矩阵方程AXB+CYD=E的对称极小范数最小二乘解

对于任意给定的矩阵A∈Rm×n,B∈Rn×s,C∈Rm×k,D∈Rk×s,E∈Rm×s,本文利用矩阵的Kmnecker积和Moore-Penrose广义逆,研究矩阵方程AXB CYD=E的对称极小范数最小二乘解,得到了解的表达式．并由此给出了矩阵方程AXB=C的双对称极小范数最小二乘解的表达式．此外,我们还给出了求矩阵方程AXB=C的双对称极小范数最小二乘解的数值算法和数值例子．     

矩阵不等式约束下矩阵方程最小二乘问题的增广Lagrangian方法

称X∈R~(m×n)为实(R,S)对称矩阵,若满足X=RXS,其中R∈R~(m×m)和S∈R~(n×n)为非平凡实对合矩阵,即R=R~(-1)≠±I_m,S=S~(-1)≠±I_n.该文将优化理论中求凸集上光滑函数最小值的增广Lagrangian方法应用于求解矩阵不等式约束下实(R,S)对称矩阵最小二乘问题,即给定正整数m,n,p,t,q和矩阵A_i∈R~(m×m),B_i∈R~(n×n)(i=1,2,…,q),C∈R~(m×m),E∈R~(p×m),F∈R~(n×t)和D∈R~(p×t),求实(R,S)对称矩阵X∈R~(m×m)且在满足相容矩阵不等式EXF≥D约束下极小化‖∑_(i=1)~qA_iXB_i-C‖,其中EXF≥D表示矩阵EXF-D非负,‖·‖为Frobenius范数.该文给出求解问题的矩阵形式增广Lagrangian方法的迭代格式,并用数值算例验证该方法是可行且高效的.     

矩阵方程组AX=C,XB=D的公共最小二乘解

通过使用矩阵秩方法,我们给出了矩阵方程组AX =C,XB =D的公共最小二乘解的通解表达式,以及公共最小二乘解的极大秩和极小秩.     

线性矩阵方程组AX=B,YA=D的最小二乘(R,S_σ)-交换解

Trench在[Characterization and properties of (R,S_σ)-commutative matrices,Linear Algebra Appl.,2012,436:4261-4278]中给出了(R,S_σ)-交换矩阵的定义.本文在此基础上讨论(R,S_σ)-交换矩阵的一般性结构,对给定的矩阵X,Y,B,D,以及线性方程组AX=B,YA=D在(R,S_σ)-交换矩阵集合中的最小二乘问题及最佳逼近问题.细致分析最小二乘(R,S_σ)-交换解和最佳逼近解的具体解析表达式.同时在方程组相容情况下分析(R,S_σ)-交换解存在的充要条件及其具体解析表达式.     

矩阵方程AXAT+BYBT=C的对称与反对称最小范数最小二乘解

对于任意给定的矩阵A∈Rk×m,B∈Rk×n和C∈Rk×k,利用奇异值分解和广义奇异值分解,我们给出了矩阵方程AXAT+BYBT=C的对称与反对称最小范数最小二乘解的表达式.     

求解四元数矩阵方程X-AXB=CY+D的一种新方法（英文）

提出了四元数矩阵的一种实向量表示法,可以结合矩阵的半张量积研究四元数矩阵方程.给出了四元数矩阵方程X-AXB=CY+D的最小二乘Hermitian解的通解表达式,以及该方程具有Hermitian解的充要条件,通过数值实验,验证该方法的有效性.     

矩阵方程AX=B的双反对称最佳逼近解

本文主要讨论下而两个问题并得到相关结果:问题Ⅰ:给定A ∈ R~(k×n),B ∈ R~(k×n),求X ∈ BASR~(n×n),使得AX=B.问题Ⅱ:给定X* ∈R~(n×n),求X使得‖X-X~*‖=minX∈S_E‖X-X~*‖,其中S_E是问题Ⅰ的解集合,‖·‖是Frobenius范数.通过对上述问题的讨论给出了问题Ⅰ解存在的充分必要条件和其解的一般表达式同时给出了问题Ⅱ的解,算法,和数值例子.     

求解大型超定线性代数方程组的块Kaczmarz算法

正1 引言考虑大型超定线性代数方程组Ax=b,(1)其中 A ∈ C~(m×n) (m n),b ∈C~m.当m=n时,线性代数方程组求解的相关理论和算法较为成熟,但在很多实际问题中,系数矩阵A的行数和列数不相等(m≠n),如超定或欠定线性代数方程组.因此,有必要研究此类线性代数方程组的数值解法.在结构分析,计算机辅助几何设计,图像恢复,模型参数估计等众多领域中,经常需要求解大型超定线性代数方程组.Vuik [1]研究了大型超定线性代数方程组最小二乘问题的预处理Krylov迭代方法;Bai [2]提出列分解松弛法;Yin[3]提出了求解大型稀疏最小二乘问题的不完备Givens正交化的预处理GMRES方法;Hayami[4]考虑引入一个新的矩阵将GMRES方法应用到最小二乘问题,求得方程组的最小二乘解;Finta [5]推导了加权超定线性代数方程组的梯度法,并证明该方法是收敛的.     

线性子空间上求解AX=B的最小二乘问题的迭代算法

应用共轭梯度方法和线性投影算子,给出迭代算法求解了线性矩阵方程AX=B在任意线性子空间上的最小二乘解问题.在不考虑舍入误差的情况下,可以证明,所给迭代算法经过有限步迭代可得到矩阵方程AX=B的最小二乘解、极小范数最小二乘解及其最佳逼近.文中的数值例子证实了该算法的有效性.     

一类线性方程组的结构向后误差分析

考虑如下结构线性方程组(A B C 0)(x y)=(a b),其中A∈R~(m×m),B∈R~(m×n),C∈R~(n×m).本文给出该类结构方程组的结构向后扰动误差的显式表达式.数值例子表明求解该类问题稳定的算法得到的解不必是强稳定的.     

矩阵不等式约束下矩阵方程最小二乘问题的增广Lagrangian方法北大核心CSCD

称X∈R^(m×n)为实(R,S)对称矩阵,若满足X=RXS,其中R∈R^(m×m)和S∈R^(n×n)为非平凡实对合矩阵,即R=R^(-1)≠±I_m,S=S^(-1)≠±I_n.该文将优化理论中求凸集上光滑函数最小值的增广Lagrangian方法应用于求解矩阵不等式约束下实(R,S)对称矩阵最小二乘问题,即给定正整数m,n,p,t,q和矩阵A_i∈R^(m×m),B_i∈R^(n×n)(i=1,2,…,q),C∈R^(m×m),E∈R^(p×m),F∈R^(n×t)和D∈R^(p×t),求实(R,S)对称矩阵X∈R^(m×m)且在满足相容矩阵不等式EXF≥D约束下极小化‖∑_(i=1)~qA_iXB_i-C‖,其中EXF≥D表示矩阵EXF-D非负,‖·‖为Frobenius范数.该文给出求解问题的矩阵形式增广Lagrangian方法的迭代格式,并用数值算例验证该方法是可行且高效的.     

基于交替投影算法求解单变量线性约束矩阵方程问题

研究如下线性约束矩阵方程求解问题:给定A∈R~(m×n),B∈R~(n×p)和C∈R~(m×p),求矩阵X∈R(?)R~(n×n)"使得A×B=C以及相应的最佳逼近问题,其中集合R为如对称阵,Toeplitz阵等构成的线性子空间,或者对称半(ε)正定阵,(对称)非负阵等构成的闭凸集.给出了在相容条件下求解该问题的交替投影算法及算法收敛性分析.通过大量数值算例说明该算法的可行性和高效性,以及该算法较传统的矩阵形式的Krylov子空间方法(可行前提下)在迭代效率上的明显优势,本文也通过寻求加速技巧进一步提高算法的收敛速度.     

界约束下算子方程最小二乘问题的条件梯度法

研究如下界约束下算子方程最小二乘问题:min x∈Ω‖L(X:A_1,…,At;B_1,…,B_t)-T‖~2,其中‖.‖为Frobenius范数,L(X:A_1…A_t;B_1,…,B_t)为关于X的线性矩阵算子(或齐次线性变换),Ai∈R~(p×m),B_j∈R~(n×q)i,j=1,…,n为算子L的系数矩阵,丁为右端矩阵,ΩR~(m×n)为界约束凸集合.提出了求解问题的条件梯度迭代算法及其简要收敛性分析,并给出条件梯度算法的几类加速形式.随机数据和图像恢复模型数据的实验结果表明说明算法是可行高效的.     

关于矩阵方程求解的另一点注记

对任意给定的矩阵A∈Pm×n,B∈Pm×s(s≤n),探讨了矩阵方程AX=B有列满秩解,同时BY=A有行满秩解的充分必要条件,并且给出了基于矩阵的等价、齐次方程组的同解、向量组的等价及线性空间语言的推广.     

矩阵方程AXB+CYD=E对称最小范数最小二乘解的极小残差法

<正>1引言本文用R~(n×m)表示全体n×m实矩阵集合,用SR~(n×n)表示全体n×n实对称矩阵集合,OR~(n×n)表示全体n×n实正交矩阵集合.用I_n表示n阶单位矩阵,用A*B表示矩阵A与B的Hadamard乘积.对任意矩阵A,B∈R~(n×m),定义内积〈A,B〉=tr(B~T A),其中     

大型线性最小二乘问题的并行矩阵多分裂松弛算法

寻求超定方程组 Ax=b,(1.1) A∈L(R~n,R~m),x∈R~n,b∈R~m,m>n,Rank(A)=n的最小二乘解,是一个熟知而又非常实际的问题,尤其在现代科技迅速发展的条件下,(1.1)中的A∈L(R~n,R~m)多数为大型的且具有稀疏特征的矩阵。此时,对其满足法方程组     

对称正交矩阵反问题及其最佳逼近

本文主要讨论下面两个问题：问题Ⅰ：给定矩阵X,B∈R~(m×n),求对称正交矩阵A∈SOR~(m×m),使得AX=B．问题Ⅱ：给定矩阵(?)∈R~(m×m),求矩阵A~*∈S_E使得(?)这里S_E问题Ⅰ的解集合,‖·‖指Frobenius范数．本文首先讨论具有k阶对称主子阵的n(n＞k)阶正交矩阵的C-S分解,利用这个结果,得到了问题Ⅰ有解的充要条件和通解的一般形式．然后,对给定矩阵(?)∈R~(m×m),讨论了矩阵(?)在问题Ⅰ的解集合S_E中的最佳逼近,得到了最佳逼近解的表达式．     

求矩阵方程组的反对称最小二乘解的递推算法

讨论了矩阵方程组A_1XB_1=D_1,A_2XB_2=D_2反对称最小二乘解的递推算法,该算法不仅能够用于计算反对称最小二乘解,而且在选取特殊的初始矩阵时,算法能够求出矩阵方程组的极小范数反对称最小二乘解,以及对给定的矩阵进行最佳逼近的反对称解.     

求一类矩阵方程组的最小二乘行对称解及其最佳逼近的迭代法

本文构造了求矩阵方程组AX=B,XC=D的最小二乘行对称解及其最佳逼近的迭代法,研究了迭代序列的性质,证明了算法的收敛性。     

求解Sylvester方程的广义非对称PMHSS算法

<正>1引言考虑如下Sylvester方程:AX+XB=F(1)这里A∈C~(m×m),B∈C~(n×n),F∈C~(m×n)是复数矩阵.令A=W+iT,B=U+iV,Q,T∈R~(m×m),U,V∈R~(n×n)都是实对称矩阵,且W,U是不定的,T,V是正定的.我们假定-TW≤T,-VU≤V.对于任意矩阵W和T,WT(W≤T)意味着T-W是