常曲率流形中具平行李奇曲率的超曲面

设f:M~n→M~(n+1)(c)为具平行李奇曲率的黎曼流形到常曲率流形的等距浸入,本文给出了该超曲面的分类。另外,若M~n还是极小超曲面,本文也给出了该超曲面的分类,推广了Lawson的有关结果。     

空间形式中紧致超曲面的刚性

设(M~n,g)是一个黎曼流形,f:M~n→Q~(n+1)(c)是一个等距浸入,其中Q~(n+1)(c)是n+1维的空间形式.如果对于任一个等距浸入f:M~n→Q~(n+1)(c),都存在等距变换φ:Q~(n+1)(c)→Q~(n+1)(c),使得φ·f=f,则称f(M~n)具有刚性.本文证明:如果超曲面是紧致的,(1)当c≤0时,如果紧致超曲面的维数大于或等于3,则紧致超曲面具有刚性;(2)当c0时,如果紧致超曲面的维数大于或等于5,则空间形式中紧致超曲面具有刚性;这推广了经典的Cohn-Vossen定理.     

S~4中具有调和共形高斯映照的超曲面

设x:M~n→S~(n+1)是球面S~(n+1)中的一个定向超曲面,其共形高斯映照G=(H,Hx+en+.1):M~n→R_1S~(n+3)是M(o|¨)bius变换群下的一个不变量,其中H,e(n+1)+1分别是超曲面x的平均曲率和单位法向量场.本文研究了S~4中具有调和共形高斯映照的超曲面,分类了具有调和共形高斯映照和常M(o|¨)bius数量曲率的超曲面,给出了具有调和共形高斯映照但不是Willmore超曲面的例子.     

Sn+1中具有调和M(o)bius曲率张量的超曲面

设x:Mn→Sn 1是(n 1)维单位球面Sn 1中的无脐点的超曲面.Sn 1中超曲面x有两个基本的共形不变量:M(o)bius度量g和M(o)bius第二基本形式B.当超曲面维数大于3时,在相差一个M(o)bius变换下这两个不变量完全决定了超曲面.另外M(o)bius形式Ф也是一个重要的不变量,在一些分类定理中Ф=0条件的假定是必要的.本文考虑了Sn 1(n≥3)中具有消失M(o)bius形式Ф的超曲面:对具有调和曲率张量的超曲面进行分类,进而,在M(o)bius度量的意义下,对Einstein超曲面和具有常截面曲率的超曲面也进行了分类.     

共形空间中有两个共形主曲率的共形等参超曲面

研究了共形空间中正则超曲面的共形几何,并在共形等价意义下对有两个共形主曲率的共形等参超曲面作了分类.     

R1^m+1中拟迷向类空超曲面

设f:M^m→R1^m+1是无脐点类空超曲面,则在Mm上可以定义四个基本的共形不变量:共形度量g,共形1-形式C,共形第二基本形式B,共形Blaschke张量A.如果存在光滑函数λ和常数μ,使得A+μB=Ag,则称M^m是拟迷向类空超曲面.本文不仅构造了拟迷向类空超曲面的例子,同时在相差R1^m+1的一个共形变换下,本文还完全分类了拟迷向类空超曲面.