用图象法解三角不等式

某些三角不等式,利用图象法来解比较直观,不易搞错,同时有助于学生巩固和掌握三角函数的性质。现举例介绍如下。一解最简三角不等式例1 解不等式 sinx〉1/2 解在区间[0,2π]内作出函数y=sinx的图象,再作直线y=1/2,则此直线上方图象上的点(直线与图象的交点除外)的横坐标,就是原不等式在[0,2π]内的解集,因为正弦函数是以2π为周期的函数,所以得原不等式的解集是     

借助图形求三角不等式的解

现行教材中出现的某些求三角函数(或复合函数)的值域或定义域的问题需要求出三角不等式的解,而教材中对于解三角不等式无定法可循,我们在教学中对于利用单位圆或三角函数的图象来解三角不等式作了一些尝试,现举几例加以简要说明,以抛砖引玉。例1 解不等式2~(1/2) 2cosx≥0。解原不等式等价于不等式     

一类不等式的图象解法

例1,解不等式(x+7)~(1/2)>x+((x+1)~2-4x)~(1/2) 解:原不等式变形为 (x+7)~(1/2)>x+|x-1|在同一坐标系中分别作出函数y=(x+7)~(1/2) 与y=x+|x-1|的图象交于A、B(x_A相似文献   

巧用函数性质简化不等式

解不等式就是依据不等式的基本性质 ,对其进行同解变形 .如解不等式 :ｘ 1 >ｘ- 1可化为与之同解的ｘ 1≥ 0 ,ｘ - 1 <0 ,或ｘ 1 >0 ,ｘ - 1≥ 0 ,ｘ 1 >(ｘ - 1 ) 2 .再解之 .图　 1ｘ 1>ｘ - 1的图解如果再加分析 ,令ｙ1=ｘ 1是幂函数 ｙ=ｘ12 的图象向左平移一个单位所得 ,令 ｙ2 =ｘ- 1是一次函数 ,利用它们的图象及性质 (如图1 ) ,容易得知ｘ∈[- 1 ,3) ,其中交点 (3,2 )的横坐标可由解方程ｘ 1 =ｘ - 1解出 .这一解法将解不等式转化为对函数图象的研究讨论 ,直观明了 .　　由此得到启发 ,在解某些不等式时 ,可恰当转化…     

对代数教材处理的点滴意見

代数中讲过函数和它的图象以后,遇有机会,适当地让学生做一些用图解法解方程或不等式的习題是有很大好处的。这不仅可以复习以前学过的函数的图象,并且可以使同学們对問題的认識更为深刻,同时还能使他們体会到函数的图象的用处。例如,在讲高中代数第三册104頁的例4:解(x~2-3x 2)/(x~2-2x-3)<0时,我們先讲了課本中的方法,然后介紹下面的列表法。     

复合型三角函数定义域问题的图解法

复合型三角函数的定义域借助于图形 (单位圆、三角函数线、三角函数的图象、数轴等 )来解 ,具有直观、易懂、便于掌握的优点 ,同时还可以培养学生的创新意识 .下面介绍几种常用方法 .1　单位圆法如果确定定义域的不等式组是纯三角不等式组 ,则适应于单位圆法 .即在单位圆内找出三角不等式组中的各个不等式的解区域 (即解 (角 )的终边所在的区域 ) ,然后取其公共区域即交集 ,就是所求的定义域 .例 1　求函数ｙ =ｌｇ(ｓｉｎｘ·ｃｏｔｘ) +ｃｓｃｘ的定义域 .解　解不等式组　　　 ｓｉｎｘ·ｃｏｔｘ >0ｃｓｃｘ≥ 0(1)(2 )图 1　例 1图在单…     

利用初等函数的图象发现不等式

高中代数(甲种本)第一册讲述了初等函数的图象与性质;又在《微积分初步》介绍了利用一阶导数求过曲线y=f(x)上点的切线方程及利用二阶导数判定曲线y=f(x)在定义区间内凸向的方法。利用这些知识,我们可以通过作初等函数的图象发现一些不等式。     

巧用图象解题

怎样巧用函数图象解题呢?下面仅就八个方面的问题举例如下,相信一定能引起同学们的浓厚兴趣! 一、求函数的定义域例1 求函数f(x)=lg(4 3x-x~2) (sin(-x))~(1/2)定义域。解:函数的定义域由以下不等式组的解确定将①表示在x轴上,并作出②的图象。     

方程a~x=loga~x的解

一个方程的解可以看作两个函数的图象的交点的横坐标。反过来,方程的解又可以反映两个函数之间的某种关系,即它们的图象相交的情况。因此,可以利用函数的性质对方程的解,特别是直接求解很困难的某些超越方程的解的情况作出定性的讨论。也可以利用方程的解对函数的图象间的交点个数作出定量的研究,本文主要通过对函数y=x~(1/x)和y=x~x的性质的分析,就方程a~x=x和a~x=loga~x等的解的情况进行讨论。     

平底锅不等式的两种类型

<正>2019年最新修订的高中数学人教B版教材中有一类有趣的绝对值函数,其图象比较有特点,本文对这类函数的图象特征进行总结,旨在利用结论可以使同学们方便地在图象中求解问题,而不需要分类讨论.1平底锅不等式的两种类型(1)锅型不等式形如y=|λx-a|+|λx-b|的函数,其图象如平底锅的锅身,如图1所示.1)锅底的两个拐点坐标分别为|λx-a|=0和|λx-b|=0的根;     

用辅助切线法解一道联考函数题

2012年4月湖北省七市联考理科压轴题是一道文字简洁题意清晰的好题,题目是以学生最为熟悉的指数函数e~x和对数函数Inx为载体的函数问题,重点考查利用导数处理不等式恒成立问题的求解及不等式证明.本题意境深远,很有研究价值,本文笔者结合图象用辅助切线法来解这道联考函数题,与大家交流.题目已知函数f(x)=ae~x,g(x)=lnx-lna,其中a为常数,e=2.718…,且y=f(x)与y=g(x)的图象在它们与坐标轴交点处的切线互相平行.(Ⅰ)求常数a的值;(Ⅱ)若存在x使不等式(x-m)/(f(x))>x~1/2成立,求     

利用函数的凹凸性证不等式

利用函数的凹凸性,不仅可以用来深刻地研究函数的有关性质和绘制函数图象,同时还可以用来证明一类不等式。因此尽管在中学数学教学大纲中没有为此设立知识点,但通过第二课堂,适当介绍有关知识,无疑是有益的。     

变分不等式的极大熵函数方法

利用极大熵函数方法将不等式组及变分不等式的求解问题转化为近似可微优化问题,给出了不等式组及变分不等式问题近似解的可微优化方法,得到了不等式组和变分不等式问题的解集合的示性函数.     

不等式组与变分不等式的极大熵函数方法

利用极大熵函数方法将不等式组及变分不等式的求解问题转化为近似可微优化问题，给出了不等式组及变分不等式问题近似解的可微优化方法，得到了不等式组和变分不等式问题的解集合的示性函数．     

巧用“图象法”

高中数学统编教材第一册在第一章“指数方程和对数方程”一节中提到了“图象法”,教材中利用它来解一元方程。将方程化为等式两边都是初等函数(或简单的复合函数)f(x)=g(x)的形式,在同一坐标系中作出y=f(x)和y=g(x)的图象,其交点的横坐标即为方程的解。这种利用作图来解题的方法就是图象法。应用图象法来解一些不要求精确解的方程,既简单又明了。     

一类很纠结的问题

我们知道,求解含参数的不等式问题,最常见的方法是分离参数法.可是利用分离参数法求解2006以来全国卷中的不等式问题,却没有任何效果.以至于很多老师试图探索它们的巧解,比如:运用洛比达法则、利用函数图象的凹凸性、运用极限思想等等,然而上述巧解并不适合于高中数学     

例谈一类含参问题的解决策略

<正>在求解含参一元二次方程实根分布问题时,同学们首先想到是转化为函数零点来求解,也就是通过观察函数的图象,分析出应满足的条件,然后列出不等式(或不等式组)求解,很多问题还需要进行分类讨论,较为复杂.如果能充分挖掘实根的特性,用韦达定理探索根与系数的关系求解时会较为方便.     

解不等式

1.本单元重、难点分析解不等式是不等式研究的主要内容,也是高中数学的重要内容,是高考的必考内容之一.解不等式在数学中有着极其重要的地位,许多其他问题都可以转化为解不等式的问题,解不等式是解决函数定义域、值域、单调性、最值、取值范围、二次方程根的分布等问题的有力工具.在解决问题时,要依据题设、题断的结构特点和内在联系,选择适当的解决方案.本单元重点要掌握简单不等式(一元二次不等式、简单的分式不等式和绝对值不等式)的解法.整式不等式的解法是解不等式的基础,解其他不等式的基本思想是划归,即利用不等式的性质及函数的单调…     

例谈不等式恒成立问题

<正>我们知道,不等式恒成立的证明可以转化成对函数最值问题的研究,进而可以借助导数工具研究函数最值.而利用不等式的性质,可以对不等式进行等价转化,这就会使研究的函数模型发生变化.同时,我们可以从函数角度认识不等式,两个等价的不等式因为形式的不同,所对应的函数图象的关系也会有不同.今天我们通过一道题来体会此类问题解决的策略和值得关注的地方.     

优化不等式求解过程举隅

不等式的解法是《不等式》教学中的重点与难点，也是高考的热点．但不等式的求解问题往往运算量较大，若能抓住题目特点，选择合理的解题方法与途径，常常能减小运算量，优化求解过程．1以形助数直观简明例1解不等式X．（1991年“三南”高考试题）简析略解此题若单纯从“数”的角度去探求分析，需要分X≥0和X＜0两种情况讨论，若是数中构形，把不等式转化为两函数图象的位置关系来研究，则可避免分类讨论并获得简明直观的解法．在同一坐标系中作出函数和y=x的图象，如图1．由得二图象交点的横坐标X，由图象可知，原不等式的解＿。，、，，…