Spectral method for solving nonlinear wave equations

In this paper,we consider the following nonlinear wave equations:(■~2φ)/(■t~2)-(■~2φ)/(■x~2)+μ~2φ+v~2x~2φ+f(|φ|~2)φ=0,(■~2x)/(■t~2-(■~2X)/(■X~2)+α~2x+α~2x+v~2x|φ|~2+g(X)=0with the periodic-initial conditions:φ(x-π,t)=φ(x+π,t),x(x-π,t)=x(x+v,t),φ(x,0)=■_0(x),φ_t(x,0)=■_1(x),X(x,0)=■_0(x),x_t(x,0)=■_1(x),-∞相似文献   

Hermite-Fejer Interpolation With Moved End Points

Let Z_n={z_(kn)=cosθ_(kn):θ_(kn)=(2k-1)/(2n)π,k=1,2…,n}be the zeros of T_n(x)=cosnθ(x=cosθ,θ∈[0,π]).For 0≤ε≤1,let α_n=:α_n(ε)=:cos(1-ε)/(2n)π,β_n=:β_n(ε)=:cos(2n-1+ε)/(2n)π=-α_n,X_n~(1)=(Z_n-{z_(1z)})∪{α_n},X_n~(2)=(Zn-{z_(nn)})∪{β_n},X_n~(3)=(Z_n-{z_(1n),z_(nn)})∪{α_n,β_n},Y_n~(1)=Z_n∪{α_n},Y_n~(2)=Z_n∪{β_n},Y_n~(3)=Z_n∪{α_nβ_n}.     

ON THE PROPERTIES OFε(≥0) OPTIMAL POLICIES IN DISCOUNTED UNBOUNDED RETURN MODEL

This paper investigates the properties of ε(≥0) optimal policies in the model of [2].It is shownthat,if π~*=(π_0~*,π_1~*,…,π_n~*,π_(n+1)~*,…)is a β-discounted optimal policy,then(π_0~*,π_1~*,…,π_n~*)~∞ for alln≥0 is also a β-discounted optimal policy.Under some condition we prove that stochastic stationarypolicy π_n~(*∞)corresponding to the decision rule π_n~* is also optimal for the same discounting factor β.Wehave also shown that for each β-optimal stochastic stationary policy π_0~(*∞),π_0~(*∞) can be decomposed intoseveral decision rules to which the corresponding stationary policies are also β-optimal separately;and conversely,a proper convex combination of these decision rules is identified with the former π_0~*.We have further proved that for any (ε,β)-optimal policy,say π~*=(π_0~*,π_1~*,…,π_n~*,π_(n+1)~*,…),(π_0~*,π_1~*,…,π_(n-1)~*)∞ is ((1-β~n)~(-1)ε,β)optimal for n>0.At the end of this paper we mention that the resultsabout convex combinations and de     

无界报酬折扣半马氏模型ε最优策略的性质

本文讨论Lippman型无界报酬折扣半马氏决策规划ε最优策略的性质,在§2中证明了:若策略π~*=(π_0~*、π_1~*,…)是ε最优的,则对任何自然数n,策略(π_0~*,π_1~*,…,π_(n+)~*)为(1-β~n)~(-1)ε最优;若策略π~*=(f_0,f_1,…,f_n,π_(n+1),…)是ε最优的,则策略f_n~∞为某ε_n最优。在§3中讨论策略的组合与分解,在§4中给出了一个策略π~*为最优的充要条件和为ε最优的充分条件。     

简单明快又一解

本刊1992。2《优化解题过程的方法》给出的一些解题方法,确实多富精巧解法,给人以启迪。该文例3 已知:α、β∈(-π/2,π/2), 求证:|(sinα sinβ)/(1 sinαsinβ)|<1。夏季刊文:如果f(x)=1g(1-x)/(1 x), 则f(a) f (b)=f((a b)/(1 ab))成立。 (*) 构造函数,由f(sinα) f(sinβ) =1g (1-sinα)/(1 sinα) 1g(1-sinβ)/(1 sinβ)=… =f(sinα sinβ)/(1 sinαsinβ)确定|(sinα sinβ)/(1 sinαsinβ)|<1。巧则巧矣,但“联想到”(高中《代数》第一册P_(70))的“习题”*,这条“蹊径”未免有点偏狭。笔者下面提供一种解法,方法比原解法更     

非线性四阶周期边值问题多个正解的存在性

利用不动点和度理论,证明了四阶周期边值问题u(4)(t)-βu″(t)+αu(t)=λf(t,u(t)),0≤t≤1,u(i)(0)=u(i)(1),i=0,1,2,3,至少存在两个正解,其中β>-2π2,0<α<(1/2β+2π2)2,α/π4+β/π2+1>0,f:[0,1]×[0,+∞)→[0,+∞)是连续函数,λ>0是常数.     

广义Lienard方程边值问题

By coincidence degree,the existence of solution to the boundary value problem of a generalized Liénard equation a(t)x＂+F(x,x′)x′+g(x)=e(t),x(0)=x(2π),x′(0)=x′(2π)is proved,where a∈C1[0,2π],a(t)>0(0≤t≤2π),a(0)=a(2π),F(x,y)=f(x)+α| y|β,α>0,β>0 are all constants,f∈C(R,R),e∈C[0,2π]. An example is given as an application.     

线性模型中均值向量的LSE和BLUE的偏差估计

对于线性模型 Y=Xβ+e,E(e)=0,cov(e)=σ~2∑,∑≥0μ=Xβ的LSE和BLUE分别为■=X(X′X)-X′Y和μ~*=X(X′T-X)-X′T-Y,其中T=∑+XUX′,U是对称阵且使Rank(T)=Rank(∑X)和T≥0,本文证明了‖■-μ~*‖_2≤(λ_r-λ_ζ)/(2(λ+λ_k)~(1/2))‖Y-■‖_2这里λ_4=ch_4(T),i=1,2,…,n,λ_1≥…≥λ_n≥0。k=Rank(X),‖a‖_2=(a′a)~(1/2),并且给出了‖cov(■)-cov(μ~*)‖_s‖PT~2P-(PTP)~2‖_s和‖(cov+(μ~*))~(1/2)cov(■)(cov+(μ~*))~(1/2)‖s的上界,这里‖A‖_s=(tr(A′A)~(3/2))~(■),s≥1。     

巧设函数证题

很多数学问题,一旦与函数联系起来,研究解决问题的途径便大为广阔。辅设函数证题是证明某些数学命题的有效方法,也是重要技巧。但是,目前有不少学生对它还比较陌生,至少说对这一方法掌握不够。现举数例如下,以兹参考。例1 设a_1cosα_1+a_2cosα_2+…+a_ncosα_n=0, a_1cos(α_1+1)+a_2cos(α_2+1)+…+a_ncos(α_n+1)=0.试证对任何实数β,有 a_1cos(α_1+β)+a_2cos(α_2+β)+…+a_ncos(α_n+β)=0. 证明设函数 f(β)=a_1cos(α_1+β)+a_2cos(α_2+β)+…+a_ncos(α_n+β).     

Toader型平均与几种经典平均的确界

给出了最佳参数α_1,α_2,α_3,β_1,β_2,β_3∈R,使得双向不等式α_1Q(a,b)+(1-α_1)G(a,b)0且a≠b成立.其中A(a,b)=(a+b)/2,H(a,b)=2ab/(a+b),G(a,b)=(ab)~(1/2),Q(a,b)=((a~2+b~2)/2)~(1/2),C(a,b)=(a~2+b~2)/(a+b),T(a,b)=2/π∫_0~(π/2)(a~2cos~2t+b~2sin~2)~(1/2)tdt分别是两个正数a和b的算术平均,调和平均,几何平均,二次平均,反调和平均和Toader平均.     

在Banach空间中推广的Roper-Suffridge算子(Ⅲ)

假定X是具有范数‖·‖的复Banach空间,n是一个满足dim X≥n≥2的正整数.本文考虑由下式定义的推广的Roper-Suffridge算子Φ_(n,β_22γ_2,…,β_(n+1),γ_(n+1))(f):(?)其中x∈Ω_(p1,p2,…,pn+1),β_1=1,γ_1=0和(?)这里p_j1(j=1,2,…,n+1),线性无关族{x_1,x_2,…,x_n}(?)X与{x_1~*,x_2~*,…,x_n~*}(?) X~*满足x_j~*(x_j)=‖x_j‖=1(j=1,2,…,n)和x_j~*(x_k)=0(j≠k),我们选取幂函数的单值分支满足(f(ξ)/ξ)~(β_j)|ξ=0=1和(f′(ξ))~(γ_j)|ξ=0=1,j=2,…,n+1.本文将证明:对某些合适的常数β_j,γ_j,算子Φ_(n,β_2,γ_2,…,β_(n+1),γ_(n+1))(f)在Ω_(p_1,p_2,…,p_(n+1))上保持α阶的殆β型螺形映照和α阶的β型螺形映照.     

基于0-1序列的正态自回归建模方法

<正> §1.引言 设{z_t}是一个零均值平稳正态AR(p)随机序列,即 z_t=φ_(p1)z_(t-1)+φ_(p2)z_(t-2)+…+φ_(pp)z_(t-p)+a_t, t=0,±1,…,(1.1)其中{a_t}是 N(0,σ_a~2)的正态白噪声,φ(B)= 1-sum from k=1 to p(φ_(pk)B~k的根都在单位圆外.众所周知,对(1.1)中的参数φ_(pk),k=1,…,p和σ_a~2,可以利用解Toeplitz方程     

关于误差方差估计渐近正态收敛速度的上,下界

考虑线性回归模型 Y_■=x_4~′β+e_■ i=1,2,…设误差序列■,i≥1满足条件:e_■ i≥1 i.i.d.,Ee_1=0,Ee_1~2=σ~2>0,∞>Var e_1~2=τ~2>0。记■_n~2=1/(n-r){sum from j=1 to n e■-sum from k=1 to r (sum from j=1 to n a_(akj)■_j)~2} δ(n)=τ~(-2)E(■_1~2-σ~2)~2I_((|■-σ~2|≥■τ)+τ~(-3)n~(1/2)|E(■_1~2-σ~2)~3I_((|■_1~2-σ~2|<(nτ)~(1/2))+τ~(-4)n~(-1)E■_1~2-σ~2)~4I_((|■-σ~2|0使得■|P(■_n~2-σ~2)/(Var■_n~2)~(1/2))≤x)-Φ(x)|≤C(δ(n)+n~(-1/2)) ■|P(■_n~2-σ~2)/(Var■_n~2)~(1/2))≤x)-Φ(x)|+n~(-1/2)≥C_1δ(n)。     

关于 Poincaré 型方程解的渐近性态的若干注记

<正> Ⅰ.引言假若 n 阶线性微分方程y~(n)+α_1(x)y~((n-1))+…+α_n(x)y=α_0(x) (**)的系数α_v(x),当 x 无限增长时渐近于常数α_v:(?)α_v(x)=α_v (v=1,2,…,n)则称方程(**)为 Poincaré 型微分方程(简称为 P 型方程).θ(λ)=λ~n+α_1λ~(n-1)+…+α_n=0称为它的特征方程.     

统计假设检验中显著性水平的最优选择

讨论正态总体单侧检验问题中犯第一类错误的概率α和犯第二类错误的概率β之间的关系。提出了试验成本不增加的条件下,怎样选择合适的显著性水平α使期望损失最小。本文的主要结果为:设在显著性水平α下的期望损失额为 L(α)=Mα+Nβ则当时,L(α)取最小值根据样本提供的信息对总体的参数或分布进行假设检验,拒绝假设H_0要承担一定的风险即通常所说的犯两类错误。本文重点讨论单侧检验问题。文中N(μ_0,δ~2)表示数学期望为μ_0,方差为δ~2的正态分布。φ(x)为标准正态分布的密度函数,即φ(x)=1/(2π)~(1/2)e~(x~2)/2; Φ(x)为标准正态分布的分布函数,即Φ(x)=integral from -∞ to x φ(t)dt;(?)为样本平均值,即 (?)=1/n(X_1+X_2+…+X_n)     

集论公理的简约与基数的方幂

如命 tran_R m 指(uRv ∧usm→·usm),而 xR_*y 指m(tran_Rm∧ysm→·xsm),则集论的六条公理(对偶、联集、幂集、分出、替换、无穷)可合并为一条:x!yφ(x,y)→sy(yssx(xs_*axp_*b·φ(x,y)),这里“!y”指“最多只有一个 y”,而 xpb 指“x 为 b 的幂集”.给定无穷基数 a 后,可定义:f_0(α)=μβ(α~β>α),σ_0(α)=μγ(γ~(f_0(α))>α);f_(k 1)(a)=μβ(γ<σ_k(α))γ~β>α,σ_(k 1)(α)=μγ(γ~(f_(k 1)(α))>α).则有定理:当1≤βγ,则有:当g(δ)≤α≤g(δ)~β时α~β=g(δ)~β,对此外的α,则必α~β=α.     

新二元三角插值多项式的构造

设Ω=[-πxπ,-πyπ],C(Ω)表示关于x,y均以2π为周期的连续函数空间.若f(x,y)∈C(Ω),取结点组为(xk,yl)=(2k+2n 1)π,(2l 2+m 1)πk=0,1,2,…,2n,l=0,1,2,…,2m,则我们获得一个二元三角插值多项式Cn,m(f;x,y)=M1N∑k=2n0∑l=2m0f(xk,yl).1+2∑nα=1cosα(x-xk)+2∑mβ=1cosβ(y-yl)+4∑nα=1∑mβ=1cosα(x-xk)cosβ(y-yl)其中M=2m+1,N=2n+1.为改进其收敛性,本文构造一个新的因子ρα,β,使得带有该因子ρα,β的二元三角插值多项式Ln,m(f;x,y)可以在全平面上一致地收敛到每个连续的f(x,y),且具有最佳逼近阶.     

沿齐次曲线的强奇异积分算子在调幅空间上的有界性

设Γ_θ(t)为R~n(n≥2)中的齐次曲线,定义沿齐次曲线的强奇异积分算子T_(n,α,β)f(x)=p.v.∫_(-1)~1f(x-Γ_θ(t))(e~((-2πi|t|)~(-β))/(t|t|~α))dt,α,β>0.本文讨论了上述奇异积分算子在广义调幅空间上的有界性.     

广义周期样条类的极值问题和广义Bernoulli核的宽度

本文研究由实系数线性系微分算子 P_r(D)=(D~2-2α_8D α_8~2 β_8~2)(D-λ_i)(α_8、β_8、λ∈R,β_8>0)定义的2π周期函数类={f:f~((r-1))绝对连续.f_(j)(0)=f~(j)(2π),j=0,1…,r-1,P_r(D)f(t)dt=0}当 p=1,2,∞,n>N(N 为某一确定的自然数)或0≤<1/4,1≤p≤∞,n=1,2,3,…时,我们求得了 d_n(,L)、d′_2n(,L)、d~2n(,L)d_2n(,L_p)、d′_2n(,L_p)、d_n(,L_p)等宽度的精确估计.我们还讨论了用广义周期样条的最佳逼近,从而找到了相当广泛的一类广义周期样条做为 d_2n(,L)的极子空间.     

有限域上一类方程组解数的直接公式

本文给出有限域F=F_q(q=p~f,f≥1,p是一个奇素数)上一类方程组∑_(i=s_(r-1)+1~(s_r)∑_(j=1)~(m_i-m_(i-1))a_(m_(i-1)+j)x_1~(d_m(i-1)+j,1)…x_(n_i)~d_(m_(i-1)+j,n_i)=b_r,r=1,…,k当指数满足一定条件时,在F~(n_s_k)上解数的一个直接公式,这里d_(ij)＞0,a_i∈F~*,b_i∈F,0= s_0＜s_1＜…＜s_k,0=m_0＜m_1＜…＜m_(s_k),0=n_0＜n_1＜…＜n_(s_k), m_1≤n_1,…,m_(s_k)≤n_(s_k)．