一道不等式题的简捷证明

题　已知二次函数ｆ（ｘ）＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ,当－１≤ｘ≤１时,有－１≤ｆ（ｘ）≤１．求证：当－２≤ｘ≤２时,有　－７≤ｆ（ｘ）≤７．这是文［１］例３,原给出的证明较繁,现简证如下．证明　∵　ｆ（１）＝ａ＋ｂ＋ｃ,ｆ（０）＝ｃ,ｆ（－１）＝ａ－ｂ＋ｃ,∴　２ａ＝ｆ（１）＋ｆ（－１）－２ｆ（０）,∴　｜２ａ｜≤｜ｆ（１）｜＋｜ｆ（－１）｜＋２｜ｆ（０）｜≤１＋１＋２＝４,且　｜ｃ｜＝｜ｆ（０）｜≤１．若ｘ∈［－２,２］,则　ｘ′＝ｘ２∈［－１,１］,于是可得　｜ｆ（ｘ）｜＝｜ｆ（２ｘ′）｜＝｜２ｆ（…     

关于Klippert的一个猜测

本文证明文［２］中的猜测不成立设ｆ为区间［０，１］上实值函数，满足条件（ａ）ｆ在［０，１］上有界，（ｂ）ｆ在［０，１］上连续，（ｃ）ｆ（ｘ）不存在，试问是否存在？１９８２年Ｓ．Ｒｉｃｃｉ［１］给出Ｆ′＋（０）存在的例子：最近Ｊ．ｋｌｉｐｐｅｒｔ［２］给出Ｆ′＋（０）不存在的例子：Ｊ．ｋｌｉｐｐｅｒｔ提出如下猜测：如果ｆ满足（ａ）－（ｃ）并且ｆ的相邻零点之间距离依，α＞１，趋近于零，则Ｆ′＋（０）＝０，我们证明上述猜测不真，此外，我们给出Ｆ′＋（０），存在的一个充分条件。     

巧用函数单调性解赛题

函数ｆ（ｘ）在区间［ａ,ｂ］上单调增加（或单调减少）,又ｃ、ｄ∈［ａ,ｂ］上,若ｆ（ｃ）＝ｆ（ａ）,则有ｃ＝ｄ．１　求代数式的值例１　已知ｘ、ｙ∈［－π４,π４］,ａ∈Ｒ,且　ｘ３＋ｓｉｎｘ－２ａ＝０４ｙ３＋ｓｉｎｙｃｏｓｙ＋ａ＝０则ｃｏｓ（ｘ＋２ｙ）＝　　．（１９９４年全国高中数学竞赛题）解　由已知条件,可得　　ｘ３＋ｓｉｎｘ＝２ａ（－２ｙ）３＋ｓｉｎ（－２ｙ）＝２ａ故可设函数ｆ（ｔ）＝ｔ３＋ｓｉｎｔ,则有ｆ（ｘ）＝ｆ（－２ｙ）＝２ａ．由于函数ｆ（ｔ）＝ｔ３＋ｓｉｎｔ,在［－π２,π２］上是单…     

Riccati微分方程的可积条件

Ｉｎ１９９８,ＺｈａｏＬｉｎｌｏｎｇ［１］ｏｂｔａｉｎｅｄｔｈｅｉｎｔｅｇｒａｂｌｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎ：Ｒ＝１αγＰｅ２∫（Ｑ－βＤ）ｄｘ　　　（α,β,γｉｓｃｏｎｓｔ）．（１）ＦｏｒＲｉｃｃａｔｉｅｑｕａｔｉｏｎ：ｙ′＝ｐ（ｘ）ｙ２＋Ｑ（ｘ）ｙ＋Ｒ（ｘ）　　（ＰＲ≠０）．（２）　　Ｈｅｒｅｔｈｅｎｅｗｉｎｔｅｇｒａｂｌｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓｉｓｇｉｖｅｎ：Ｌ［ｙ０］＝１αγＰｅ２∫（Ｑ＋２ｙ０ｐ－βＤ）ｄｘ．（３）Ｌ［ＡＢ＋ｙ０］＝１αγ（ＡＢ）２Ｌ［ｙ０］ｅ２∫（２ＢＡＬ［ｙ０］＋Ｑ＋２ｙ…     

推广的黎曼(Riemann)引理之简证

推广的黎曼（Ｒｉｅｍａｎｎ）引理之简证彭学梅（湖南省吉首大学数学系４１６０００）推广的（Ｒｉｅｍａｎｎ）引理设函数ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上可积并绝对可积，函数ｇ（ｘ）以Ｔ（＞０）为周期，且在［０，Ｔ］上可积，则ｌｉｍλ＋∞∫ｂａｆ（ｘ）ｇ（λｘ）ｄｘ...     

拉格朗日中值定理的推广

《高等数学》教材中的微分学基础定理，即著名的拉格朗日中值定理抄录如下：定理若函数ｆ（ｘ）在闭区间［ａ，ｂ］上连续，在开区间（ａ，ｂ）内可导，则至少存在一点ξ∈（ａ，ｂ），使得ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）ｂ－ａ＝ｆ’（ξ），ａ＜ξ＜ｂ．本文先把这个定理推广到有限...     

Jacobi多项式零点为结点的Lagrange插值多项式之逼近

对于可微函数ｆ∈Ｃｑ［－１，１］，本文研究以Ｊａｃｏｂｉ多项式Ｊ（α，β）ｎ（ｘ）的零点为结点组之Ｌａｇｒａｎｇｅ插值多项式对ｆ及其导数的同时逼近，证明不等式Ｌ（ｓ）ｎ（ｆ，α，β，ｘ）－ｆ（ｓ）（ｘ）＝Ｏ（１）Δ－ｓｎ（ｘ）Δｑｎ（ｘ）ω（ｆ（ｑ），Δｎ（ｘ））ｌｏｇｎ｛＋（１－ｘ＋ｎ－１）－α－１２ｎ－ｑω（ｆ（ｑ），ｎ－１）｝，在［０，１］上对于ｓ＝０，１，２，…，ｑ一致成立，其中Δｎ（ｘ）＝ｎ－１１－ｘ２＋ｎ－２     

椭圆一个定理的又一初等证明

定理　椭圆Ｃ：ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０）有且仅有两条对称轴：直线ｘ＝０和ｙ＝０．文［１］指出,这个定理的证明一般要用到仿射几何知识,同时文［１］给出了一个初等证明．笔者再给出这个定理的又一种初等证明如下．定理的证明　易验证直线ｘ＝０和ｙ＝０均是椭圆Ｃ的对称轴．因点Ｂ（０,ｂ）关于直线ｘ＝ｋ（ｋ≠０）的对称点Ｂ′（２ｋ,ｂ）不在椭圆Ｃ图１上,故直线ｘ＝ｋ（ｋ≠０）不是椭圆Ｃ的对称轴．设Ｆ１,Ｆ２是椭圆Ｃ的两个焦点,椭圆Ｃ的长轴Ａ１Ａ２关于直线ｌ：ｙ＝ｋｘ＋ｎ（ｋ,ｎ至少有一个不等于零）的…     

用解微分方程的方法求中值定理类问题中的辅助函数

用解微分方程的方法求中值定理类问题中的辅助函数龚漫奇（北方交通大学数学系１０００４４）对于微分中值定理类问题：１设ｆ（ｘ）在上可导且，求证：存在使２设ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］上可导且ｆ（ａ）＝ｆ（ｂ）＝０；求证：存在ξ∈（ａ，ｂ）使ｆ＇（ξ）＋...     

关于单调函数的不动点问题

关于单调函数的不动点问题王良成（四川省达县师专６３５０００）本文用数学分析中的实数理论对一类未必连续的单调函数的不动点及其性质作如下探讨．定理１设ｆ（ｘ）为闭区间［ａ，ｂ］上的单调增加函数，且，则ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上存在不动点．证国ｆ（ｘ）在［ａ，...     

对《关于f~n(x)=x的讨论》的商榷

对《关于ｆｎ（ｘ）＝ｘ的讨论》的商榷郎永发（安徽省铜陵县教委督学２４４１００）本刊１９９６年第９期发表张伟年先生的《关于ｆｎ（ｘ）＝ｘ的讨论》一文，以下简称文［１］．其中，定理１（ｂ）原意是：“ｆ（ｘ）＝ａｘ＋ｂｘ＋ｃ（ａ，ｂ，ｃ∈Ｒ且ａｃ－ｂ≠０）...     

Opial－Olech型不等式的改进及其应用

本文给出：设ｆ（ｘ）在［０，ｈ］上绝对连续。ｆ（０）＝ｆ（ｈ）＝０，ｐ＞０，ｑ＞１和ｓ＝Ｐ／（ｐ＋ｑ－１），则有 其中θ（ｐ）＝1/2,p+q>0,θ（ｐ）＝P/2.当１＜ｐ＋ｑ＜２.若代（Ａ）右边为零。即为Ｏｐｉａｌ－Ｏｌｃｃｈ不等式。实际上本文所得结果还要广泛。     

1997年高考24题的深刻背景

文［１］介绍了１９９７年高考（理科）２４题的命题思想，其最初形式为给定二次多项式ｆ（ｘ）＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ，ａ＞０，设０＜ｘ１＜ｘ２＜１ａ，满足ｆ（ｘｉ）＝ｘｉ，ｉ＝１，２，证明：当０＜ｘ＜ｘ１时，（１）ｘ＜ｆ（ｘ）＜ｘ１；（２）存在０＜ｑ＜１，使得...     

费尔马最后定理的证明

（ｉ）我们用（ｘ－ｂ）ｎ＋ｘｎ＝（ｘ＋ａ）来代替ｘｎ＋ｙｎ＝ｚｎ作为费尔马最后定理（ＦＬＴ）的普遍方程式．其中ａ及ｂ是两个任意自然数．应用二项展开式，（０．１）可以写成因为ａｒ－（－ｂ）ｒ始终包含ａ＋ｂ作为它的因数，（０．２）可写成其中фｒ＝［ａｒ－（－ｂ）ｒ］／（ａ＋ｂ）对于ｒ＝１，２，…，ｎ．都是个整数．（ｉｉ）令ｓ是ａ＋ｂ的一个因数，并令ａ＋ｂ＝ｓｃ．我们可用ｘ＝ｓｙ来变换（０．３）成为下列（０．４）（ｉｉｉ）将（０．４）除以Ｓ２，我们得（０．５）式的左边，是的整系数多项式，而右边ｃф／ｓ是个常数Ｃф／ｓ．若Ｃф／ｓ不是个整数，那末我们不能求得能适合（０．５）的整数ｙ，这样ＦＬＴ对这场合是对问．若Ｃфｎ／ｓ是个整数，我们可以改变ｓ和ｃ，使ｃф／ｓ≠整数。     

The Properties of Finitely Generated Shift-invariant Subspace in L_(2π)~2

§１．　ＩｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎＡｔｆｉｒｓｔ,ｗｅｉｎｔｒｏｄｕｃｅｏｕｒｎｏｔａｔｉｏｎｓ．Ｗｅｄｅｎｏｔｅｔｈｅｃｌａｓｓｏｆａｌｌｓｑｕａｒｅ－ｉｎｔｅｇｒａｂｌｅ２π－ｐｅｒｉｏｄｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎｓｂｙＬ２２π,ｔｈａｔｉｓ,Ｌ２２π＝｛ｆ（ｘ）｜ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋２π）,ｘ∈Ｒ,∫２π０｜ｆ（ｘ）｜２ｄｘ＜∞｝．　　Ｆｏｒａｎｙｆ（ｘ）,ｇ（ｘ）∈Ｌ２２π,ｔｈｅｉｎｎｅｒｐｒｏｄｕｃｔ〈ｆ,ｇ〉ｉｓｄｅｆｉｎｅｄａｓ〈ｆ,ｇ〉：＝１２π∫２π０ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ．（１．１）　…     

多项式系数大小与多项式不可约

多项式系数大小与多项式不可约梅汉飞（湖南省常德师专４１５０００）Ｐｅｒｓｏｎ于１９０７年首次通过比较多项式系数的大小，来判定多项式不可约：定理Ａ［１］设ｆ（ｘ）＝ｘｎ＋ａｎ－１ｘｎ－１＋…＋ａ１ｘ＋ａ０，ａ０≠０是一个整系数多项式．如果则人叫在有理数...     

关于积分第一中值定理的补充说明

关于积分第一中值定理的补充说明邓波（贵州织金煤勘一七四队子校５５２１００）在数学分析教材［１］、［２］及［３］中，积分第一中值定理被叙述为：“若ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，ｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］上不变号，且在［ａ，ｂ］上可积，则在［ａ，ｂ］中存在一点ξ...     

小议变上限的定积分

设函数ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上可积，则对任何ｘ∈［ａ，ｂ］，定积分∫ｘａｆ（ｔ）ｄｔ定义了区间［ａ，ｂ］上的一个关于ｘ的函数Ｆ（ｘ），称为“变上限的定积分”，即Ｆ（ｘ）＝∫ｘａｆ（ｔ）ｄｔ，且若函数ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，则ｄｄｘ∫ｘａｆ（ｔ）ｄｔ...     

一类高阶微分方程第二特征值的上界

本文考虑形如（－１）ｔＤｔ（ｐ（ｘ）Ｄｔｙ）＝λ（－Ｄ２）ｒｙ，ｘ∈（ａ，ｂ），Ｄｋｙ（ａ）＝Ｄｋｙ（ｂ）＝０，ｋ＝０，１，２，…，ｔ－１｛的第二特征值λ２的上界问题，得到了定理１和定理２，其中定理１的估计系数与［ａ，ｂ］无关，定理２的结果在一定条件下比定理１的好．     

高阶左、右导数

高阶左、右导数唐烁，仲虹（合肥工业大学）（安徽大学）在教材［１］中，有这样一道习题：设函数ｆ（ｘ）当ｘ≤ｘ。时有定义且可微分两次，问ａ，ｂ，ｃ为何值时，使函数ｆ（Ｘ）Ｘ≤０Ｆ（Ｘ）＝＜ａ（ｘ－ｘ０）２＋ｂ（ｘ—ｘ０）＋ｃｘ＞ｘ０可微分两次。书后提供的...