Possible Spectrums of 3×3 Upper Triangular Operator Matrices

Let H1, H2 and H3 be infinite dimensional separable complex Hilbert spaces. We denote by M(D,E,F) a 3×3 upper triangular operator matrix acting on H1⊕H2⊕H3 of the form M(D,E,F)=(A D E 0 B F 0 0 C). For given A ∈ B(H1), B ∈ B(H2) and C ∈ B(H3), the sets UD,E,F σp(M(D,E,F)), ∪D,E,F σr(M(D,E,F)), ∪D,E,F σc(M(D,E,F)) and ∪D,E,F σ(M(D,E,F)) are characterized, where D ∈ B(H2,H1), E ∈ B(H3, H1), F ∈ B(H3, H2) and σ(·), σp(·), σr(·),σc(·) denote the spectrum, the point spectrum, the residual spectrum and the continuous spectrum, respectively.     

一类缺项算子矩阵的半Fredholm补

设H,K为可分Hilbert空间,A∈B(H),B∈B(H,K)和D∈B(K)是给定的有界线性算子,定义缺项算子矩阵N_C=(ABCD).得到存在C∈B(K,H)使得N_C是上半Fredholm算子(下半Fredholm算子,Fredholm算子)的条件.     

广义Kato分解与Weyl型定理的摄动

称T∈B(H)有广义Kato分解,若存在一对T的闭的不变子空间(M,N)使得H=M⊕Ⅳ,其中T|_M为上半Fredholm算子且具有非负的指标,T|_N是幂零的本文利用算子的广义Kato分解性质,研究了Weyl型定理在紧摄动下的稳定性.此外还研究了2×2上三角算子矩阵的Weyl型定理在紧摄动下的稳定性.     

3$\times$3阶上三角型算子矩阵的可能谱

Let H1, H2 and H3 be infinite dimensional separable complex Hilbert spaces. We denote by M（D,V,F） a 3×3 upper triangular operator matrix acting on Hi ＋H2＋ H3 of theform M（D,E,F）=（A D F 0 B F 0 0 C）.For given A ∈ B（H1）, B ∈ B（H2） and C ∈ B（H3）, the sets ∪D,E,F^σp（M（D,E,F））,∪D,E,F ^σr（M（D,E,F））,∪D,E,F ^σc（M（D,E,F）） and ∪D,E,F σ（M（D,E,F）） are characterized, where D ∈ B（H2,H1）, E ∈B（H3, H1）, F ∈ B（H3,H2） and σ（·）, σp（·）, σr（·）, σc（·） denote the spectrum, the point spectrum, the residual spectrum and the continuous spectrum, respectively.     

3×3阶上三角算子矩阵的点谱、剩余谱和连续谱

记■为Hilbert空间■上的上三角算子矩阵.我们借助对角元A,B和C的谱性质给出了σ_*(M_(D,E,F))=σ_*(A)∪σ_*(B)∪σ_*(C)对任意D∈B(H_2,H_1),E∈B(H_3,H_1),F∈B(H_3,H_2)均成立的充要条件,其中σ_*代表某类特定的谱,如点谱、剩余谱和连续谱等.此外,给出了一些例证.     

3×3上三角算子矩阵值域的闭性研究

令H_1,H_2,H_3是可分的复Hilbert空间,记M=(AEF0BD00C)为H_1⊕H_2⊕H_3上的3×3上三角算子矩阵.设A∈B(H_1),B∈B(H_2),C∈B(H_3)是给定的算子,利用对角元算子A,B,C的值域和零空间性质描述了算子矩阵M值域R(M)的闭性.     

三阶上三角算子矩阵点谱,连续谱和剩余谱的扰动

设H_1,H_2,H_3为无穷维复可分Hilbert空间,记M_(D,E,F)F=(ADE0BF00C)∈B(H_1⊕H_2⊕H_3).给定A∈B(H1),B∈B(H_2),C∈B(H_3),结合分析方法与算子分块技巧给出了MD,E,F的点谱,连续谱和剩余谱随D,E,F扰动的完全描述.     

Drazin谱和算子矩阵的Weyl定理

A∈B(H)称为是一个Drazin可逆的算子,若A有有限的升标和降标．用σ_D(A)={λ∈C：A-λI不是Drazin可逆的)表示Drazin谱集．本文证明了对于Hilbert空间上的一个2×2上三角算子矩阵M_C=■,从σ_D(A)∪σ_D(G)到σ_D(M_C)的道路需要从前面子集中移动σ_D(A)∩σ_D(B)中一定的开子集,即有等式：σ_D(A)∪σ_D(B)=σ_D(M_C)∪G,其中G为σ_D(M_C)中一定空洞的并,并且为σ_D(A)∪σ_D(B)的子集．2×2算子矩阵不一定满足Weyl定理,利用Drazin谱,我们研究了2×2上三角算子矩阵的Weyl定理,Browder定理,a-Weyl定理和a-Browder定理．     

Banach空间中算子的秩定理

设E和F是Banach空间,B(E,F)表示映E到F的有界线性算子全体.记T+0 ∈ B(F,E)为T0 ∈ B(E,F)的一个广义逆.本文证明,每一个具有‖T+0(T-T0)‖＜1的算子T ∈ B(E,F),B≡(I+T+0(T-T0))-1T+0是T的广义逆当且仅当(I-T+0T0)N(T)=N(T0),其中N(·)表示括弧中算子的零空间.这一结果改进了Nashed和Cheng的一个有用的定理,并进一步证明Nashed和Cheng的一个引理对半-Fredholm算子有效但一般未必成立.     

上三角算子矩阵Browder定理的稳定性

令H为无限维且复可分的Hilbert空间,B(H)为H上的有界线性算子全体.若T∈B(H)满足σ_w(T)=σ_b(T),则称T有Browder定理,其中σ_ω(T)和σ_b(T)分别表示算子T的Weyl谱和Borwder谱;对任意的紧算子K∈B(H),若T+K有Browder定理,则称T满足Browder定理的稳定性.给出了2-阶上三角算子矩阵的平方满足Borwder定理的稳定性的充要条件.     

Banach空间中算子的秩定理

设E和F是Banach空间,B(E,F)表示映E到F的有界线性算子全体.记T0+∈B(F,E)为To∈B(E,F)的一个广义逆.本文证明,每一个具有||T0+(T-T0)|| J<1的算子T∈B(E,F),B≡(I+T0+(T-T0))-1T0+是T的广义逆当且仅当(I-T0+T0)N(T)=N(T0),其中N(·)表示括弧中算子的零空间.这一结果改进了Nashed和Cheng的一个有用的定理,并进一步证明Nashed和Cheng的一个引理对半-Fredholm算子有效但一般未必成立。     

2×2-上三角算子矩阵谱的Fredholm扰动

设H和K是复无穷维可分Hilbert空间,A∈B(H),B∈B(K),C∈B(K,H)且M_C=(ACOB).本文给出了上三角算子矩阵M_C的Weyl谱、本性谱、谱、左谱、右谱、下半本性谱、下半Weyl谱和上半Weyl谱的Fredholm扰动的完全刻画.     

3×3阶上三角算子矩阵的点谱和剩余谱扰动

基于值域的稠密性和闭性,有界线性算子T的点谱和剩余谱可分别细分为σ_(p,1)(T),σ_(p,2)(T)和σ_(r,1)(T),σ_(r,2)(T).设H_1,H_2,H_3为无穷维复可分Hilbert空间,给定A∈B(H_1),B∈B(H_2),C∈B(H_3),结合分析方法与算子分块技巧给出了M_(D,E,F)的上述四种谱随D,E,F扰动的完全描述.     

关于Kahan定理的一个注记

设A∈C~(n×n),B∈C~(k×k)均为Hermite矩阵,它们的特征值分别为{λ_j}_(j=1)~n和{μ_j}_(j=1)~k(k≤n);Q∈~(n×k)为列满秩矩阵.令 (1) 则存在A的k个特征值λ_(j_2),λ_(j_2),…,λ_(j_k),使得 (2) 其中σ_k为Q的最小奇异值,||·||_2表示矩阵的谱范数.这是著名的Kahan定理·1996年曹志浩等在[2]中将(2)加强为 (3) 这是Kahan的猜想.在本文中,我们讨论将Kahan定理中“B为k阶Hermite矩阵”改为B为k阶(任意)方阵后,特征值的扰动估计,有以下结果. 定理 设A∈C~(n×n)为Hermite矩阵,其特征值为{λ_j}_(j=1)~n,B∈C~(k×k)的特征值为{μ_j}_(j=1)~k,而Q∈C~(n×k)为列满秩矩阵.则存在A的k个特征值λ_(j_1),λ_(j_2),…,λ_(j_k),使得     

一类缺项算子矩阵的谱补问题

对于Hilbert空间上的2×2算子矩阵,其中A∈B（H）,C∈B（K,H）,D∈B（H,K）给定,当X取遍B（K）中算子时,我们给出所有Nx的谱之交集和并集的刻画．     

Pontrjagin空间上算子代数理想的结构

对∏κ空间上一般对称算子代数,给出了对称理想的结构的两个结果.(1)令A是∏κ空间上一般对称算子代数.若M1 ∩ M2≠{0},则存在对(I)(κ)不变的子空间v∈(H)(κ)⊕H(κ),满足M1∩M2=F(v)+J,这里J=(0 00 T0 0),T属于κ×κ矩阵代数,v=((R)⊕R)⊕{VX⊕X|X∈D},R和R⊥是对*-算子代数Ap(κ)不变的.(2)令A是∏κ空间上一般对称算子代数.设△=M1∩M2≠{0}.则M2=△+u(Q),其中u(Q)是下列元的集(0k∑i=1 qi(B*)(⊕)ei 0 B k∑i=1e*i(⊕)qi(B)0).这里B∈Ap,qi是算子代数u到R⊥的线性映射,并满足条件q(AB)=Aq(B),A,B∈Ap.     

矩阵方程ATXB+BTXTA=D的极小范数最小二乘解

1引言本文用Rm×n表示所有m×n实矩阵全体,ORn×n,ASRn×n分别表示n×n实正交矩阵类与反对称矩阵类.‖·‖F表示矩阵的Frobenius范数,A+为矩阵A的Moore-Penrose广义逆,A*B与A(?)B分别表示矩阵4与B的Hadamard乘积及Kronecker乘积,即若A=(aij),B=(bij),则A*B=(ajibij),A(?)B=(aijB),vec4表示矩阵A的按行拉直,即若A=[aT1,aT2,…,aTm],其中ai为A的行向量,则vecA=(a1a2…am)T.设A∈Rn×m,B∈Rp×m,D∈Rm×m,我们考虑不相容线性矩阵方程ATXB+BTXTA=D(1.1)     

上三角算子矩阵的左(右)本质谱的自伴扰动

设H为无穷维Hilbert复可分空间.对给定算子A ∈B(H)和B∈B(H),记MX:=[A0XB],其中X∈(F)(H)为自伴算子.本文首先给出了存在X ∈(F)(H),使得 Mx为左(右)Fredholm算子的充分必要条件.其次,证明了∩ σ*(MX)=∩ σ*(MX)U△,X∈(F)(H)X∈B(H)其中σ*是左...     

代数Paranormal算子的谱

若任给x∈H,‖Tx‖~2≤‖T~2x‖·‖x‖,T∈B(H)称为是一个paranormal算子.T∈B(H)称为代数paranormal算子,若存在非常值复值多项式p,使得p(T)为para- normal算子.本文利用代数paranormal算子的谱集的特点,研究了代数paranormal算子以及该算子的拟仿射变换的Weyl型定理.     

矩阵特征值的几个扰动定理

1 引言 设A∈C~(n×m),B∈C~(m×m)(m≤n),它们的特征值分别为{λ_k}_(k=1)~n和{μ_k}_(k=1)~m.令 R=AQ-QB (1)这里Q∈C~(n×m)为列满秩矩阵.Kahan研究了矩阵A在C~(n×m)上的Rayleigh商的性质,证明了下列定理:设A为Hermite矩阵,Q为列正交矩阵,即Q~HQ=I,而B=Q~HAQ,则存在 1,2,… ,n的某个排列π,使得 {sum from j=1 to m │μ_j-λ_(π(j))│~2}~(1/2)≤2~(1/2)‖R‖_F (2)其中R如(1)所示,‖·‖_F为矩阵的Frobenius范数.刘新国在[2]中将此定理推广到B为可对角化矩阵的情形,并且还建立了较为一般的扰动定理:设A为正规矩阵,B为可对角化矩阵;存在非奇异矩阵G,使得G~(-1)BG为对角阵,则存在1,2,…,n的某个排列π,使得 │μ_j-λ_(π(j))│≤2(2~(1/2))nK(G)_(σ_m~(-1))‖R‖_F,j=1,2,…,m. (3)