一类分式不等式的新证法

应用柯西不等式，容易得到如下不等式：设ａｉ，ｂｉ，ｃｉ＞０（ｉ＝１，２，…，ｎ）则：∑ｎｉ＝１ｂｉｃｉ∑ｎｉ＝１ａｉｂｉ≥∑ｎｉ＝１ａｉｃｉ２（＊）利用（＊）证明数学竞赛中型如：∑ｎｉ＝１ａｉｂｉ≥Ｐ（＊＊）这类难度较大的分式不等式，只要恰当地选取ｃ...     

一道分式不等式的进一步改进及简证

文［１］、［２］、［３］分别对下面的不等式进行了证明和改进．本文将作进一步的改进,并给出一个相当简洁的证明．设ｘｉ∈（０,１）,ｉ＝１,２,…,ｎ,且∑ｎｉ＝１ｘｉ＝ａ,∑ｎｉ＝１ｘ２ｉ＝ｂ,求证：∑ｎｉ＝１ｘ３ｉ１－ｘｉ≥ａ２＋ａｂ－ｎｂｎ－ａ．改...     

一组互相关联的不等式命题

大家知道，由ｎ元均值不等式可方便地得到如下一个不等式：设ａｉ∈Ｒ＋（ｉ＝１，２，…，ｎ，ｎ≥２），则∑ｎｉ＝１ａｉ∑ｎｉ＝１１ａｉ≥ｎ２；（１）不等式（１）相当有用，对它作适当代换，可引出一组互相关联的不等式命题；首先，对（１）作代换（Ｓ－ａ１，Ｓ－ａ２，…，Ｓ－ａｎ）→（ａ１，ａ２，…，ａｎ），其中Ｓ＝∑ｎｉ＝１ａｉ，得命题１　设ａｉ∈Ｒ＋（ｉ＝１，２，…，ｎ，ｎ≥２），∑ｎｉ＝１ａｉ＝Ｓ，则∑ｎｉ＝１１Ｓ－ａｉ≥ｎ２（ｎ－１）Ｓ　；（２）证明　由（１），∑ｎｉ＝１（Ｓ－ａｉ）∑ｎｉ＝１１Ｓ－…     

一个代数不等式的修正

刊文［１］引用的Ｐｏｐｏｖｉｃｉｕ不等式：设ｘｉ，ｙｉ≥０，且ｘｐ１－∑ｎｉ＝２ｘｐｉ＞０和ｙｐ１－∑ｎｉ＝２ｙｐｉ＞０（ｉ＝１，２，…，ｎ）．则对于ｐ≥１，有（ｘｐ１－∑ｎｉ＝２ｘｐｉ）（ｙｐ１－∑ｎｉ＝２ｙｐｉ）≤（ｘ１ｙ１－∑ｎｉ＝２ｘｉｙｉ）...     

一个代数不等式的推广

文［１］将Ｐｏｐｏｖｉｃｉｕ不等式修正为：“设ｘｉ,ｙｉ≥０（ｉ＝１,２,…,ｎ）,且ｘｐ１－∑ｎｉ＝２ｘｐｉ＞０和ｙｐ１－∑ｎｉ＝２ｙｐｉ＞０,其中０＜ｐ≤２,则（ｘｐ１－∑ｎｉ＝２ｘｐｉ）（ｙｐ１－∑ｎｉ＝２ｙｐｉ）≤（ｘ１ｙ１－∑ｎｉ＝２ｘｉｙｉ）ｐ①当且仅当ｐ＝２且ｘ１ｙ１＝ｘ２ｙ２＝…＝ｘｎｙｎ时,①式取等号”．这里,应加上“当０＜ｐ≤２,ｘ２＝ｘ３＝…＝ｘｎ＝ｙ２＝ｙ３＝…＝ｙｎ＝０时,①也取等号”才完整．本文我们将不等式①进一步推广为：定理　设ｘｉｊ＞０（ｉ＝１,２,…,ｍ,ｊ＝１…     

与质心相关的一个恒等式

基本定理设Ａ１，Ａ２，…，Ａｎ是Ｒ３的ｎ个质点，分别有质量ｍ１，ｍ２，…，ｍｎ，这里质量ｍｉ可以是任何实数，但要求∑ｎｉ＝１ｍｉ≠０．设Ａｉ的坐标是（ｘｉ，ｙｉ，ｚｉ），ｉ＝１，２，…，ｎ，记ｘｏ＝∑ｎｉ＝１ｍｉｘｉ∑ｎｉ＝１ｍｉ，ｙｏ＝∑ｎｉ＝１ｍ...     

对《从一道习题的创新谈创造性思维规律》一文中一处错误结论的纠正

《数学通报》上《从一道习题的创新谈创造性思维规律》一文，第３《问题的再创造》中，对新问题１６再创造的结论有错误．文中的新问题１６是：设ａｉ∈Ｒ＋，λｉ∈Ｒ＋（ｉ＝１，２，…，ｎ），则∑ｎｉ＝１λｉａαｉ∑ｎｉ＝１ａｉα∑ｎｉ＝１１λｉ１α－１－（α...     

数学问题解答

１９９８年８月号问题解答（解答由问题提供人给出）１１４６．设ｘｉ∈Ｒ＋，１≤ｉ≤ｎ，ｎ≥２，∑ｎｉ＝１ｘｉ＝Ｓ．试证：∑ｎｉ＝１ｘｉＳ－ｘｉ≥ｎｎ－１Ｓ证明∵ｘｉＳ－ｘｉ＝ＳＳ－ｘｉ－Ｓ－ｘｉ＝ＳＳ－ｘｉ＋ｎｎ－１Ｓ－ｘｉ－２ｎ－１ｎ－１Ｓ－ｘｉ≥２...     

一个不等式及其应用

据切比雪夫不等式,均值不等式∑ｎｉ＝１ａｉｍ≥（ｎｉ＝１ａｉ）ｍｎｍ－１,算术——调和平均不等式,很容易推出一个新的不等式ｎｉ＝１ａｉｍｂｉ≥（∑ｎｉ＝１ａｉ）ｍｎｍ－２ｎｉ＝１ｂｉ,（０＜ａ１≤ａ２≤…≤ａｎ且ｂ１≥ｂ２≥…≥ｂｎ＞０或ａ１≥...     

几何不等式的又一不同证明

几何不等式的又一不同证明吴爱军（江西广播电视学校３３００４６）［１］中称下述不等式为几何不等式：设ｐｉ＞０，ｘｉ＞０，（ｉ＝１，２，…，ｎ），ｎｉ＝１ｐｉ＝１，则有：ｎｉ＝１ｘｐｉｉ≤ｎｉ＝１ｐｉｘｉ式中的等号当且仅当ｘ１＝ｘ２＝…＝ｘｎ时成立...     

随机变量和n∑i=1dniXni收敛性

设（ｄｎｉ，ｉ＝１，．．．ｎ），（Ｘｎｉ，ｉ＝１，．．．，ｎ）分别为双下标常数列和随机变量列，众所周知，有关ｎ∑ｉ＝１ｄｎｉＸｎｉ的收敛性问题，在统计推断中有着广泛的应用，例如在异方差的回归分析中的重要应用（３），当（Ｘｎｉ，Ｆｎｉ，－∞＜ｉ＜∞）为鞅差序列时，文献（４）研究了∑ｉＸｎｉ的渐进正态性，本文获得ｎ∑ｉ＝１ｄｎｉＸｎｉ的Ｐ阶均方收敛及强收敛于零的充分条件，其（Ｘｎｉ，ｉ＝１，．．．，ｎ     

方差估计的随机加权分布的渐近展开—非独立同分布情形

设Ｘ１，．．．，Ｘｎ是一组独立的随机变量序列，设ＥＸｉ＝０，ＶａｒＺｉ＝μ２，ｉ＝１，２，．．．，ｎ，其中μ２是待估参数，当Ｘｉ，ｉ＝１，２，．．．ｎ给定后，分别用Ｄｎ＝ｎ∑ｉ＝１Ｖｉ（Ｘｉ－Ｘ）＾２－１／ｎｎ∑ｉ＝１（Ｘｉ－Ｘ）＾２及Ｕｎ＝ｎ∑ｉ＝１（Ｘｉ－Ｘ）＾２及Ｕｎ＝ｎ∑ｉ＝１Ｖｉ（Ｘｉ－ｎ∑ｉ＝１ＶｉＸｉ）＾２－１／ｎｎ∑ｉ－１（Ｘｉ－Ｘ）＾２两种形式的随机加权分布来逼近Ｔｎ＝１／ｎｎ∑     

一些不等式的共同解法

一些不等式的共同解法徐鸿迟（江苏泰州中学２２５３００）ａｉ∈Ｒ，ｂｉ∈Ｒ＋（ｉ＝１，２，…，ｎ），由柯西（Ｃａｕｃｈｙ）不等式很容易得到ｎｉ＝１ａ２ｉｂｉ（ｎｉ＝１ａｉ）２ｎｉ＝１ｂｉ（１）当且仅当ｂｉ＝ｋａｉ（ｋ为常数，ｉ＝１，２，…，ｎ）...     

一类分式不等式的证明

若ａｉ∈Ｒ,ｂｉ∈Ｒ＋（ｉ＝１,２,…,ｎ）,由柯西不等式得ｎｉ＝１ａ２ｉｂｉｎｉ＝１ｂｉ≥ｎｉ＝１ａｉｂｉ·ｂｉ２＝（ｎｉ＝１ａｉ）２．所以ｎｉ＝１ａ２ｉｂｉ≥（ｎｉ＝１ａｉ）２ｎｉ＝１ｂｉ①当且仅当ａ１ｂ１＝ａ２ｂ２＝…＝ａｎｂｎ时...     

厄米特矩阵的迹的几点性质

应用矩阵Ａ＝（ａｉｊ）∈Ｃｎ×ｎ的弗罗伯尼范数ＡＦ和谱范数ＡＳ，研究厄米特矩阵的迹的性质，得到几个结论：Ｔｒ（ＡＢ）＝∑ｎｉ＝１λｉ∑ｎｊ＝１ｔｉｊμｊ（λｉ，μｊ分别为Ａ，Ｂ的特征值，０≤ｔｉｊ≤１，且∑ｎｉ＝１ｔｉｊ＝１，ｊ＝１，２，…，ｎ）；Ｔｒ（ＡＢ）≤Ｔｒ（Ａ）ＢＳ；Ｔｒ（ＡＢ）Ｈ（ＡＢ）］≤Ｔｒ（ＡＨＡ）［ｍａｘ１≤ｉ≤ｎλｉ］２（λｉ是Ｂ的特征值）等．     

指数和的不等式

指数和的不等式是指形如∑ｎｉ＝１ａｉｂｒｉ≤∑ｎｉ＝１ａｉｂｉ（１）的不等式，其中０＜ａ１＜…＜ａｎ＜∞，０＜ｂ１＜…＜ｂｎ＜∞，（ｒ１，ｒ２，…，ｒｎ）是（１，２，…，ｎ）的任何置换．今年春节过后不久，陈希孺院士向他的学生们指出一个挑战性的问题：对...     

Poisson分布参数的渐近最优和可容许的经验Bayes估计

设Ｘ及（Ｘ１，Ｘ２…，Ｘｎ）分别为取自Ｐｏｉｓｓｏｎ分布Ｐ（θ）的当前样本和历史样本，参数θ的先验分布族Ｆ＝｛Γ（ｍ，β）：β＞０｝，其中ｍ＞０已知，Γ（ｍ，β）表示参数为（ｍ，β）的伽玛分布．对ｐ＞０，ｑ＞２的任意两个实数，记ｔｎ＝Ｘ＋∑ｎｉ＝１Ｘｉ＋ｐＸ＋∑ｎｉ＝１Ｘｉ＋ｐ＋ｑ＋（ｎ＋１）ｍ（Ｘ＋ｍ）则在平方损失函数ｌ（θ，ｄ）＝（θ－ｄ）２下，ｔｎ是θ的渐近最优和可容许的经验Ｂａｙｅｓ估计，而且收敛速度为Ｏ（１ｎ）．     

双下标随机变量顺序统计量和的一个强大数定律的推广

本文论证了当双下标随机变量的分布函数Ｆ（ｘ）满足∫∞－∞｜ｘ｜ｐｄＦ（ｘ）＜∞（ｐ＞２）时有强大数定律ｌｉｍｎ→∞１ｎ２∑ｎｉ＝１ｉＸ（ｎ）ｉ＝１２Ｅｍａｘ（Ｘｎ１，Ｘｎ２）ａ．ｓ．成立．其结果优于文献［１］．     

柯西不等式的一个简证

柯西不等式 :设ａｉ,ｂｉ ∈Ｒ ,ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ .则∑ｎｉ=1ａ2 ｉ ∑ｎｉ=1ｂ2 ｉ ≥ ∑ｎｉ=1ａｉｂｉ2 (1 )证明　记Ａ =∑ｎｉ=1ａ2 ｉ,Ｂ =∑ｎｉ=1ｂ2 ｉ,Ｃ =∑ｎｉ=1ａｉｂｉ.ＡＢＣ2 1 =∑ｎｉ=1ａ2 ｉＢＣ2 ∑ｎｉ=1ｂ2 ｉＢ=∑ｎｉ =1ａ2 ｉＢＣ2 ｂ2 ｉＢ≥ ∑ｎｉ =12 ·ａｉｂｉＣ =2 .所以 ＡＢＣ2 1 ≥ 2 ,即ＡＢ≥Ｃ2 .因此不等式 (1 )成立 .柯西不等式的一个简证@张延卫$江苏宿迁市教委!223800…     

一个函数不等式及其应用

一个函数不等式及其应用李康海（浙江永康一中３２１３００）本文给出一个与Ｊｅｎｓｅｎ不等式类似的函数不等式，文中，分别表示ｎｉ＝１，ｎｉ＝１．设ｘｉ＞０，ｐｉ＞０，且ｐｉ＝１（ｉ＝１，…，ｎ）．规定Ｍｎｒ（ｘ，ｐ）＝（ｐｉｘｒｉ）１ｒ０＜｜...