三对角对称正定矩阵的一类反问题

§1.引言文[1]、[2]分别研究了对称正定阵和一类三对角 Stieltjes 阵的反问题,并分别给出了这两类反问题解存在的充要条件及解的通式,从[1][2]中知道,研究矩阵反问题,重要的一步是探求反问题求解矩阵类的一般分解形式。本文吸收了[2]中构造矩阵分解的思想,建立了一般三对角对称正定阵的矩阵分解,得到了这类矩阵反问题解存在的充分必要条件及通解表达式。此外,本文还研究了这类矩阵的一个子类——一般三对角对称     

半正定矩阵及矩阵方程AX=B的反问题

文从研究一类控制系统的实际背景提出对已知实向量x,b求满足Ax=b的对称正定阵A的一类反问题。文[2]与[3]研究了上述反问题在对称正定类、正定类中有解的充要条件及解的一般形式。本文讨论复矩阵方程 AX=B(1)(X,B为m×n阵,A为m×m阵)在半正定、正定、H半正定、H正定类中反问题有解的充要条件及其解集的一般形式。如无特别申明,本文总考虑复矩阵和复向量,其共轭转置用“*”表     

子空间上的对称正定及对称半正定阵的左右特征值反问题

文[1][2][3]中讨论AX＝B的对称阵逆特征值问题，文[4][5][6]中讨论了半正定阵的逆特征值问题。本文讨论了空间了子空间上的对称正定及对称半正定阵的左右特征值反问题，给出了解存在的充分条件及解的表达式。     

流形上矩阵方程AX=B的正定及半正定阵的反问题

文[1-5]中研究了对称、对称半正定及流形上的对称半正定的反问题,并说明了其应用背景.本文研究线性流形上的正定及半正定阵的反问题,说明了文[1-3]中的一些结果为本文的特例.     

正定矩阵的子式阵仍是正定矩阵的一个充要条件

文[2]证明了实对称正定矩阵的子式阵仍然是实对称正定矩阵,文[3]给出了一般的正定矩阵的的概念,本文利用标准型给出了一般正定矩阵的子式阵仍然是正定矩阵的充要条件.     

正定矩阵的子式阵仍是正定矩阵的一个充要条件

文[2]证明了实对称正定矩阵的子式阵仍然是实对称正定矩阵,文[3]给出了一般的正定矩阵的的概念,本文利用标准型给出了一般正定矩阵的子式阵仍然是正定矩阵的充要条件．     

三对角阵为广义正定阵的判别定理

一、定义与引理实对称正定阵与 Hermite 正定阵在几何学,物理学及概率论等学科中都有广泛应用。随着数学本身的发展,以及应用矩阵理论的其他学科的需要,人们研究未必对称的较为广义的正定矩阵。文[1]中给出了这类矩阵的定义:定义1 [1]设 A∈R~(n×n),若对于任何0≠X=(x_1,…,x_n)~T∈R~(n×1),都有 X~T AX>0,则称 A 为正定矩阵,并记为 A∈P_I。     

一类特殊矩阵的特征值反问题

§1 引言 关于特征值反问题的历史沿革,作者在文[1]中已经作了介绍,当前研究得比较成熟的是对称三对角矩阵的特征值反问题。作者在文[2]中提供了一个对称三对角矩阵特征值反问题的实际应用例子。本文考虑如下形状矩阵的特征值反问题:设     

Ax=b 在 M-阵和 S-阵类中的反问题

引言对给定的 n 维实向量 x 和 b,欲求某类 n 阶实矩阵 A,使满足 Ax=b,称为线性方程组Ax=b 的反问题.这种问题的实际背景来自控制系统的绝对稳定性.文[2]讨论了上述反问题在正定阵、正交阵等类中有解的条件.本文将研究这种反问题在 M-阵类和 S-阵类中有解的条件.我们利用这两类矩阵的分块判定法,得到了一些充要条件,使问题完满解决.     

关于对广义的正定矩阵进一步研究

通常讨论矩阵的正定性只局限在实对称矩阵范围内(以下我们把全体n阶实对称正定矩阵的集合记为S~+),随着数学本身的发展和其它学科的需要,有不少人开始研究未必对称的较广义的实正定矩阵.李炯生在文[1]中给出了一类较广义的实正定矩阵的定义: 设A是n阶实方阵.如果对于任何非零的n维列向量X都有 X~TAX>0,其中X~T表示X的转置,则把A叫做正定矩阵.全体这类矩阵的集合记为P(I).文[1]证明了A∈P(I)的充分必要条件是A的对称分量是对称正定矩阵(即把A表示为对称矩阵与反对称阵的和的形式,前者称为对称分量,后者称为反对称分量).同时还推得P(I)中矩阵其     

对称双正型线性互补问题的多重网格迭代解收敛性理论

多重网格法是七十年代产生并获得迅速发展的快速送代法.八十年代初,此方法开始应用于变分不等式的求解,其中包括一类互补问题,近十年来大量的数值实验证实,算法是成功的,而算法的收敛性理论也正在逐步建立,当A正定对称时的多重网格收敛性可见[3]和[7];[4]讨论了A半正定时的情况·本文考虑A为更广的一类矩阵:对称双正阵(见定义1.1),建立互补问题:     

对称双正型线性互补问题的多重网格迭代解收敛性理论

多重网格法是七十年代产生并获得迅速发展的快速送代法.八十年代初,此方法开始应用于变分不等式的求解,其中包括一类互补问题,近十年来大量的数值实验证实,算法是成功的,而算法的收敛性理论也正在逐步建立,当A正定对称时的多重网格收敛性可见[3]和[7];[4]讨论了A半正定时的情况·本文考虑A为更广的一类矩阵:对称双正阵(见定义1.1),建立互补问题:     

实对称五对角矩阵的两类广义特征值反问题

讨论了如下两类广义特征值反问题:(i)由给定的三个互异的特征对和给定的实对称正定五对角矩阵构造一个实对称五对角矩阵;(ii)由给定的三个互异特征对和给定的全对称正定五对角矩阵构造一个全对称五对角矩阵.利用线性方程组理论、对称向量和反对称向量的性质,分别得到了两类反问题存在唯一解的充要条件,并给出了解的表达式和数值算法;最后通过数值例子说明了算法的有效性.     

关于线性代数方程 Ax=b 的一类反问题

<正> 湖南大学李森林教授在研究一类直接控制系统的绝对稳定性的充要条件时提出了一个关于线性代数方程的反问题(以下简称反问题 I):已知 x,b 是非零 n 维向量,x~Tb>0,则一定存在一个对称正定矩阵 A 满足方程Ax=b.(1)李森林教授在[1]中获得了上述反问题 I 的一个特解,本文就这一类反问题给出了解A 的存在性证明,给出了 A 的几种构造方法,并导出了 A 阵的通解表达式.本文中除特别声明外,一律假设非零的 n 维向量 x,b 线性无关,若线性相关则其解是显然的,无需讨论.     

Ax=b在广义正定矩阵类中的反问题求解

有许多类直接控制系统的绝对稳定性[1]涉及到这样一类线性方程组协Ax＝b的反问题：对于给定的x，b∈Rn，n阶实矩阵类Ⅱ（n），求解集Ⅰ（Ⅱ（n）；x，b）＝｛A∈Ⅱ（n）｜Ax＝b｝非空的条件．文[2]讨论了反问题Ⅰ（Ps（n）；x，b）≠（Ps（n）为正定降类）和Ⅰ（O（n）；x，b）≠（O（n）为正交阵类）的条件，文[3]进一步给出了Ⅰ（M-阵类；x，b）和Ⅰ（S-阵类；x，b）有解的条件．本文将研究这类反问题在更广的一类矩阵类─—广义正定矩阵[4，5]类中的求解，从而使这类反问题得到了较完满的解决．     

关于半正定性与偏序关系的两个问题

在讨论参数估计的容许性问题时，我们常常要考虑矩阵的偏序关系．即设A，B均为n阶对称矩阵．著A-B是非负定阵，则称A大于等于B，记作A≥B，记号A≥0表示A为半正定阵．由矩阵不等式可导出根多数值不等式，如文[1]中有如下众所周知的结论：     

关于《亚正定阵理论(Ⅱ)》一文的错误

设A∈R~n×n,如果R(A)(?)A A’/2为正定矩阵,则称A为亚正定矩阵.文[1]、[2]研究了亚正定矩阵,得出了一些新的结果.这里指出,文[2]中有些疏漏和错误.取(?),则A为亚正定矩阵,B为正定矩阵,容易验证文[2]中定理2和定理5的结论均不成立.其原因在于原文定理证明中错误地运用了Holder第二不等式.要使结论成立,两个定理均需附加条件“亚正定矩阵A的特征值都是实数”.     

关于广义Minkowski不等式的一个注记

本文用反例证明了文[1]中与亚正定阵有关的一系列结论有错误。研究了文[2]中涉及亚正定阵的广义Minkowski不等式的证明过程，得到一个新结果，从而修正了这个不等式。     

复矩阵正定性的进一步拓广

实对称矩阵的正定性的研究已取得丰富的成果,并为众多学科所应用。随着应用问题的研究对实矩阵的正定性已有种种推广[1][2][4]。特别[2]对复正定 Hemite 阵作了推广。本文对复矩阵的正定性概念予以进一步拓广,建立了若干有趣的结果。     

线性流形上亚半正定阵的一类逆特征值问题

1　引言与引理设 Rm× n表示所有 m× n实矩阵集合 ,m=n时 ,Rm× n简记为 Rm;Rm0 表示所有 m阶亚半正定阵集合 ,即 Rm0 ={ A∈Rm× m|YTAY≥ 0 , Y∈Rm× 1 } ;ORm表示 m阶正交矩阵集合 ;A+表示矩阵 A的 Moore-Penrose广义逆 ;‖·‖表示 Frobenius范数 .In 表示 n阶单位阵 ,有时令SE={ A∈ Rm× m|‖ AE -F‖ =min,E,F∈ Rm× k} ,(1 .1 )则 SE是线性流形 .文 [1 ] ,[2 ]分别研究了 SE上实对称矩阵及实对称半正定阵的逆特征值问题 ,本文将进一步研究 SE上亚半正定阵的一类逆特征值问题 ,具体叙述如下 :问题 　给定 X,B∈R…