关于Smale马蹄及其Ω稳定性

由Smale所发现的马蹄型微分同胚是微分动力系的研究中的重要反例之一。其意义及原始说明见[1]。在[2]中用了整整一章的篇幅来证明二维马蹄的基本性质及其Q稳定性,长达30余页。这样一个具有基本意义的例子,其几何构造直观上相当简单,而分析的证明竟如此冗长,自然不能令人满意。 作者在[3]中曾给出一个简单的马蹄模型,但没有给出Q稳定性的证明。本文将对高维的一般情形,构造出多分支的马蹄,用较简单的方法,导出其基本性质和Q稳定性。     

广义Taylor公式的几个简单证明方法

<正> 微分中值定理在高等数学中具有重要的理论意义。其中Taylor中值定理更具有一般性。文[1]给出了两个广义Taylor公式,文[2]对其中一个公式给出一个简单证明方法。本文对文[1]的两个公式再给出三个简单的证明方法。     

Ω单一化稳定性定理的无环条件

本文进一步研究文[1]中Ω单一化稳定性定理的无环条件。证明了(1)公理A自覆盖映射本身就满足无环条件的两个要求之一,即W~u(Ω_i)∩W~s(Ω_i)=Ω_i;(2)Ω单一化稳定的公理A自覆盖映射具有无环性质。这是对微分同胚中相应结论的推广。     

一道射影几何名题的思考与探索

<正>文[1]给出了一道几何题的8种初等证法,其中,证法1是文[2]中华罗庚先生给出的简洁证明,证法2是文[3]中利用共边定理给出的更加简洁的证明.下面来探讨一下这个有趣的几何题.例1在四边形ABCD中,设K=AD×BC,L=AB×CD,M=AC×BD.     

Wlelandt—Hoffman定理的简单证明

文[1]用较长的篇幅给出了Wielandt—Hoffman定理的证明。该定理最早由Hoffman和Wielandt于1953年给出,并基于线性规划的理论绐出了证明(见文[2]),1965年曾由Wilkinson给出纯代数的证明(见文[3]),本文借助双重随机矩阵的一个性质,给出一种相当简单的证明方法。为方便起见,先将原定理叙     

定常Navier-Stokes方程的有限元法

的近似解。为叙述简单起见,术文只讨论Ω是R~2中的有界开集,且其边界Γ是足够光滑的情形。在[1]中作者利用[2]的想法把[3]的方法应用于非凸光滑区域上的Stokes问题。术文则是把[1]中的方法应用于(1.1)。 本文§2给出问题(1.1)有限元近似解所满足的方程,§3证明有限元解的存在唯一,§4给出误差估计。     

高阶中立型方程渐近稳定性的代数判定

微分差分方程渐近稳定性的代数判据在应用时比较方便。最近,文[1]给出了滞后型方程渐近稳定的代数判据,文[2]给出了一阶中立型方程渐近稳定的代数判据。本文旨在推广文[2]的结果,给出高阶中立型方程渐近稳定的代数判据。 考虑中立型微分差分方程     

二次曲线内接直角三角形斜边过定点的一个统一结论及推广

文[1]给出了关于抛物线的弦对顶点张直角的一个充要条件,文[2]给出了关于有心圆锥曲线的弦对顶点张直角的充要条件,读后深受启发．经过研究,笔者把文[1]、文[2]中的三个定理进行了推广合并成一个定理,得到二次曲线内接直角三角形斜边过定点的一个统一的结论,并给出一个比较简洁的证明．     

关于一类定积分的性质及应用

<正> 文[1]、[2]、[3]用区间套原理分别证明了罗尔、拉格朗日、柯西等微分中值定理。本文先给出连续函数在定积分中的几个有趣性质,再应用这些性质构造区间套证明积分第一中值定理。     

用单调性证明数列的连续项积型不等式

对数列连续项积型不等式,文[1]给出了用其成立的一个充分条件证明的方法.笔者探究发现,用单调性证明某些此类不等式更简便.用单调性证明数列的连续项积型不等式的具体做法是:当所证不等式一边是常数时,直接根据     

关于函数光滑性与可微性的注记

本文提供一个反例,以完备文[1]中定理必要性的证明,并给出定理充分性的另外两个证明方法,其中一个是直接的证明方法,另一个是代数多项式逼近的方法。     

曲线拐点充分条件证明中的常见错误

文[1]给出了判别曲线拐点的两个充分条件,文[2]给出了一个充分条件,但三个定理的证明都是错误的.同时,文[1]的两个推论也是错误的.本文通过反例分析了其错因,并给出了文[1]中一个拐点充分条件的正确证明.     

离散系统的全局指数稳定性

本文给出了离散系统全局指数稳定性的两个充分条件,这些条件较文[1]的相应结果更为广泛且便于应用。文中还订正了文[1]在证明其结果时的一点错误。     

IMO42-2的推广的简证

第 42届 (2 0 0 1年 )国际数学奥林匹克试题第2题是 :对所有正实数ａ ,ｂ ,ｃ,证明 :ａａ2 +8ｂｃ+ｂｂ2 +8ｃａ+ｃｃ2 +8ａｂ ≥ 1 (1 )这个形式优美的不等式 ,看似简单 ,实则不易 ,文 [1 ]提供了一种反证法证明 .文 [2 ]、[3 ]则通过换元后 ,采用分析与综合相结合的证法 ,文[4]、[5 ]则给出了一种很简洁的叠加法证明 ,文[6 ]则采用文 [2 ]、[3 ]的方法 ,将 (1 )式推广为 :若ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ+,λ≥ 8,则ａａ2 +λｂｃ+ｂｂ2 +λｃａ+ｃｃ2 +λａｂ≥ 31 +λ (2 )文 [4]、[5 ]为证 (1 )式 ,先证明ａａ2 +8ｂｃ ≥ ａ43ａ43 +ｂ43 +ｃ43(3 )(3…     

“一个几何命题的推广”的向量证法

文[1]中对一道平面几何题进行了推广，读后深受启发，但笔者试着用向量证明文[1]中的命题．现介绍如下：为了方便用向量证明文[1]中的命题，先给出一个.     

用单调性证明数列的连续项积型不等式

对数列连续项积型不等式，文[1]给出了用其成立的一个充分条件证明的方法．笔者探究发现，用单调性证明某些此类不等式更简便．     

两个矩阵迹不等式及其证明

文[1]对Bellmen矩阵迹不等式做了进一步改进和推广,但征明需很多予备知识。本文用排序原理给出另一种简单的证明,并再给出一个新的矩阵迹的不等式,以供参考。     

亚纯函数微分多项式f~kQ[f]+P[f]的零点分布

文[4]对简单形式的微分多项式fkf’+a的零点分布进行了讨论,文[1]对一般形式的微分多项式fkQ[f]+P[f]的零点分布进行了讨论.但由于极点给证明带来的困难,这些工作主要是对整函数来做的.本文证明了任一满足δ(∞,f)>k+2ΓQ+3ΓP+2/2k+2ΓQ+1的超越亚纯函数f,微分多项式fkQ[f]+P[f]在不含f,Q[f]极点和P[f]零、极点的可数个圆盘并集之外有无穷多个零点,其中k≥3Γp+2,而ΓQ,ΓP分别是f的微分多项式Q[f],P[f]的权.文[1]和[2,4,6]中的结论是本文结论的特殊情况.     

单侧导数和对称导数混合方式下的微分中值定理

微分中值定理是分析中的一个重要定理,文[1-2]用对称导数讨论该定理,文[3-4]用单侧导数讨论该定理,而本文把两种导数结合起来以混合方式给出该定理的三种形式,且条件更弱.     

一个不等式的几何证法及推广引申

已知a〉1/3，b〉1/3，ab=2/9，求证a＋b〈1，文[1]、[2]、[3]分别用不同的方法证明此不等式，文[3]对它进行了推广，文[4]对文[3]的推广进行了改进并提出了一个“孪生”不等式．本文首先给出此不等式的一个几何证法，然后利用这一证法对此不等式进行推广引申．