一个代数不等式的修正

刊文［１］引用的Ｐｏｐｏｖｉｃｉｕ不等式：设ｘｉ，ｙｉ≥０，且ｘｐ１－∑ｎｉ＝２ｘｐｉ＞０和ｙｐ１－∑ｎｉ＝２ｙｐｉ＞０（ｉ＝１，２，…，ｎ）．则对于ｐ≥１，有（ｘｐ１－∑ｎｉ＝２ｘｐｉ）（ｙｐ１－∑ｎｉ＝２ｙｐｉ）≤（ｘ１ｙ１－∑ｎｉ＝２ｘｉｙｉ）...     

与四面体内点有关的一类不等式

笔者在文［１］对于初等对称函数Ｅｋ（ｘ）＝Ｅｋ（ｘ１,…,ｘｎ）＝∑１≤ｉ１＜…＜ｉｋ≤ｎΠｋｊ＝１ｘｉｊ,ｋ＝１,２,…,ｎ建立了定理１设ｘｉ＞０,ｉ＝１,２,…,ｎ且∑ｎｉ＝１ｘｉ＝１,则对于ｋ＝１,２,…,ｎ,有０≤Ｅｋ（１－ｘ）－Ｅｋ（ｘ）≤...     

几何不等式的又一不同证明

几何不等式的又一不同证明吴爱军（江西广播电视学校３３００４６）［１］中称下述不等式为几何不等式：设ｐｉ＞０，ｘｉ＞０，（ｉ＝１，２，…，ｎ），ｎｉ＝１ｐｉ＝１，则有：ｎｉ＝１ｘｐｉｉ≤ｎｉ＝１ｐｉｘｉ式中的等号当且仅当ｘ１＝ｘ２＝…＝ｘｎ时成立...     

一个不等式及其应用

据切比雪夫不等式,均值不等式∑ｎｉ＝１ａｉｍ≥（ｎｉ＝１ａｉ）ｍｎｍ－１,算术——调和平均不等式,很容易推出一个新的不等式ｎｉ＝１ａｉｍｂｉ≥（∑ｎｉ＝１ａｉ）ｍｎｍ－２ｎｉ＝１ｂｉ,（０＜ａ１≤ａ２≤…≤ａｎ且ｂ１≥ｂ２≥…≥ｂｎ＞０或ａ１≥...     

一道分式不等式的进一步改进及简证

文［１］、［２］、［３］分别对下面的不等式进行了证明和改进．本文将作进一步的改进,并给出一个相当简洁的证明．设ｘｉ∈（０,１）,ｉ＝１,２,…,ｎ,且∑ｎｉ＝１ｘｉ＝ａ,∑ｎｉ＝１ｘ２ｉ＝ｂ,求证：∑ｎｉ＝１ｘ３ｉ１－ｘｉ≥ａ２＋ａｂ－ｎｂｎ－ａ．改...     

一类分式不等式的新证法

应用柯西不等式，容易得到如下不等式：设ａｉ，ｂｉ，ｃｉ＞０（ｉ＝１，２，…，ｎ）则：∑ｎｉ＝１ｂｉｃｉ∑ｎｉ＝１ａｉｂｉ≥∑ｎｉ＝１ａｉｃｉ２（＊）利用（＊）证明数学竞赛中型如：∑ｎｉ＝１ａｉｂｉ≥Ｐ（＊＊）这类难度较大的分式不等式，只要恰当地选取ｃ...     

关于Hardy－Littlewood－Polya不等式及其应用

此文主要结果是（１）设Ｐ＞１，０＜λ≤１及ｆ（ｘ）（≥０）∈Ｌｐ（０，∞），又设Ｋ（ｘ，ｙ）≥０和［Ｋ（ｘ，ｙ）］１／λ齐负一次式。若有Ｑ＞１，使λ＝２－１／Ｐ－１／Ｑ及　当λ＝１时为Ｈａｒｄｙ－Ｌｉｔｔｌｅｗｏｏｄ－Ｐｏｌｙａ不等式　当λ＝１时为Ｈａｒｄｙ－Ｌｉｔｔｌｅｗｏｏｄ－Ｐｏｌｙａ不等式之一改进。     

一组互相关联的不等式命题

大家知道，由ｎ元均值不等式可方便地得到如下一个不等式：设ａｉ∈Ｒ＋（ｉ＝１，２，…，ｎ，ｎ≥２），则∑ｎｉ＝１ａｉ∑ｎｉ＝１１ａｉ≥ｎ２；（１）不等式（１）相当有用，对它作适当代换，可引出一组互相关联的不等式命题；首先，对（１）作代换（Ｓ－ａ１，Ｓ－ａ２，…，Ｓ－ａｎ）→（ａ１，ａ２，…，ａｎ），其中Ｓ＝∑ｎｉ＝１ａｉ，得命题１　设ａｉ∈Ｒ＋（ｉ＝１，２，…，ｎ，ｎ≥２），∑ｎｉ＝１ａｉ＝Ｓ，则∑ｎｉ＝１１Ｓ－ａｉ≥ｎ２（ｎ－１）Ｓ　；（２）证明　由（１），∑ｎｉ＝１（Ｓ－ａｉ）∑ｎｉ＝１１Ｓ－…     

圆锥曲线的两个性质

本文给出了圆锥曲线的两个共性，它使曾在许多书刊中出现的若干结论都为其特例．引理关于ｘ，ｙ的二元二次方程（１－ｅ２）ｘ２＋ｙ２－２ｐｘ＋ｐ２＝０（ｐ＞０，ｅ＞０）①当ｅ＝１时表示抛物线；当０＜ｅ＜１和ｅ＞１时分别表示以（ｐ１－ｅ２，０）为对称中心、以ｘ...     

一个新颖不等式的加强

本刊“数学问题解答”栏第１１２９题给出了函数组ｘ１,ｘ２,…,ｘｎ的新颖不等式ｍａｘ１≤ｉ≤ｎ｛ｘｉ｝（ｘ１＋２ｘ２＋…＋ｎｘｎ）≥１２（ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎ）２（１）本文给出式（１）的一个加强,得到定理　设０≤ｄ≤２,ｘｉ＞０,１≤ｉ≤ｎ,则ｍａｘ１≤ｉ≤ｎ｛ｘｉ｝（ｘ１＋（１＋ｄ）ｘ２＋…＋（１＋（ｎ－１）ｄ）ｘｎ）≥（ｎ－１）ｄ＋２２ｎ（ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎ）２（２）等号成立当仅当ｘ１＝ｘ２＝…＝ｘｎ．证　视（２）式左边减去右边所得的差为ｄ的函数,记作ｇ（ｄ）;显见ｇ（ｄ）是一个线性函数;…     

相依样本下条件密度双重核估计的强相合性

设（Ｘ１，Ｙ１），…，（Ｘｎ，Ｙｎ）是从取值于Ｒ＾ｐ×Ｒ＾ｑ的随机向量（Ｘ，Ｙ）中抽取的随机样本，在给定Ｘ＝ｘ的条件下Ｙ具有条件密度ｆ（ｙ│ｘ）。在本文中，我们考虑ｆ（ｙ│ｘ）的通常的和递归形式的双重核估计ｆｎ（ｙ│ｘ）＝ｎ∑ｉ＝１Ｋ１（Ｘｉ－ｘ／ａｎ）Ｋ２（Ｙｉ－６／ｂｎ）／〔ｂｎ＾ｑｎ∑ｊ＝１Ｋ１（Ｘｊ－ｘ／ａｎ）〕ｆｎ（ｙ│ｘ）＝ｎ∑ｉ－１Ｋ１（Ｘｉ－ｘ／ａｉ）Ｋ２（Ｙｉ－ｙ／ｂｉ）／ｎ∑ｊ     

一个函数不等式及其应用

一个函数不等式及其应用李康海（浙江永康一中３２１３００）本文给出一个与Ｊｅｎｓｅｎ不等式类似的函数不等式，文中，分别表示ｎｉ＝１，ｎｉ＝１．设ｘｉ＞０，ｐｉ＞０，且ｐｉ＝１（ｉ＝１，…，ｎ）．规定Ｍｎｒ（ｘ，ｐ）＝（ｐｉｘｒｉ）１ｒ０＜｜...     

任意m值随机变量序列与独立序列的比较及其极限性质

设｛Ｘｎ，ｎ≥１｝是在Ｓ＝｛１，２，…，ｍ｝中取值的随机变量序列，其联合分布为ｐ（ｘ１，…，ｘｎ），（ｐ１１，ｐ１２，…，ｐ１ｍ）（ｉ＝１，２，…）是Ｓ上的一列分布，ｋ∈Ｓ，Ｓｎ（ｋ，ω）是ｋ在序列Ｘ１（ω），Ｘｎ（ω）中出现的次数。ψｎ（ω）＝∑＾ｎｉ＝１ｌｏｇｐｉｘｉ－ｌｏｇｐ（Ｘ１，…，Ｘｎ）称为（Ｘｉ，１≤ｉ≤ｎ）相对于乘积分布∏＾ｎｉ＝１ｐｉｘｉ的对数似然比，Ｓｎ（ｋ，ω）－∑＾ｎｉ＝１     

一类分式不等式的证明

若ａｉ∈Ｒ,ｂｉ∈Ｒ＋（ｉ＝１,２,…,ｎ）,由柯西不等式得ｎｉ＝１ａ２ｉｂｉｎｉ＝１ｂｉ≥ｎｉ＝１ａｉｂｉ·ｂｉ２＝（ｎｉ＝１ａｉ）２．所以ｎｉ＝１ａ２ｉｂｉ≥（ｎｉ＝１ａｉ）２ｎｉ＝１ｂｉ①当且仅当ａ１ｂ１＝ａ２ｂ２＝…＝ａｎｂｎ时...     

变系数一阶中立型微分方程的振动性

考虑了微分方程［ｘ（ｔ）－ｐｘ（ｔ－τ）］′＋∑ｎｉ＝１Ｑｉ（ｔ）ｘ（ｔ－τｉ）＝０ｔ≥ｔ０（１）其Ｐ∈Ｒ＋＝［０,∞）,τ,τｉ为正常数,Ｑｉ（ｔ）∈Ｃ（［ｔ０,∞）,Ｒ＋）（ｉ＝１,２,…,ｎ）且∑ｎｉ＝１∫∞ｔ０Ｑｉ（ｔ）ｄｔ＝∞,获得了方程（１）振动的几个充分条件;减弱了文［１］Ｑ（ｔ）为周期系数的条件,推广和改进了文［１］的相应结果,并且有一些结果是新的     

不等式研究成果集锦(2)

１３．设ｓ、ｔ是两个非零实数,对正整数ｒ＝１,２,…,ｎ－１,定义ｎ元正实数组ａ＝（ａ１,ａ２,…,ａｎ）和正权数组λ＝（λ１,λ２,…,λｎ）的一类加权对称平均　Ｐｒ（ａ,λ;ｓ,ｔ）＝∑１≤ｉ１＜…＜ｉｒ≤ｎ（∑ｎｋ＝１λｎ－∑ｒｊ＝１λｉｊ）（ｒ－１∑ｒｊ＝１ａｓｉｊ）ｔｓＣｒｎ－１∑ｎｋ＝１λｋ１ｔ,则对ｒ＝１,２,…,ｎ－２,当ｓ＜ｔ时,有Ｐｒ（ｒ,λ;ｓ,ｔ）≥Ｐｒ＋１（ｒ,λ;ｓ,ｔ）;当ｓ＞ｔ时,上边不等式反号．（张志华,肖振纲,１９９８,３）１４．△ＡＢＣ三边长分别为ａ、ｂ、ｃ…     

双下标随机变量顺序统计量和的一个强大数定律的推广

本文论证了当双下标随机变量的分布函数Ｆ（ｘ）满足∫∞－∞｜ｘ｜ｐｄＦ（ｘ）＜∞（ｐ＞２）时有强大数定律ｌｉｍｎ→∞１ｎ２∑ｎｉ＝１ｉＸ（ｎ）ｉ＝１２Ｅｍａｘ（Ｘｎ１，Ｘｎ２）ａ．ｓ．成立．其结果优于文献［１］．     

相依样本下非参数回归函数递推型核估计的渐近分布

设（Ｘｉ，Ｙｉ）１≤ｉ≤ｎ为来自二元总体（Ｘ，Ｙ）的平稳，φ－混合样本，记ｍ（ｘ）△Ｅ（Ｙ│Ｘ＝ｘ），ｍ（ｘ）的一种递推型核估计为ｍｎ（ｘ）＝ｎ∑ｉ＝１ｈｉ＾－１Ｙｉｋ（（ｘ－Ｘｉ）／ｈｉ）／ｎ∑ｊ＝１ｈ＾－１ｊｋ（ｘ－Ｘｊ）／ｈｊ）。本文在一定的条件下证明了（ｎ／（ｎ∑ｊ＝１ｈ＾－１ｊ）＾１／２）（ｍｎ（ｘ１）－ｍ（ｘ１），ｍｎ（ｘ２）－ｍ（ｘ２），．．．ｍｎ（ｘｒ０）－ｍ（ｘｒ０））′依分布收     

变系数高阶中立型泛函数分方程的振动性与渐近性

考虑变系数高阶中立型泛函微分方程ｄ＾ｎ／ｄｔ＾ｎ（ｘ（ｔ）＋ｐ（ｔ）ｘ（ｔ－τ（ｔ））＋ｍ∑ｉ＝１Ｐｉ（ｔ）ｘ（ｔ－τｉ（ｔ）＝０，在－１＜ｐ（ｔ）≤０情形下解的振动性与渐近性，取消了Ｐｉ（ｔ）≥ｑｉ＞０的限制，改进以往的相应结果，本文结果时高阶泛函方程Ｘ＾（ｎ）（ｔ）＋ｍ∑ｉ＝１ｐｉ（ｔ）ｘ（ｔ－τｉ（ｔ））＝０也是适用的。     

比较审敛法的一个推广

形如 的正项级数,如果对ｍ阶导数ｆ（ｍ）（ｘ）,存在一个幂函数ｘｐ＋ｍ（ｐ＞０）,使得ｌｉｍＸｐ＋ｍｆ（ｘ）（ｘ）＝ｋ（０≤ｋ＜＋　）．则当Ｐ＞１,ｋ＜＋　时．级数收敛;当ｐ≤１．ｋ＞０时。级数发散．