（c1,…,cn）T,则不准证明问题（1）等价于求解下面的非光滑方程组其中算子max,min是指分量的最大或最小．显然,由（2）式定义的函数H：Rn→Rn的第i个分量函数Hi：Rn→R为由（2）定义的函数H一般不是厂可微的,但我们可对H作如下分解：设住k｝是一单调递减且趋于O的正数序列,xk00,八k（）都是R”－＋R”的映射,其中bk（儿,W汕地分别由下式定义：其中圳的二v：二;＜人（x）一。k｝,B（x）二F：人（……     

解微分方程时应注意的两点

笔者认为，初学者在解微分方程时，应注意两点：（一）注意变量x,y地位的对称性。即在判别微分方程的类型或解微分方程时，若按x为自变量、y为函数时不易处理，可转而考虑按x为自变量、x为函数时的情形。为便于应用，现说明如下：a．一阶齐次方程的两种形式：（这里x为自变量），或：生二。（半）（这里y为自变量）．””dH－”，“”““““““““””b．一阶线性微分方程的两种形式：dyn。、。，、，、。。、，。。，。、三十P（x）y一Q（x）（这里y为x的函数），dH“”—”“””—””““H““““。。。／，。dx、‘＾或三十P（…     

局部凸空间中的可微性定理和扰动优化或变分原理(英文)

通过对局部凸空间上凸函数可微性的讨论,首先建立了关于凸函数β可微性的特征定理;定义在局部凸空间Ｅ的非空开凸子集Ｄ上的每个连续凸函数ｆ均在Ｄ的一个稠密的子集上β－可微（也称Ｅ具有β－ＬＰ性质）的充分必要条件为其对偶Ｅ“中的每个ｗ~*紧凸子集均是自己ｗ~*一β暴露点的ｗ~*　闭凸包;然后进一步证明了Ｅ~*上的ｗ~*一β扰动优化定理成立,即定义在Ｅ~*的每个有界ｗ~*闭集Ａ~*上的ｗ　下半连续有下界的函数ｇ以及每个ε　＞０均存在ｘ０ 　Ａ及ｘ　 Ｅ满足使得（ｇ＋ｘ）（ｘ　）＝ｉｎｆＡ　（ｇ＋ｘ）且｛ｘｉ　｝　Ａ　,（ｇ＋ｘ）（ｘｉ　）→ｉｎｆＡ　（ｇ＋ｘ）推出 ｘｉ　－ｘｏ　,当且仅当 Ｅ具有β－ＬＰ性质．     

半无限极大极小问题的极大熵方法

给出了一种求解半无限极大极小问题的极大熵方法，其基本思想是将半无限极大极小问题用有限维的可微无约束优化问题来近似．研究了方法的一些性质，并证明了方法的收敛性．文末的数值结果说明：这种方法是可行的，而算法的构造比已知的算法要容易得多，因而易于在工程设计中推广应用．     

Meshfree Approximation for Stochastic Optimal Control Problems

In this work,we study the gradient projection method for solving a class of stochastic control problems by using a mesh free approximation ap-proach to implement spatial dimension approximation.Our main contribu-tion is to extend the existing gradient projection method to moderate high-dimensional space.The moving least square method and the general radial basis function interpolation method are introduced as showcase methods to demonstrate our computational framework,and rigorous numerical analysis is provided to prove the convergence of our meshfree approximation approach.We also present several numerical experiments to validate the theoretical re-sults of our approach and demonstrate the performance meshfree approxima-tion in solving stochastic optimal control problems.     

On the SQH Scheme to Solve Nonsmooth PDE Optimal Control Problems

A sequential quadratic Hamiltonian (SQH) scheme for solving different classes of nonsmooth and nonconvex partial differential equation (PDE) optimal control problems is investigated considering seven different benchmark problems with increasing difficulty. These problems include linear and nonlinear PDEs with linear and bilinear control mechanisms, nonconvex, and discontinuous costs of the controls, L¹ tracking terms, and the case of state constraints. The SQH method is based on the characterization of optimality of PDE optimal control problems by the Pontryagin’s maximum principle (PMP). For each problem, a theoretical discussion of the PMP optimality condition is given and results of numerical experiments are presented that demonstrate the large range of applicability of the SQH scheme.     

A Center Cutting Plane Algorithm for a Likelihood Estimate Problem

We describe a method for solving the maximum likelihood estimate problem of a mixing distribution, based on an interior cutting plane algorithm with cuts through analytic centers. From increasingly refined discretized statistical problem models we construct a sequence of inner non-linear problems and solve them approximately applying a primal-dual algorithm to the dual formulation. Refining the statistical problem is equivalent to adding cuts to the inner problems.     

求解最大团问题的熵正则化方法

最大团问题是组合优化的一个经典问题.在Motzkin和Straus的二次规划模型基础上,给出一种求解该问题的熵正则化算法.引进熵函数有两个目的,一是将问题的求解纳入信息论方法的框架,二是通过它的引进改善问题的凸性.几个标准考题的计算结果表明,该算法稳定有效.     

An alternating iterative method and its application in statistical inference

This paper studies non-convex programming problems. It is known that, in statistical inference, many constrained estimation problems may be expressed as convex programming problems. However, in many practical problems, the objective functions are not convex. In this paper, we give a definition of a semi-convex objective function and discuss the corresponding non-convex programming problems. A two-step iterative algorithm called the alternating iterative method is proposed for finding solutions for such problems. The method is illustrated by three examples in constrained estimation problems given in Sasabuchi et al. （Biometrika, 72, 465472 （1983））, Shi N. Z. （J. Multivariate Anal., 50, 282-293 （1994）） and El Barmi H. and Dykstra R. （Ann. Statist., 26, 1878 1893 （1998））.     

Lomax分布极大似然估计的两点研究

本文研究了Lomax分布参数极大似然估计的存在性和估计量的收敛性问题.利用严格的分析法和中心极限定理,获得了Lomax分布极大似然估计的存在性和估计量的渐近正态分布的结果,进一步推广到了有缺失数据的两个Lomax总体中,参数的极大似然估计有强相合性和渐近正态性.     

Constraint Programming Based Lagrangian Relaxation for the Automatic Recording Problem

Whereas CP methods are strong with respect to the detection of local infeasibilities, OR approaches have powerful optimization abilities that ground on tight global bounds on the objective. An integration of propagation ideas from CP and Lagrangian relaxation techniques from OR combines the merits of both approaches. We introduce a general way of how linear optimization constraints can strengthen their propagation abilities via Lagrangian relaxation. The method is evaluated on a set of benchmark problems stemming from a multimedia application. The experiments show the superiority of the combined method compared with a pure OR approach and an algorithm based on two independent optimization constraints.     

Maximum principle for the finite element solution of time‐dependent anisotropic diffusion problems

Preservation of the maximum principle is studied for the combination of the linear finite element method in space and the θ ‐method in time for solving time‐dependent anisotropic diffusion problems. It is shown that the numerical solution satisfies a discrete maximum principle when all element angles of the mesh measured in the metric specified by the inverse of the diffusion matrix are nonobtuse, and the time step size is bounded below and above by bounds proportional essentially to the square of the maximal element diameter. The lower bound requirement can be removed when a lumped mass matrix is used. In two dimensions, the mesh and time step conditions can be replaced by weaker Delaunay‐type conditions. Numerical results are presented to verify the theoretical findings. © 2013 Wiley Periodicals, Inc. Numer Methods Partial Differential Eq, 2013     

空间中高阶常微分方程周期边值问题的解的存在性(英文)

利用单调迭代方法 ,本文获得了 Banach空间中高阶常微分方程周期边值问题的解的存在性结果 ,推广了文 [3 ]中对应结果