局部对称Bochner-Kaehler流形的Kaehler子流形(Ⅱ)

一、引言在[7]中,我们证明了下面的定理A 设M~(n p)是复n p维局部对称Bochner-Kaehler流形,M~n是M~(n p)的复n≥2维紧致Kaehler子流形。令其中Ric(M)_x表示M~(n p)在点x的Ricci曲率。若M~n的截曲率K_M满足     

常曲率空间中具正Ricci曲率的子流形

设S~(n+p)(1)是一单位球面,M~n是浸入S~(n+p)(1)的具有非零平行平均曲率向量的n维紧致子流形.证明了当n≥4,p≥2时,如果M~n的Ricci曲率不小于(n-2)(1+H~2),则M~n是全脐的或者M~n的Ricci曲率等于(n-2)(1+H~2),进而M~n的几何分类被完全给出.     

复空间形式■~(2n)(C)中不存在平行平均曲率向量的紧致全实子流形

设(?)~2n(c)是实2n 维(相当于复 n 维)复空间形式,它的全纯截面曲率是常数 c.M~(?)是(?)~2n(c)的实 n 维子流形。着 M~n 上每点的切空间被(?)~2n(c)的复结构映射到 M~n 在该点的法空间中,则称 M~n 为全实子流形。令σ是 M~n 的第二基本形式,η=trace σ为 M~n 的平均曲率向量。若 H=‖η‖=const(≠0),且η/‖η‖在 M~n 的法丛中平行,则说 M~n 具有非零平行平均曲率向量。     

球空间S^n＋p（C）中的紧致极小子流形

设 M~n 是常曲率空间 S~(n+p)(c)的紧致极小子流形,设 K 和 Q 分别是 M~n 上每点各方向截面曲率和 Ricci 曲率的下确界,R 是 M~n 的数量曲率,本文利用 M~n 的内在量 KQ和 R,给出球空间中紧致极小子流形是全测地子流形的六个充分条件。     

局部对称共形平坦黎曼流形的极小子流形

设M~(n+2)是■+■维局部对称的共形平坦■曼流形,M~n是它的紧致的n维极小子流形(n≥4).本文证明,若M~n的每点各方向的(?)曲率的下确界Q>(n-2)K,其中K是M~(n+p)在该点的截面曲率的上确界,则M~n是全测地的,且有正常数截面曲率.     

Blaschke张量的行列式为常数的2维子流形的研究（英文）

本文研究了S^2+p中2维子流形的莫比乌斯刚性问题.设M~2是2+p维单位球S^2+p中的无脐子流形,M~2在S^2+p的莫比乌斯变换群下的四个莫比乌斯基本量为莫比乌斯度量g,Blaschke张量A,莫比乌斯形式Φ以及莫比乌斯第二基本形式B,利用不等式估计,证明了下列刚性定理:设x:M~2→S^2+p是2+p维单位球S^2+p中莫比乌斯形式消失的2维紧致子流形,Blaschke张量A的行列式Det A=c(const)> 0,若tr A≥1/4,那么x(M~2)莫比乌斯等价于S^2+p中常曲率极小子流形或者■中环面■,其中■.本文的证明补充了文献[3]中2维子流形情形.     

正曲率空间形式中超曲面的全脐性与高阶平均曲率

本文研究正曲率空间形式S~(n+1)(c)(c0)中紧致的闭的等距浸入超曲面M~n的全脐性质和高阶平均曲率,所得结果改进和推广了这方面最近有关定理.     

常曲率空间中平均曲率为常数的迷向子流形

设M~n是n维黎曼流形,S~(n+p)(e)是n+p维截面曲率为常数c的黎曼流形,设fM~n→S~(n+p)(c)是等距浸入,我们分别用和表示f(M~n)和S~(n+p)(c)的协变微分,那么浸入f的第二基本形式A为 A(X,Y)=x~Y-x~Y     

关于拟常曲率流形中子流形的不等式

拟常曲率黎曼流形V~(n+p)可由下面的黎曼曲率张量的形式来定义 本文的主要结果如下: 设M~n是V~(n+p)的子流形,且M~n的数量曲率R满足其中q≥n-2,是M~n的第二基本形式的模,则M~n的截面曲率不小于c,即K_M≥c. 特别地当V~(n+p)是常曲率流形时(即b=0),且如取q=n-2,则所得不等式已为B.Y.Chen和M.Okumura所证明。     

常曲率黎曼流形的共形平坦的极小超曲面(英文)

本文研究常曲率黎曼流形 S~(n+1)(c)中的共形平坦的极小超曲面 M~h,证明了下面结果.定理 设 M~h 是 n+1维常曲率黎曼流形 S~(n+1)(c)的共形平坦超曲面(n≥4),则 M~n是常数量曲率的极小超曲面的充要条件是:(1)M~n 的数量曲率 R=(n-1)c 时,M~n 是全测地超曲面,从而也有常曲率 c;(2)M~n 的数量曲率 R≠n(n-1)c 时,c>0和 M~n 局部可约为常曲率黎曼流形S~(n-1)(n/(n-1) c)与直线 R′的乘积.系,设 M~n 是具有非正常曲率 c 的黎曼流形 S~(n+1)(c)的共形平坦超曲面(n≥4),如果M~n 是常数量曲率的极小超曲面,则 M~n 是全测地超曲面。     

欧氏空间中紧致子流形的积分公式(英文)

本文研究了(n+p)维欧氏空间R~(n+p)中n维定向紧致无边子流形Mn的积分公式的问题.首先定义了M~n沿其单位平均曲率向量场ξ方向的高阶平均曲率H~r(0≤r≤n);然后,利用活动标架与外微分法,获得了关于Mn的一个新的积分公式.新公式推广了余维数p=1即超曲面情况下的经典积分公式.     

空间形式中紧致超曲面的刚性

设(M~n,g)是一个黎曼流形,f:M~n→Q~(n+1)(c)是一个等距浸入,其中Q~(n+1)(c)是n+1维的空间形式.如果对于任一个等距浸入f:M~n→Q~(n+1)(c),都存在等距变换φ:Q~(n+1)(c)→Q~(n+1)(c),使得φ·f=f,则称f(M~n)具有刚性.本文证明:如果超曲面是紧致的,(1)当c≤0时,如果紧致超曲面的维数大于或等于3,则紧致超曲面具有刚性;(2)当c0时,如果紧致超曲面的维数大于或等于5,则空间形式中紧致超曲面具有刚性;这推广了经典的Cohn-Vossen定理.     

Blaschke张量的行列式为常数的2维子流形的研究

本文研究了S^(2+p)中2维子流形的莫比乌斯刚性问题.设M^(2)是^(2+p)维单位球S^(2+p)中的无脐子流形,M^(2)在S^(2+p)的莫比乌斯变换群下的四个莫比乌斯基本量为莫比乌斯度量g,Blaschke张量A,莫比乌斯形式Φ以及莫比乌斯第二基本形式B,利用不等式估计,证明了下列刚性定理:设x:M^(2)→S^(2+p)是^(2+p)维单位球S^(2+p)中莫比乌斯形式消失的2维紧致子流形,Blaschke张量A的行列式Det A=c(const)>0,若tr A≥1/4,那么x(M^(2))莫比乌斯等价于S^(2+p)中常曲率极小子流形或者S^(3)(1/√1+c^(2))中环面S^(1)(r)×S^(1)(√1/1+c^(2)-r^(2)),其中r^(2)=2-√1-64c/4(1+c^(2)).本文的证明补充了文献[3]中2维子流形情形.     

局部对称Bochner-Kaehler流形的全实子流形(英文)

设(?)~n 为复 n 维局部对称 Bochner-Kaehler 流形,即其 Bochner 曲率张量恒消失,且又是局部 Cartan 对称的。显然,复空间型是局部对称 Bochner-Kaehler 流形.设 M~n 是(?)~n的 n 维全实子流形,Houh,C.S.,证明了:若 M~n 是紧致极小子流形,且其第二基本形式的长度平方‖σ‖~2<(n(n+1))/(4(2n-1))(?),((?)的定义见(32)),则 M~n 是全测地的,当(?)~n 为复射影空间 cp~n 且其常数全纯截面曲率等于4时,上述不等式成为‖σ‖<(n+n)/(2-(1/n)),且该结论为 Chen 和 Ogiue 得到,Ludden,Okumura 和 Yano 证明了若‖σ‖~2=(n+1)/(2-(1/n)),则 n=2且 M~n 是平坦的,M=S~1×S~1.新近,沈一兵以更一般的条件替代极小条件证明了类似结论,本文讨论局部对称 Bochner-Kaehler 流形(?)~n 中 n 维全实子流形,证得定理 设 M~n 是局部对称 Bochner-Kaehler 流形(?)~n 的 N(>1)维紧致定向无边的全实子流形,且非全测地.如果在 M~n 上成立 integral from M~n{sum from m~*(trH_(m*))(?)(trH_(m*))-W}(?)1≥0,其中 W 由(44)式给定,则 n=2,M~2极小浸入在(?)~2中,且对于适当的对偶标架场ω_1,ω_2,ω_3,ω_4,(?)~2的联络矩阵在 M~2上的限制为(?)其中函数(?)由(32)式定义。特别,当 M~n 为 cp~n 且其常数全纯截面曲率为4时,(?)=4,我们就     

关于共形平坦流形中子流形的不等式

本文目的在于建立共形平坦黎曼流形中子流形的数量曲率截面曲率间关系的几个不等式,在流形是常曲率的情况下,这些不等式改进了B.Y.Chen和M.Okumura的结果。§1.基本公式和引理设M~(n+p)是一个n+p维的共形平坦黎曼流形,V~n是M~(n+p)的n维子流形。在M~(n+p)中选取局     

常曲率黎曼流形的极小子流形

本文目的在于建立下述定理:常曲率 a 的黎曼流形 V~(n p)中的紧致无边极小子流形M~n 常满足∫_(Mn){p∑R_(ijkl)~2 2p∑R_(ij)~2-R~2 n(3p-2n 2)aR}*1≥n~2(n-1)(n-p-1)a~2Vol(M~n),其中∑R_(ijkl)~2是M~n 的黎曼曲率张量的模长平方,∑R_(ij)~2是 M~n 的李齐(Ricci)曲率张量的模长平方,R 是 M~n 的数量曲率.上述积分不等式是 M~n 的内在性质.     

黎曼流形M~n在常曲率空间S~(n+1)的局部等距嵌入(英文)

本文求得黎曼流形M~n能够作为常曲率空间超曲面的内蕴充要条件,并举出这些条件的若干应用。设常曲率空间S~(n+1)的线素是ds~2=eg_(αβ)dy~αdy~β(e=±1),即gαβdy~αdy~β不一定是正定的,n+l维的S~(n+1)的曲率是K_0,记为S~(n+1)(K_0)。M~n是n维的黎曼流形,g_(ij)是M~n等距嵌入于S~(n+1)中所诱导的黎曼尺度,R_(ijkl)是M~n的黎曼曲率张量,记 T_(ijkl)(?)R_(ijkl)-K_0(g_(ik)g_(jl)-g_(il)g_(jk)), P_(jlim)(?)T_(jl)T_(im)-T_(ip)T_(jlm)~p+T_(pl)T_(mij)~p+T_(jlq)~pT_(ipm)~q-1/2T_(klm)~qT_(qij)~k,式内 T_(li)=g~(jm)T_(jlim), T_(jlm)~p=g~(pk)T_(kjlm)~(pk), T=g~(li)T_(li).经过冗长的计算可以证明下列诸定理。 定理1 设黎曼流形M~n的矩阵(T_(ijkl))的秩≥4,T≠0,则M~n可等距嵌入于一个S~(n+1)(K_0)的充要条件是 (2P_(hphk)T_k~p-P_(khk)T)T_(abcd)=P_(achk)P_(bdhk)-P_(adhk)P_(bchk),a,b,c,d=1,…,n;任意固定一组指标h,k使上式两边不恒等于0。 定理2 设黎曼流形M~n(n≥4)可等距嵌入于S~(n+1)(K_0)和S~(n+1)(K_1),K_1;≠K_0,则M~n是共形平坦的。 定理3 常曲率a的黎曼流形M~n(n≥14)可等距嵌入于一个S~(n+1)(K_0),K_0≠a,K_0是任意常数。 但必须指出如e=1,即S~(n+1)的基本二次形式g_(αβ)dy~α     

关于S~(n p)(1)的紧致子流形的第一特征值(英文)

记H0 =maxx∈M｜H(x) ｜ ,其中H(x)为Sn p( 1 )的n维紧致子流形的平均曲率向量 .则其Lplace算子的第一特征值满足 :λ1≤n nH20 .     

欧氏空间中子流形的曲率与几何性质

研究了欧氏空间En p中具常数量曲率n(n-1)r的n(n>2)维完备连通子流形,得到了En p截面曲率非负且法联络平坦的完备连通子流形的一个分类定理.     

局部对称共形平坦黎曼流形中带有平坦法丛的子流形

设M~(n p)是n p维共形平坦黎曼流形,且它的黎曼张量R_(tjkl)之共变导微▽R_(tjkl)=0,则称M~(n p)为局部对称共形平坦黎曼流形。 本文证得:若V~n(n≥2)是局部对称共形平坦黎曼流形M~(n p)的n维紧致无边子流形,它具有平坦法丛,若V~n在任一点上的截面曲率均大于T_c-t_c/2(n p-2),这里T_c、t_c分别是M~(n p)的Ricci曲率在该点的上、下确界,则V~n一定是M~(n p)的n 1维全测地子流形M~(n 1)之超曲面。