巧用“图象法”

高中数学统编教材第一册在第一章“指数方程和对数方程”一节中提到了“图象法”,教材中利用它来解一元方程。将方程化为等式两边都是初等函数(或简单的复合函数)f(x)=g(x)的形式,在同一坐标系中作出y=f(x)和y=g(x)的图象,其交点的横坐标即为方程的解。这种利用作图来解题的方法就是图象法。应用图象法来解一些不要求精确解的方程,既简单又明了。     

幂指函数图象的交点问题

在教学函数时,有这样一个问题:函数y=2~x与y=x~2图象的交点个数为()A.1B.2C.3D.以上都不对这是一个指数函数与幂函数图象的交点问题.大多数学生通过画草图得出第一象限和第二象限各有一个交点,选B.其实上面两个函数图象在第一象限内有两个交点(2,4)、(4,16),正确答案应为C.这说明仅凭草图找交点是很容易出错的.那么,一般的指数函数y=ax(a>0且a≠1)与幂函数y=xn(n∈Q)图象的交点情况又如何呢?大家知道,这两个函数图象的交点问题实际就是方程ax=xn根的问题.显然当n=0时,方程ax=x0没有实根,函数y=ax(a>0且a≠1)与函数y=x0图象无交点.下面我…     

图象法求方程近似解思想的几个应用

高中代数(甲种本)第一册68页,介绍了用图象求方程近似解。这个方法可以简述如下: 要求方程f(x)+φ(x)=O(*)的解,只须在同一坐标系作出y=f(x)及y=-φ(x)的图象,则它们交点的横坐标x=x_0就是原方程的近似解。     

巧用《几何画板》探求两函数“交点的个数”

在教学中,我们经常遇到求两个函数的交点个数或一个函数的零点个数问题,而这些函数中常常含有指数函数、对数函数、幂函数等等超越函数,若能巧妙地利用几何画板进行探求,就能顺利获解.下面就举几例说明,供大家参考.一、探求函数y=ax与y=xa(a>0且a≠1)的图象在x>0时交点的个数1.问题:(高一教材(人教A版必修1)同步作业第53页第4题):问函数y=2x与y=x2的图象在x>0时有几个交点?学生的主观错误:许多学生根据所画的局部图象,错误地认为两个函数只有一个交点.图12.(1)利用几何画板画出两函数的图象容易发现有两个交点,但是两个交点不十分明显;(2)…     

超越方程a~x=x(a>0且a≠1)根的分布

笔者曾在教学中遇到这样一个问题：当a＞1时,函数y＝ax的图象与函数y＝x的图象有无交点．对于中学生来讲,问题的难点在于：当a＞1时,如何取a使函数y＝αx的图象与函数y=x的图象有交点．问题的本质是超越方程ax=x的根的分布．本文将对这一问题利用分析的方法作深人地探讨．1根的分布定理1方程a"一x的根的分布：l）当。Me｝时,方程。x＝x无解;2）当a-e。时,方程a"一x有唯一解x-e;3）当1＜。＜e5时,方程。x一x有且只有两根今1,夸2,且占IE（工,庄）,主ZE（庄,十一）;4）当OMaMI时,方程a"一x有唯一解z,iE（0,1）．证明引进…     

对于方程a~x=x和a~(a~x)=x(a>0,a≠1)解的个数的探讨

本文讨论了两个方程a~x=x和a~(a~x)=x(a0,a≠1)解的问题,应用高等数学中的知识给出了两个方程解的存在条件和相应的个数,纠正了一些直观的错误,通过该问题的讨论可以加深学生对高数函数知识的理解和应用.     

互反函数一个结论的修正及应用

文 [1 ]给出了函数与其反函数图象交点位置的一个结论 :如果函数 y =f(x) (x∈A)在定义域A中是单调函数 ,那么它与其反函数图象的交点必在直线 y =x上 .其实 ,上述结论是错误的 .现给出两个反例 .图 1　反例 2图反例 1　函数 f(x)=1x,x∈ ( 0 ,+∞ )在定义域上单调递减 ,其反函数为其本身 ,故它们的函数图象重合 ,交点有无数个 ,但在直线 y =x上的交点只有 ( 1 ,1 ) .反例 2　文 [2 ]给出函数 y =ax 与其反函数y =logax的图象 ,当 0   

问题探究反思——一堂研究课的探索与实践

1从误解开始在一堂数形结合的研究课上,我在黑板上写了这样两道题目:方程lgx=sinx和2x=x2根的个数分别是多少?由于这二个方程都是超越方程,不可能直接求解,学生很容易想到利用图形来解决这两个问题,于是,二位同学在黑板上作了如下解答:题1令y1=lgx,y2=sinx.则这两个函数图象的交点的横坐标即是方程的解.因此这两条曲线的交点的个数即为方程根的个数.如图1所示:方程(1)有1个解.图1图2题2令y1=2x,y2=x2,如图2,方程(2)有两个解.这二位同学的解答受到大部分同学的肯定,但也有少数同学提出了不同意见.我说这两道题的解答确实有问题.课堂上反对声…     

函数y=x2与y=ax的图象交点个数探究

北师大版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第3.6节"指数函数、幂函数、对数函数增长的比较",借助"列表法"与"图象法"得到了函数y=x2与y=2x的图象在第一象限内有两个交点,那么函数y=x2与yax(a＞0且a≠1)的图象在第一象限内是否一定有两个交点?如果不是,交点情况又如何?本文拟对此作一探究.     

综合题新编选登

题170已知两个二次函数:y=f(x)=ax2 bx 1与y=g(x)=a2x2 bx 1,函数y=g(x)的图象与x轴有两个交点,其交点横坐标分别为x1,x2(x11时,设x3,x4是方程ax2 bx 1=0的两实根,且x31时,试判断x1,x2,x3,x4的大小关系;解1)由于函数y=g(x)的图象与x轴有两个交点,其交点横坐标分别为x1,x2(x10,∴|b2a|>1,即b2a>1或b2a<-1,∴-b2a<-1或-b2a>1成立,于是得抛物线y=f(x)的对称轴x=-b2a在(-1,1)的左侧或右侧,故y=f(x)在(-1,1)上是单调函数.2)由于x1…     

让数与形最佳地结合

借助图形来处理数学问题是数形结合法解题的主要表现.借形解题时,由于图形的构作具有较大的选择性,所以同一问题可用不同的图形来处理.只有适当转化条件、选择最优图形(能使解最直观、最简捷的图形)才能最大限度地发挥数形结合法的解题功效.例1利用计算器,求方程x3-3x 1=0的近似解(精确到0.1).分析本题是二分法求方程的近似解的一个范例.二分法求方程的近似解,先要用函数图象判断根所在的区间,数与形结合的如何,直接影响到判断的繁简与成功与否.思路1:作出y=x3-3x 1的图象,考察它与x轴交点横坐标所在的区间.思路2:原方程化为x3=3x-1,作出y=x…     

函数图象交点个数的确定

函数图象交点个数问题 ,是经常出现在各种练习和各类考试中的一种题型 .它的常规处理方法是运用“数形结合”的思想 .但是 ,“数形结合”并不总是有效的 .例如 ,要求函数y =2 x 与y =x2 的图象的交点个数 ,第二象限的交点是很明显的 ,但第一象限的两个交点却很难看出 ,除非学生看出当x =2时图象相交 ,而且要理解指数函数的增长速度比二次函数更快 .但是 ,如果这个题改为“函数 y =3x 与 y =x2 的图象的交点个数”呢 ?我们看不出相交的特殊点 ,怎么办 ?运用微积分的简单知识 ,可以更一般的解决这个问题 .定理　当a =ebe 时 ,函数y =ax(a >1)…     

从一道错题再谈函数图象的交点问题

文[1]中例2的题目与原作者提供的答案如下: 　　题目已知0相似文献   

一道试题的错解分析

剖析．上述两种解法得到两个不同的结论，谁对谁错呢？事实上，原函数图象与其反函数图象的交点不一定在直线y=x上，如y=1/x的反函数仍为y=1/x,故y=1/x的图象与其反函数的图象交点为y=1/x的图象上的任意点，从而易知原函数图象与其山反函数图象的交点不一定在直线y=x上，但有以下两个重要结论．     

"函数f(x)无零点方程f(x)=0无实根"吗?

在人教A版数学必修1教材中,关于"方程的根与函数的零点"给出了如下结论:方程f(x)=0有实数根(＜＝＞)函数y=f(x)的图象与x轴有交点(＜＝＞)函数y=f(x)有零点.上述结论明确了函数f(x)的零点、方程f(x)=0的实根、函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标之间的等价关系,这也是处理函数零点问题的重要方法和手段,即:将函数零点问题转化为相应方程的实根问题或相应函数图象的交点问题.……     

利用函数图象确定零点个数

<正>在高中必修课程体系中,判断函数零点的个数属于必学内容之一,函数零点个数的判断比较抽象,需要深入理解,与方程有关的根和函数的零点个数的内容主要包括两个理论以及由这两个理论推广出的一个理论.理论1:函数y=f(x)有零点?方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图象与x轴有交点.     

一个错误的结论

《数学通报》2006年第10期的文章《重视高中女生数学能力培养教学举措初探》中指出：“如何求函数y=x/1-3x的图象与其反函数（图象）的交点坐标？引导学生从反函数的性质考虑问题，利用原函数与反函数的图象交点落在直线y=x上，那么不必求出反函数，只需解方程x=x/1-3x即可迅速获解．”     

函数y=ax＋b／x的单调性及其应用

一、如何讨论函数y=ax+b/x(a>0,b>0)函数的单调性? 先从“图象”上来寻求函数性质,再作论证. 不妨先讨论具体的a、b值.例如:a=2、b=1,即研究函数y=2x+1/x的单调性. 1.用图象叠加法作出大致图象     

用图象法解三角不等式

某些三角不等式,利用图象法来解比较直观,不易搞错,同时有助于学生巩固和掌握三角函数的性质。现举例介绍如下。一解最简三角不等式例1 解不等式 sinx〉1/2 解在区间[0,2π]内作出函数y=sinx的图象,再作直线y=1/2,则此直线上方图象上的点(直线与图象的交点除外)的横坐标,就是原不等式在[0,2π]内的解集,因为正弦函数是以2π为周期的函数,所以得原不等式的解集是     

复合函数 f[φ(x)]图象的几何作法

函数是中学数学的重要概念之一,指导学生作好函数图象可以对函数的概念及其性质加强直观理解。中学课本上主要是用描点法来作图的,虽然二次函数和三角函数的图象也介绍了“平移法”。对于复合函数的图象如用描点法作图,常常先要讨论函数的性质,如定义域、单调性、奇偶生、周期性、极值等等,这就此较麻烦了。下面将介绍复合函数的几何作法。所谓复合函数就是:设Y=f(u),定义域为U,u= (x),其定义域为X,值域为U＇,若是UU＇,则称y为x的复合函数,记作y=f〔 (x)〕,其中u称为中间变量。中学课本上常见的函数,诸如y=lg(3x-1),y=sin(ωx+ ),y=1-x~2~(1/2)等等,就是复合函数。如果已知函数y=f(x)及y=(x)的图象,则用下列方法能作出y=f〔 (x)〕的图象。