多元多项式互素的充要条件

F为数域,f(x)、g(x)∈F[x]互素的充要条件是存在u(x),v(x)∈F[x],使得f(x)u(x)+g(x)v(x)=1. 在一元多项式的理论中,它起着重要作用。先给出两个二元多项式互素的定义,再把上述结果推广到二元多项式。定义f(x,y),g(x,y)∈F[x,y],如果除零次多项式外,它们没有次数大于零的公因式,则称f(x,y)与g(x,y)是互素的。上述结果可以推广到一般的域P上,而充     

关于Eisenstein判别法的一点注记

判断一个整系数多项式在有理数域上不可约,有著名的充分条件—Eisenstein判别法(参见[1]或[2])。由于对整系数多项式f(x)和任意整数b,f(x)与整系数多项式g(y)=f(y+b)在有理数域上同时为可约或不可约,所以在证明f(x)不可约时,如果f(x)不满足     

多项式最大公因式的矩阵求法

设F是一个数域,F(x)为关于文字x的多项式环,多项式d(x)是多项式f(x)、g(x)的一个最大公因式,那么存在F(x)中的多项式u(x)、v(x),使d(x)=u(x)f(x) v(x)g(x) (1)成立。在一般现行《高等代数》教材中,采用辗转相除法求得d(x)后,再利用逐步代入的方法求得u(x),v(x)使(1)式成立,这样做在f(x)、g(x)的次数较高,     

不定方程x2+y2=z2在多项式环R[x]中的解

在整数环Z上的二次不定方程不恒有解,而在多项式环R[x]中,对任意首项系数为正数的多项式f(x),必有R[x]中首项系数为正数的多项式g(x),h(x),使得f^2(x)=g^2(x) h^2(x)。     

雪尔維斯特方陣

在域P上多项式环P[x]中,零及所有次数不超过n+s-1的多项式所成的集F~(n+x),对于多项式加法和P中元素对多项式的乘法而言,构成P上一个n+s维向量空间。取定基底 x~(n+s-1),x~(n+s-2),…,x,1 (Ⅰ)时,可得到F~(n+s)与行向量空间P~(n+s)的一个同构对应。设给定P[x]中多项式f,g,各有次数n′,s′;n′≤≤n,s′≤s。由线性无关组 x~(s-1)f,x~(s-2)f,…,xf,f (Ⅱ)及 x~(n-1)g,x~(n-2)g,…,xg,g (Ⅲ)所生成的F~(n+s)的子空间分別记作F_f,F_g。显然它们各有维数s,n。它们所含的多项式最高次数各为s++n′-1,n+s′-1。 F_f,F_g的交F_f∩F_g所含多项式的次数最高为m-1,m=min(s+n′,n+s′)。它的任一非零元素形如uf,由条件     

有限域上与仿射多项式有关的一些多项式的可约性

在这篇文章中,研究了有限域上一些与仿射多项式有关的多项式的可约性.对于有限域Fp上不是xppt-x-1的仿射三项式,得到了这些三项式的一个明确的因式.完全确定了多项式g(xps-ax-b)在Fp[x]中的分解,这里g(x)是Fp[x]中一个不可约多项式.证明了Fp上次数相同的不可约多项式的全体可以构成一个正则图.同时给出了多项式g(xqs-x-b)在Fp[x]不可约因式的个数公式,这里g(x)是Fp上一个不可约多项式.     

广义线性McCoy环

称环R是右线性McCoy的,如果R[x]中非零线性多项式f（x）,g（x）满足I（x）g（x）=0,则存在非零元素r∈R使得f（x）r=0．设a是环R的自同态,通过用斜多项式环R[x;a]中的元素代替一般多项式环R[x]中的元素而引入a-线性McCoy环的概念．讨论了a-线性McCoy环的基本性质和扩张性质．     

除式唯一的 Euclid 环的构造

我们熟知,域 F 上的多项式环 F[x]作为 Euclid 环具有除式唯一的性质,即对于任意两多项式 f(x)∈F[x]及 g(x)≠0∈F[x],存在唯一的 q(x)∈F[x]及 r(x)∈F[x]使得     

关于有理数域Q上多项式f（x）与f（x^m）的Galois群的阶

摘要：确定有理数域Q上多项式f(x)的Galois群的阶是一件非常有意义的事情．本文把文献[1]中当m为奇数，多项式_厂(x)的Galois群的阶确定f(x^m)的Galois群的阶的方法，推广到了m为偶时，对f(x^m)的条件作进一步限制后，得到相同的结论．同时给出了m=2时，对f(x^2)的条件削弱后的相应结论．     

关于Kantorovic多项式逼近的注记

本文对著名的Kantorovic多项式P_n(f;x)与推广的Kantorovic多项式P_n~*(f;x)作了进一步的研究,并改进了参考文献[1-5]的结果,还指出[4]的一个错误.     

L_[0,1]~p(1

梅雪峰  周颂平 《数学进展》2005,(6)

Hermite-Fejér插值算子的一个渐近估计式

设f(x)在[-1,1]上的二阶导数存在且有界,H_n[f(t);x]、R_n[f(t);x]分别为具有第一类、第二类零点的Hermite-Fejér插值多项式,则当n→∞时,有 H_n[f(t);x]-f(x)=O(1/n)(-1相似文献   

对一道微分问题的修正

文[1]习题3-1(P81)第3题(是非题)如下:设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且在[a,b]上f′(x)≤g′(x),则有f(b)-f(a)≤g(b)-g(a).与文[1]配套的[2](P105)给出的解答是:答不对.虽然由拉格朗日定理得f(b)-f(a)b-a=f′(ξ),ξ∈(a,b)(1)g(b)-g(a)b-a=g′(ξ),ξ∈(a,b)(2)且有f′(x)≤g(x).但f′(ξ)不一定小于等于g′(ξ),因为(1)(2)式中的ξ不一定是相同的.我们认为上述解答是错的,也就是说,原命题是成立的.下面给出证明.证明令F(x)=f(x)-g(x),由题意,F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,再由拉格朗日定理得F(b)-F(a)b-a=F′(ξ),…     

小议变上限的定积分

设函数f(x)在[a，b]上可积，则对任何x∈[a，b]，定积分∫a^x f(t)dt定义了区间[a，b]上的一个关于x的函数F(x)，称为“变上限的定积分”，即F(x)=∫a^x f(t)dt，且若函数f(x)在[a，b]上连续，则d/dx∫a^xf(t)dt=f(x)，x∈[a，b]，它表明变上限的定积分，在被积函数连续时，是被积函数的原函数。     

L[0,1]^p（1〈0〈∞）空间正系数多项式倒数逼近的一个推广

本文失言了L[0,1]^p（1〈0〈∞）空间函数的正系数多项式的倒数逼近的结论，即证明了：设f（x）∈L[0,1]^p（1〈0〈∞），且在（0，1）内严格1次变号，则存在一点x0∈（0,1）及一个n次多项式Pn（x）∈Πn（＋）使得‖f（x）-x-x0/Pn（x）‖L[0,1]^p≤Cpω（f,n^-1/2）L[0,1]^p其中Πn（＋）为次数不超过n的正系数多项式的全体．     

关于求sum from k=0 to n f(k)的一个计算公式

文[1]中讨论了利用差分多项式求sum from k=1 to n f(k)的一个方法。本文将给出直接求sum from k=0 to n f(k)的一个计算公式,作为特例,并给出求自然数方幂和的一个计算公式。设f(k)是K的m(m∈N)次多项式。定义P_m(x)=1/m! x(x-1)…(x-m+1),称为m阶差分多项式,P_0(x)=1称为零阶差分多项式。     

构造求方程重根高阶迭代公式的基本定理

在[1]中已经介绍了构造高阶多点迭代公式的基本定理:设φ(x)d是p阶的,则φ(x)=φ(x)-f(φ(x))/f′(x)是P 1阶的,[2]中又给出了[1]的一个改进了的基本定理,但这些定理仅适用于方程f(x)是单根的情况.本文针对φ′(x_*)的性质,提出了在重根情况下亦适用的多点迭代构造定理.     

构造函数求两类函数的值域

本文通过构造配对函数来解决两类函数的值域问题．1．y=ax b/x型的函数例1已知f(x)=x 4/x,x∈[1,3]求f(x)的值域．分析显然f(x)=x 4/x在区间[1,3]上不具备一致单调性．但是函数g(x)=x-4/x在区间[1,3]上却是单调递增的,于是我们只要     

关于Polya—de Bruijn定理的三个局限性问题的评注

设X、R为两个有限集合,有限群G作用在X上。又设R~x为从X到R的映射的全体。群G作用在R~x上通过:fg(d)=f(g(d)),g∈G,d∈X,f∈R~x。设ω为从R到环Q(包含有理数环在内的可换环)的映射,给f∈R~x赋权为W(f)=Π_(d∈x)W(f(d)),容易知W(f)=W(fg),g∈G。因而,可以给G—等价类集中的元F赋权为W(F)=W(f)f∈F。Plya[1]给出的计数多项式为:     

高阶可微函数的共单调逼近

1 引言设f(x)∈C[-1,1]是分段单调函数,若要求逼近f(x)的多项式pn(x)也是分段单调的,且在每一分段上,f(x)与pn(x)具有相同的单调性,则称这种形式的逼近为共单调逼近,记En(f)=inf{‖f(x)-pn(x)‖|pn(x)∈πn,pn(x)在[-1,1]上与f(x)共单调},其