1999年全国高中联赛第三题的简解

题目　已知当ｘ∈［０,１］时,不等式ｘ２ｃｏｓθ－ｘ（１－ｘ）＋（１－ｘ）２ｓｉｎθ＞０恒成立,试求θ的取值范围．这是１９９９年全国高中数学联合竞赛试题第三题,下面给出一种有别于“标准答案”的简单解法．解　若对一切ｘ∈［０,１］,恒有ｆ（ｘ）＝ｘ２ｃｏｓθ－ｘ（１－ｘ）＋（１－ｘ）２ｓｉｎθ＞０,则　ｓｉｎθ＝ｆ（０）＞０,ｃｏｓθ＝ｆ（１）＞０,∴　２ｋπ＜θ＜２ｋπ＋π２,ｋ∈Ｚ．（１）又　ｆ（ｘ）＝（１＋ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ）ｘ２－（１＋２ｓｉｎθ）ｘ＋ｓｉｎθ＝（１＋ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ）［…     

与四面体内点有关的一类不等式

笔者在文［１］对于初等对称函数Ｅｋ（ｘ）＝Ｅｋ（ｘ１,…,ｘｎ）＝∑１≤ｉ１＜…＜ｉｋ≤ｎΠｋｊ＝１ｘｉｊ,ｋ＝１,２,…,ｎ建立了定理１设ｘｉ＞０,ｉ＝１,２,…,ｎ且∑ｎｉ＝１ｘｉ＝１,则对于ｋ＝１,２,…,ｎ,有０≤Ｅｋ（１－ｘ）－Ｅｋ（ｘ）≤...     

区间上平顶单峰扩张自映射的周期轨道

设ｔ（０＜ｔ＜１）是一个常数，ｎ≥３是奇数，ｍ≥０及ｋ≥１是整数，Ｐ０（ｘ）＝ｘ－１，Ｐｉ（ｘ）＝（ｘ２ｉ－１－１）Ｐｉ－１（ｘ）（ｉ≥１），ｒｍｎ（ｔ）及ｒｋ（ｔ）分别是方程Ｐｍ（ｘ）（ｘ２ｍｎ－２ｘ２ｍ（ｎ－２）－１）－ｔ（ｘ２ｍｎ－１）（ｘ２ｍ＋１）＝０及Ｐｋ－１（ｘ）－ｔ（ｘ２ｋ－１＋１）＝０在（１，＋∞）上的唯一实根，ｆ是闭区间Ｉ＝［０，１］上的峰顶区间长度为ｔ的平顶单峰扩张自映射．本文证明了，若ｆ的扩张常数λ≥ｒｍｎ（ｔ）（或＞ｒｋ（ｔ）），，则ｆ有２ｍｎ（或２ｋ）周期点．此外，本文还指出，当１＜λ＜ｒｍｎ（ｔ）（或≤ｒｋ（ｔ）时，在Ｉ上存在着具有扩张常数λ及峰顶区间长度ｔ却无２ｍｎ（或２ｋ）周期点的平顶单峰扩张自映射     

一类线性errors－in－variables模型的参数强相合估计及其a．s．收敛速度

本文讨论了如下一类线性ｅｒｒｏｒｓ－ｉｎ－ｖａｒｉａｂｌｅｓ模型——多元线性结构关系模型β′ｘｋ＋α＝０，ξｋ＝ｘｋ＋εｋ．｛ｋ＝１，２，…，ｎ．其中，｛ｘｋ：ｋ＝１，２，…，ｎ｝为一组ｉ．ｉ．ｄ．的ｍ维随机向量，｛εｋ：ｋ＝１，２，…，ｎ｝是ｉ．ｉ．ｄ．的随机误差，Ｅ（ε１）＝０，Ｖａｒ（ε１）＝σ２Ｉｍ．且｛ｘｋ：ｋ＝１，２，…，ｎ｝与｛εｋ：ｋ＝１，２，…，ｎ｝相互独立．在一些条件下，我们证明了估计量β，α，σ２的强相合性、唯一性，并给出了估计量的收敛速度为ｏ（ｎ－１－１ｑ），这里ｑ∈［１，２）．对于Ｅ（ｘ１）ｕ１和Ｖａｒ（ｘ１）Ｖｘ的估计也得出了同样的结果     

多维指数族分布的参数线性容许估计的一个充分条件

本文利用唯一的Ｂａｙｅｓ估计是容许估计的原理,构造了一个先验分布π１（θ）＝Ｍβ－１（θ）ψ（θ）ｅｘｐ∑ｎｉ＝１∫θｉθｉ０ｂ－ｒｉ（ｔ）ａｉｎｄｔｉ,当它满足一定的条件时,证明了在均方损失下,多维指数族分布ｆθ（ｘ）＝β（θ）ｅｘｐθ′ｘ的参数ｒ（θ）的唯一Ｂａｙｅｓ估计为线性函数ａ′ｘ＋ｂ,因而也是容许估计     

部分线性模型中估计的收敛速度

考虑回归模型（Ⅰ）：其中（ｘ＿ｉ，ｔ＿ｉ）是固定非随机设计点列，ｘ＿ｉ＝（ｘ＿（ｉｌ），…，ｘ＿（ｉｐ））＇β＝（β＿１，…，β＿ｐ）＇（ｐ＞１），ｇ是定义在［０，１］上的未知函数，β是未知待估参数，０＜ｔ＿ｉ＜１，ｅ＿ｉ是ｉ．ｉ．ｄ．随机误差，且Ｅｅ＿ｉ＝０，Ｅｅ＝σ￣２＜∞。基于ｇ的估计取一类非参数权估计（包括常见的核估计和近邻估计），我们讨论了β的最小二乘估计及ｇ的估计的最优强弱收敛速度。     

一类奇异非线性边界值问题正解的存在性和非唯一性

本文研究了一类奇异非线性边界值问题ｇ^ｐ（ｘ）ｇ″（ｘ）＋ｈ（ｘ）＝０，－ｋ＜ｘ＜１，ｇ′（－ｋ）＝Ｃ，ｇ（１）＝０，ｋ＞０正解的存在性和非唯一性．问题起源于幂律流体理论中著名的边界层方程．     

R（0，θ）分布族参数的矩估计与最大似然估计

本文讨论了均匀分布族｛Ｒ（０，θ），θ＞０｝中参数θ的矩估计及最大似然估计的效率及相合性，结果表明θ修正后的最大似然估计要优于θ的矩估计。     

不等式“有解”与“恒成立”

不等式历来是高考和竞赛命题的热点．不等式“有解”与“恒成立”是容易混淆的问题．下面给出一组命题,说明两者之间的区别．Ⅰ　ａ＞ｆ（ｘ）恒成立　　ａ＞ｆｍａｘ（ｘ）;Ⅱ　ａ＜ｆ（ｘ）恒成立　　ａ＜ｆｍｉｎ（ｘ）;Ⅲ　ａ＞ｆ（ｘ）有解　　ａ＞ｆｍｉｎ（ｘ）;Ⅳ　ａ＜ｆ（ｘ）有解　　ａ＜ｆｍａｘ（ｘ）．例１　不等式ｋｘ２＋ｋ－２＜０有解,求ｋ的范围．解　ｋｘ２＋ｋ－２＜０有解　ｋ（ｘ２＋１）＜２有解ｋ＜２ｘ２＋１有解　ｋ＜［２ｘ２＋１］ｍａｘ＝２　（应用命题Ⅳ）∴　　　　ｋ∈（－∞,２）．…     

一个高阶三点边值问题的可解性

本文考虑以下三点边值问题：ｘ＾（ｎ）＝ｆ（ｔ，ｘ，．．．，ｘ＾ｎ－１）（０≤ｔ≤１），ｘ（０）＝ξ１，ｘ＾（ｉ）（ｃ）＝ξｉ＋１（０≤ｉ≤ｎ－３），ｘ（１）＝ξｎ，其中ｃ∈（０，１）ｇｎ ξｉ∈Ｒ＾ｋ是给定的，利用基于度理论的一定不动点定理，得到了关于以上边值问题的某些存在唯一性结果。     

基于校正函数的一类具三角结构的非线性系统的自适应控制

１引言 考虑如下的具有二角结构的作线性系统ＬＰＴＳ（ｌｉｎｅａｒｌｙ　ｐａｒａｍｅｔｅｒｉｚｅｄ ｔｒｉａｎｇｕｌａｒｓｔｒｕｃｔｕｒｅ）．其中ｘ＝（ｘ１,．……ｘｎ）Ｔ０∈Ｒｎ为系统的状态,ｕ∈Ｒ为控制输入,θ∈Ｒｐ为未知常值参数向量,γｉ０及γｉ′,β′（ｘ）β０为已知的光滑非线性函数,γｉ０（０）＝０,γｉ′（０）＝０,β０（０）≠０;（ｉ＝１,…,ｎ）,对这样的系统,Ｄ．Ｓｅｔｏ,Ａ．Ｍ．Ａｎｎａｓｗａｍｙ和Ｊ．Ｂａｉｌｌｉｅｕｌ在［１］中进行了讨论,但是他们对同一参数用了多个估计,使得系…     

两个不等式的简捷证法

下面给出的两类不等式问题,一般是通过代换的方法证明．本文给出直接简捷的证明．命题１　设ｘｉ∈Ｒ＋（ｉ＝１,２,…,ｎ）且ｘ２１１＋ｘ２１＋ｘ２２１＋ｘ２２＋…＋ｘ２ｎ１＋ｘ２ｎ＝ａ（０＜ａ＜ｎ）,求证：ｘ１１＋ｘ２＋ｘ２２１＋ｘ２２＋…＋ｘ２ｎ１＋ｘ２ｎ≤ａ（ｎ－ａ）①证　由题设易知：１１＋ｘ２１＋１１＋ｘ２２＋…＋１１＋ｘ２ｎ＝ｎ－ａ．由于　１１＋ｘ２ｋ＋ｎ－ａａ·ｘ２ｋ１＋ｘ２ｋ　　≥２１１＋ｘ２ｋ·ｎ－ａａ·ｘ２ｋ１＋ｋ２ｋ　　＝２ｎ－ａａ·ｘｋ１＋ｘ２ｋ）（ｋ＝１,２,…,ｎ）,此ｎ式相…     

条件中位数L_1－模核估计的逐点相合性

设（Ｘ，Ｙ）．（Ｘ１，Ｙ１），（Ｘ２，Ｙ２），…为Ｒｄ×Ｒ１上ｉ．ｉ．ｄ．随机向量序列。Ｙ对Ｘ的条件中位数θ（ｘ）定义为在Ｘ＝ｘ时Ｙ的条件分布函数的中位数．校函数Ｋ（·）是Ｒｄ上正实值函数，对ｘ∈Ｒｄ，θ（ｘ）的Ｌ１－模核估计θｎ（ｘ）定义由（１）给出．本文中，我们将文献［４］的均匀核法推广至一般核的情况，并在定义了θ的Ｌ１－模核估计基础之上，研究了其逐点相合性质．     

一个对称函数下界的加强

记ｆｋ（ｘ１…，ｘｎ）＝Ｅｋ（１－ｘ１，…，１－ｘｎ）－Ｅｋ（ｘ１，…，ｘｎ），ｋ＝１，…ｎ其中Ｅｋ（ｘ１，…，ｘｎ）为初等对称函数，并规定当ｋ＝０时，Ｅｋ（ｘ１，…，ｘｎ）＝１，当ｋ＜０或ｋ＞ｎ时，Ｅｋ（ｘ１，…，ｘｎ）＝０．笔者在文［１］证明了：...     

几何分布时间序贯检验的贝叶斯推断

设有统计模型｛ｘ,Ｂｘ,Ｐθ｝,θ∈（０,１）,其中Ｐθ为几何分布：Ｐθ（Ｘ＝ｋ）＝（１－θ）θ＾ｋ－１ｋ＝１,２,…。考虑检验问题：θ＝θｏ ｖｓ． θ＝θ１（０〈θ０〈θ１〈１）本文对一种依次试验的时间序贯样本,给出了上述检验问题的贝叶斯停止判决法则,其中损失函数为试验费用和误判损失之和,贝叶斯停止判决法则由后验概率的两组界（上界和下界）所给出。     

二阶中立型差分方程的振动性与渐近性

考虑二阶中立型差分方程 △~２（ｘ_ｎ－ｃｘ_（ｎ－ｒ）＋∑ｑ_（ｉ,ｎ）ｘ_（ｎ－σ_ｉ）＝０（ｎ＝０,１,２,…） （１）当 Ｃ＞０时我们得到了方程的所有解振动或非振动解趋于零的若干充分条件,本文的结果推广了文［２］中的结果．     

亚纯函数的幅角分布及其增长性

本文考虑了亚纯函数的幅角分布及其增长性的关系，得到了如下定理：设ｆ（ｚ）为亚纯函数，下级μ（μ〈＋∞，ａｒｇｚ＝θｋ（ｋ＝１，２，…，ｑ；０≤θ１〈θ２〈…〈θｑ〈２π，θｑ＋１＝θ１＋２π）为ｑ（１≤ｑ〈＋∞）条半直线使对Ａ↓ε〉０有：ｌｉｍｒ→∞↑－ｌｏｇ＋ｎ↑－（∪ｋ＝１↑ｑΩ↑－（θｋ＋ε，θｋ＋１－ε；ｒ），ｆ＝ｘ）／ｌｏｇｒ≤ρ〈＋∞ ｘ＝０，∞则当存在一非负整数ｌ使ｆ＾（ｌ）（ｚ）（     

无界域上Schrodinger型方程的指数吸引子

本文在［１］的基础上,证明了Ｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒ型方程ｔｕ＝ （ｋ＋ ｉβ）△ｕ－ ｜ｕ｜ρｕ－ λｕ－ ｇ（ｘ）, ｕ（ｘ, ０）＝ ｕ０． 其中ｋ, ρ, λ＞ ０, ｘ∈Ｒｎ 在加权ｓｏｂｏｌｅｖ 空间中指数吸引子的存在性．     

一类序保持系统解的收敛性

本文研究微分方程组ｘｉ＝Ｆｉ（ｘ１，…ｘｎ）（ｘ∈Ｒｎ＋）解的收敛性．如果该系统满足下列条件：（ｉ）Ｆ（Ｏ）Ｏ；（ｉ）Ｆｉ（ｘ１，…ｘｎ）关于ｘｋ是单调增的（ｋ≠ｉ）；（ｉｉ）Ｆ（ｘ＊ｇ（ｓ））ｈ（ｓ）＊Ｆ（ｘ）（０ｓ１），这里ｘ＊ｙ＝（ｘ１ｙ１，…ｘｎｙｎ），ｇ，ｈ：［０，１］→［０，１］ｎ满足ｇｉ（０）＝ｈｉ（０）＝Ｏ，ｇｉ（１）＝ｈｉ（１）＝１，Ｏ＜ｇｉ（ｓ），ｈｉ（ｓ）＜１，ｓ∈（０，１）；（ｉｖ）系统的每个解在Ｒｎ＋中有界，则每个解收敛于奇点．本文还把这一结果推广到离散的序保持动力系统．     

相依样本下非参数回归函数递推型核估计的渐近分布

设（Ｘｉ，Ｙｉ）１≤ｉ≤ｎ为来自二元总体（Ｘ，Ｙ）的平稳，φ－混合样本，记ｍ（ｘ）△Ｅ（Ｙ│Ｘ＝ｘ），ｍ（ｘ）的一种递推型核估计为ｍｎ（ｘ）＝ｎ∑ｉ＝１ｈｉ＾－１Ｙｉｋ（（ｘ－Ｘｉ）／ｈｉ）／ｎ∑ｊ＝１ｈ＾－１ｊｋ（ｘ－Ｘｊ）／ｈｊ）。本文在一定的条件下证明了（ｎ／（ｎ∑ｊ＝１ｈ＾－１ｊ）＾１／２）（ｍｎ（ｘ１）－ｍ（ｘ１），ｍｎ（ｘ２）－ｍ（ｘ２），．．．ｍｎ（ｘｒ０）－ｍ（ｘｒ０））′依分布收