非线性四阶周期边值问题多个正解的存在性

利用不动点和度理论,证明了四阶周期边值问题u(4)(t)-βu″(t)+αu(t)=λf(t,u(t)),0≤t≤1,u(i)(0)=u(i)(1),i=0,1,2,3,至少存在两个正解,其中β>-2π2,0<α<(1/2β+2π2)2,α/π4+β/π2+1>0,f:[0,1]×[0,+∞)→[0,+∞)是连续函数,λ>0是常数.     

亚纯单叶函数的Hadamard乘积

设g(ζ)=ζ+sum from n=0 to ∞b_nζ~(-n)为α级亚纯星形函数(0≤α<1,|ζ|>1),函数ψ(z)=z+sum from n=2 to ∞α_nZ~n为单位园内的凸单叶函数。本文得到,若α∈(1/2,1),则g(ζ)※ζ~2ψ(1/ζ)(|ζ|>1)为α级亚纯星形函数,作为这个结果的一个推论,文[4]中的猜测在α∈(1/2,1)内成立。     

柱面上一类微分方程的研究(Ⅰ)

<正> §1.前言研究方程(d~2φ)/(dt~2)+α(dφ)/(dt)+F(φ)=β(1)其中α>0,β>0,F(φ)满足下列条件:(i)F(φ)=F(φ+2π),F(φ)=-F(-φ),F(0)=0,F(φ)∈C~1.(ii)在[0,π]上,φ=0,φ′_1,…,φ′_(n-1),π为 F(φ)=0之单根.(iii)在[0,π]上,曲线 y=F(φ)在φ_1~*,…,φ_n~*处取极值,不妨设在φ_1~*,φ_3~*,…处取极大值,在φ_2~*,φ_4~*,…处取极小值.     

一道三角函数问题的多种解法

<正>近日,笔者在课堂与学生交流时发现一道三角函数问题,该题题设简单,思路开阔,引起笔者极大的兴趣.现给出笔者与学生交流的五种解法,供同学们参考.题目已知函数f(x)=2sin(2x+π/4),若f(α/2)=-6/5(0<α<π),求cos2α的值.解法1因为f(α/2)=2sin(α+π/4)=-6/5     

统计假设检验中显著性水平的最优选择

讨论正态总体单侧检验问题中犯第一类错误的概率α和犯第二类错误的概率β之间的关系。提出了试验成本不增加的条件下,怎样选择合适的显著性水平α使期望损失最小。本文的主要结果为:设在显著性水平α下的期望损失额为 L(α)=Mα+Nβ则当时,L(α)取最小值根据样本提供的信息对总体的参数或分布进行假设检验,拒绝假设H_0要承担一定的风险即通常所说的犯两类错误。本文重点讨论单侧检验问题。文中N(μ_0,δ~2)表示数学期望为μ_0,方差为δ~2的正态分布。φ(x)为标准正态分布的密度函数,即φ(x)=1/(2π)~(1/2)e~(x~2)/2; Φ(x)为标准正态分布的分布函数,即Φ(x)=integral from -∞ to x φ(t)dt;(?)为样本平均值,即 (?)=1/n(X_1+X_2+…+X_n)     

沿齐次曲线的强奇异积分算子在调幅空间上的有界性

设Γ_θ(t)为R~n(n≥2)中的齐次曲线,定义沿齐次曲线的强奇异积分算子T_(n,α,β)f(x)=p.v.∫_(-1)~1f(x-Γ_θ(t))(e~((-2πi|t|)~(-β))/(t|t|~α))dt,α,β>0.本文讨论了上述奇异积分算子在广义调幅空间上的有界性.     

一类拟线性两点边值问题的存在唯一性

本文在f(t,x),f_x(t,x),η(t)连续,f_x(t,x)≥-η(t),η(t)≤π~2+A~2/4,η(t)π~2+A~2/4条件下,证明了拟线性两点边值问题 x″=Ax′+f(t,x),x(0)=α,x(1)=β, 对于任给实数A,α,β都有唯一解。     

Spectral method for solving nonlinear wave equations

In this paper,we consider the following nonlinear wave equations:(■~2φ)/(■t~2)-(■~2φ)/(■x~2)+μ~2φ+v~2x~2φ+f(|φ|~2)φ=0,(■~2x)/(■t~2-(■~2X)/(■X~2)+α~2x+α~2x+v~2x|φ|~2+g(X)=0with the periodic-initial conditions:φ(x-π,t)=φ(x+π,t),x(x-π,t)=x(x+v,t),φ(x,0)=■_0(x),φ_t(x,0)=■_1(x),X(x,0)=■_0(x),x_t(x,0)=■_1(x),-∞相似文献   

三角函数值的增解问题

本文就二角函数值的求解问题中的两个增解问题进行分析与讨论．例1已知sinα-sinβ=-2/3①cosα-cosβ=2/3②且α,β∈(0,π/2),试求tan(α-β)的值,错解由①~2 ②~2并整理得cos(α-β)=5/9．又∵α,β∈(0,π/2),∴-π/2＜α-β＜π/2．∴sin(α-β)=±(1-(5/9)~2)~(1/2) =±(2(14)~(1/2))/9,∴tan(α-β)=±(2(14)~(1/2))/5．分析以上解题过程似乎推理严谨,无懈可击,但只要细致观察则可发现：条件sinα- sinβ=-2/3中隐含了“α＜β”。增解忽略了α＜β     

考点14 三角函数的最值及应用

1.(全国卷,7)当0相似文献   

三角函数与反三角函数

1 已知12sinα=5cosα,求α角的六个三角函数值。 2 α是锐角,在单位圆中,用三角函数线证明:(1)sinα cosα>1;(2)tgα ctgα≥2;(3)sinα<α0的解集。 5 求使等式(ctg~(2α)-cos~(2α)~(1/2)=sina-cscα成立的α的范围。 6 已知函数f(x)=3sin(kπ/7 π/4),其中k≠0,如果要使x经历任意两个整数之间时,函数都至少有一个最大值和最小值,求最小的正整数k之值。     

Toader平均的二次与调和平均界

该文证明了双向不等式αQ(a,b)+(1-α)H(a,b)T(a,b)βQ(a,b)+(1-β)H(a,b)和λ/H(a,b)+(1-λ)/Q(a,b)1/T(a,b)μ/H(a,b)+(1-μ)/Q(a,b)对所有a,b0且a≠b成立的充分和必要条件是α≤5/6,β≥22~(1/2)π,λ0和μ1/6.其中Q(a,b)=((a~2+b~2)/2)~(1/2),H(a,b)=2ab/(a+b)和T(a,b)=2/π∫_0~(π/2)(a~2cos~2θ+b~2sin~2θ)~(1/2)dθ分别表示正数a和b的二次平均,调和平均和Toader平均.     

与一族单叶函数相关的平均直径的下界问题

<正> §1.区域1<|ζ|<∞上单叶的正则函数 w=F(ζ)=ζ+α_0+α_1/ζ+α_2/ζ~2+…的全体聚成一族,记它做∑.∑中的函数,在区域1<|ζ|<∞上无零点的,其全体是Σ的一子族∑~0.设 p 是一正整数,∑~0中函数 w=F(ζ)经过变换 F_1(ζ)=(?)而得的函数 w=F_1(ζ)仍属于∑~0,其全体是Σ~0的一子族∑_p.设函数 w=F(ζ)映     

用Fourier部分和子序列的线性平均逼近周期函数

1.主要结果为其Fourier级数。以Sn(f,x)表示它的第n部分和,以(f, x)表示α阶Cesaro平均,也即其中(α)_i=Γ(α+j+1)/Γ(α+1)Γ(j+1)。对于空间X=C_(2x)或是L_(2π)以E_v(f)_x表示在X中借助不超过v阶的三角多项式逼近f(x)的最佳逼近。根据С. Б. Стечкин和孙永生的结果知道,若α>0而x=C_(2x),则对于一切f(x)X成立着下述不等式     

一道填空题(2018全国卷Ⅰ)的多种解法

<正>题目(2018全国卷Ⅰ理16)已知函数f(x)=2sinx+sin2x,则f(x)的最小值是___.解法一(导数法):由sinx的周期为2π,sin2x的周期为π,而2π和π的最小公倍数是2π,∴函数f(x)的最小周期为2π,在[0,2π]上考虑其最小值.f′(x)=2cosx+2cos2x=2(2cosx-1)(cosx+1),令f′(x)=0,得cosx=-1或cosx=1/2,     

边界层的奇性分析

设 λ∈[λ_0,∞)(0<λ_0<<1),H_1=H_0~2(Ω)∩H~3(Ω),H_2=H_0~1(Ω)∩H~3(Ω),H_3=H~3(Ω),k_1=1/4,k_2=1/12,k_3=1/36,J_6(λ)=integral d(x,Γ)≥a~λlog(1+a~(-β) |△▽(u_e-u)|~2dx,α(ε)=1/6×log_ε1/C(C>1).我们考虑问题(?)定理.若 u=f∈H_i,对问题(1),有如下三种情形成立:i)正规区域 当 λ_0≤λ≤1/6-α(ε)时,有J_6(λ)≤C‖f‖_(H~3(Ω))~2;ii)奇性增长区域当1/6-α(ε)<λ<1/6+k_i/6时,有J_6(λ)≤Cε~(-6λ+2k_i)‖f‖_(H~3(Ω))~2;iii)奇性稳定区域当 λ≥1/6+(k_i)/6时,有J_6(λ)≤Cε~(-1+k_i)‖f‖_(H~3(Ω))~2;其中 i=1,2,3,β≥(45)/(32),C 为同 ε 无关的常数(见图1).     

振荡超奇性Hilbert变换的Sobolev有界性

主要研究R~n上沿曲线Γ(t)=(t~(p_1),t~(p_2),…,t~(p_n))的振荡超奇性Hilbert变换H_(n,α,β)=∫_0~1 f(x-Γ(t))e~(it-β)t~(-1-α),在Sobolev空间上的有界性,其中0p_1P_2…P_n,αβ0.证明了对于0γ(nα)/((n+1))(p_1+α),当|1/p-1/2|(β-(n+1)[α-(β+p_1)γ])/(2β)时,H_(n,α,β)是从L_γ~2(R~n))到L~2(R~n)的有界算子.特别地,当β≥(α-γp_1)/(γ+1/(n+1))等时,H_(n,α,β)是从L_γ~2(R~n)到L~2(R~n)的有界算子·     

对“一个有用的三角等式”的进一步讨论

84年第6期《中学数学》发表了“一个有用的三角等式”,此公式应用甚广,且形式可推广到任何三角函数,利用积化和差公式不难证得:4sinαsin(π/3-α)sin(π/3+α)=sin3α (1)4cosαcos(π/3-α)cos(π/3+α)=cos3α (2) 显然(1)与(2)互除即得关于正(余)切的等式: tgαtg(π/3-α)tg(π/3 +α)=tg3πα。 (3) 由(1)与(2)将得正(余)割公式 secαsec(π/3-α)sec(π/3+α)=4sec3α (4) 从(1)的证明过程,求β=?时,将有; 4sinαsin(β-α)sin(β-α)=3sinα, (5) 经验证知β=π/3、2π/3、4π/3时(5)也成立。     

中学数学中似是而非的几个问题

例1.已知α、β都是第一象限角,并且α>β,试问:sinα>sinβ一定成立吗? 解:因为正弦函数在第一象限内是增函数,并且α>β,所以,sinα>sinβ一定成立。我们知道,正弦函数在每一个闭区间〔-π/2+2kπ,π/2+2kπ〕(k∈Z)上都是增函数,因此,也可以说正弦函数在每一个开区间(2kπ,π/2+2kπ)(k∈Z)内都是增函数;但却不可以说正弦函数在第一象限内是增函数。     

一道三角函数题参考答案的探究

<正>近日做到这样一道题目:已知f(sinθ)=cos2θ+cosθ.(1)求y=f(cosx)解析式;(2)求(1)中函数在x∈[0,π/2]上的最大值和最小值.参考答案是:解(1)∵cosx=sin(π/2-x),∴y=f(cosx)=f[sin(π/2-x)]=cos[2(π/2-x)]+cos(π/2-x)=cos (π-2x)+sinx=-cos2+sinx=