对称正交反对称矩阵反问题解存在的条件

矩阵反问题和矩阵特征值反问题在科学和工程技术中具有广泛的应用,有关它们的研究已取得了许多进展[1,2].[3]和[4]分别研究了反对称矩阵反问题和双反对称矩阵特征值反问题等.本文研究一类更广泛的对称正交反对称矩阵反问题.用Rn×m（Cn×m）表示n×m实（复）矩阵的全体,ASRn×n表示n阶反对称矩阵的全体,ABSRn×n表示n阶双反对称矩阵的全体,ORn×n表示n阶正交矩阵的全体.A+表示矩阵A的Moore-Penrose广义逆.In表示n阶单位矩阵.ei表示n阶单位矩阵的第i列,Sn=[en,en-1,     

矩阵方程XTAX=B的一类反问题

1引言 本文用Rn×m表示所有n×m实矩阵全体;SR0n×n表示所有n阶实对称半正定矩阵全体;In表示n阶单位矩阵;A-,A+分别表示矩阵A的一个广义逆和Moore-Penrose广义逆;A≥0表示A为对称半正定矩阵;Sn=(en,en-1,…,e1)∈Rn×n,其中ei为单位阵In的第i列; [n/2]表示不超过n/2的最大整数.     

线性流形上对称正交反对称矩阵反问题的最小二乘解

设P是n阶对称正交矩阵,如果n阶矩阵A满足AT=A和(PA)T=-PA,则称A为对称正交反对称矩阵,所有n阶对称正交反对称矩阵的全体记为SARnp.令S={A∈SARnp f(A)=‖AX-B‖=m in,X,B〗∈Rn×m本文讨论了下面两个问题问题Ⅰ给定C∈Rn×p,D∈Rp×p,求A∈S使得CTAC=D问题Ⅱ已知A~∈Rn×n,求A∧∈SE使得‖A~-A∧‖=m inA∈SE‖A~-A‖其中SE是问题Ⅰ的解集合.文中给出了问题Ⅰ有解的充要条件及其通解表达式.进而,指出了集合SE非空时,问题Ⅱ存在唯一解,并给出了解的表达式,从而得到了求解A∧的数值算法.     

Hoffman-Wielandt定理的推广及应用

1　引言及记号用 Rn× n表示所有 n× n阶实矩阵的集合 ,用 Sn× n,Sn× n+及 Sn× n++分别表示所有 n×n实对称矩阵 ,实对称半正定矩阵及实对称正定矩阵的集合 ,用 Tr(M)表示矩阵 M的迹 ,对 A,B∈ Rn× n.定义其内积为 A×B=Tr(ATB) .考虑如下半正定线性互补问题 :求 X,Y∈ Sn× n使Y =L (X) +Q,X≥ O,Y≥ O,X× Y =0 ,(1)其中 Q∈ Sn× n,L :Sn× n→ Sn× n为线性算子 ,而 X≥ O表示 X∈ Sn× n+(O表示零矩阵 ) .若 L:Sn× n→Sn× n满足X× L (X)≥ 0 ,　　 X∈ Sn× n. (2 )则称其为单调算子 ,而相应的问题称为单…     

线性流形上矩阵方程BTXB=F的双对称最小二乘解

1引言令R~(n×m)、OR~(n×n)、SR~(n×n)(SR_0~(n×n))分别表示所有n×m阶实矩阵、n阶实正交阵、n阶实对称矩阵(实对称半正定阵)的全体,A~ 表示A的Moore-Penrose广义逆,I_k表示k阶单位矩阵,S_k表示k阶反序单位矩阵。R(A)表示A的列空间,N(A)表示A的零空间,rank(A)表示矩阵A的秩。对A=(a_(ij)),B=(b_(ij))∈R~(n×m),A*B表示A与     

一类对称正交对称矩阵反问题的最小二乘解

1 引言 本文记号R~(n×m),OR~(n×n),A~+,I_k,SR~(n×n),rank(A),||·||,A*B,BSR~(n×n)和ASR~(n×n)参见[1].若无特殊声明文中的P为一给定的矩阵且满足P∈OR~(n×n)和P=P~T. 定义1 设A=(α_(ij))∈R~(n×n).若A满足A=A~T,(PA)~T=PA则称A为n阶对称正交对称矩阵;所有n阶对称正交对称矩阵的全体记为SR_P~n.若A∈R~(n×n)满足A~T=A,(PA)~T=-PA,则称A为n阶对称正交反对称矩阵;所有n阶对称正交反对     

线性流形上亚半正定阵的一类逆特征值问题

1　引言与引理设 Rm× n表示所有 m× n实矩阵集合 ,m=n时 ,Rm× n简记为 Rm;Rm0 表示所有 m阶亚半正定阵集合 ,即 Rm0 ={ A∈Rm× m|YTAY≥ 0 , Y∈Rm× 1 } ;ORm表示 m阶正交矩阵集合 ;A+表示矩阵 A的 Moore-Penrose广义逆 ;‖·‖表示 Frobenius范数 .In 表示 n阶单位阵 ,有时令SE={ A∈ Rm× m|‖ AE -F‖ =min,E,F∈ Rm× k} ,(1 .1 )则 SE是线性流形 .文 [1 ] ,[2 ]分别研究了 SE上实对称矩阵及实对称半正定阵的逆特征值问题 ,本文将进一步研究 SE上亚半正定阵的一类逆特征值问题 ,具体叙述如下 :问题 　给定 X,B∈R…     

子空间上的一类矩阵反问题

1 引言 设Rn×m为所有n×m实矩阵的集合,ASRn×n为n阶实反对称矩阵的集合,ORn×n 为n阶实正交矩阵的全体. In是n阶单位矩阵,A+,R(A),N(A)分别表示矩阵A的 Moore-Penrose广义逆、值域及零空间,并记EA=I-AA+,FA=I-A+A(I为单位矩 阵,A为任意矩阵).对A=(aij),B=(bij)∈Rn×m,A*B=(aijbij)表示矩阵A与B 的Hadamard积.在Rn×m上定义矩阵A与B的内积为(A,B)=tr(BT A),则由此内积 导出的范数‖A‖=(A,A)~(1/2)是矩阵的Frobenius范数,并且Rn×m构成一个完备的内积 空间.     

iljak猜想的反例及进一步结果

R~(n×n)表示 n 阶实矩阵组成的集合,R~n 表示 n 维实向量空间.本文中的矩阵假定都属于 R~(n×n).给定一个矩阵 A∈R~(n×n),A>0(A≥0)表示 A 是一个对称正定(非负定)矩阵;A 称为正(非负)矩阵,如 A 的元素都是正的(非负的).矩阵 A 称为稳定矩阵,如A 的特征值的实部都是负的.     

Siljak 猜想的反例及进一步结果

R~(n×n)表示 n 阶实矩阵组成的集合,R~n 表示 n 维实向量空间.本文中的矩阵假定都属于 R~(n×n).给定一个矩阵 A∈R~(n×n),A>0(A≥0)表示 A 是一个对称正定(非负定)矩阵;A 称为正(非负)矩阵,如 A 的元素都是正的(非负的).矩阵 A 称为稳定矩阵,如A 的特征值的实部都是负的.     

奇异M—矩阵和广义对角占成阵的实用判定准则

1　引言和符号首先对本文所采用的符号和术语作一约定和说明,而不再重申.N表示前面n个自然数的集合,而分别用Mn(C)和Mn(R)表示所有n阶复方阵和n阶实方阵的集合,Rn表示n维实列向量.Zn={A|A=(aij)∈Mn(R),aij≤0,i≠j,i,j∈N}.若A∈Zn则称A为Z-矩阵,有时也简记为A∈Z.I恒表示适当阶的单位矩阵.设α和β为N的非空子集,对于A∈Mn(C),把由A中行标属于α而列标属于β的元素按照原来相对位置所构成的子矩阵记为A(α,β),特别地,把主子阵A(α,α)简记为A(α)、当A(α)可逆时,其逆阵记为A(α)-1,此时称矩阵A/A(α)=A(α)-A(α,α).…     

矩阵方程AXB+CYD=E对称最小范数最小二乘解的极小残差法

<正>1引言本文用R~(n×m)表示全体n×m实矩阵集合,用SR~(n×n)表示全体n×n实对称矩阵集合,OR~(n×n)表示全体n×n实正交矩阵集合.用I_n表示n阶单位矩阵,用A*B表示矩阵A与B的Hadamard乘积.对任意矩阵A,B∈R~(n×m),定义内积〈A,B〉=tr(B~T A),其中     

线性流形上对称正交对称矩阵逆特征值问题

1.引言 令R~(n×m)表示所有n×m阶实矩阵集合;OR~(n×n)表示所有n阶正交矩阵全体;A~+表示A的Moore-penrose广义逆;I_к表示К阶单位阵;SR~(n×n)表示n阶实对称矩阵的全体;rank(A)表示A的秩;||·||是矩阵的Frobenius范数;对A=(a_(ij)),B=(b_(ij))∈R~(n×m),A＊B表示A与B的Hadamard乘积,其定义为A*B=(a_(ij),b_(ij))。     

线性流形上矩阵方程AX=B的一类反问题及数值解法

1．引言本文用＊-"m表示全体nX。实矩阵的集合，人表示n阶单位矩阵，汉"m一《ME＊""叫rank（川一r），＊＊"""＝HE＊"""卜"A＝v，＊＊"""一仰E＊"""卜"一M｝，SR；""（SR7""）表示全体7。阶实对称半正定（正定）阵集合．N（A）表示矩阵A的零空间，即N（A）＝（xlAx＝0），ID叫D表示Frobenius范数，A"表示矩阵A的Moors－Penrose广义逆，［EI十表示在Frobenius范数意义下n阶方阵E在SR；""中唯一的最佳k逼近解，即口一［E］＋11-inf。。、。。x，IllE-All．（［E］十求法见文［7］）．还用A三0（A三0）表示A（的k阶顺序主子矩…     

三对角阵为广义正定阵的判别定理

一、定义与引理实对称正定阵与 Hermite 正定阵在几何学,物理学及概率论等学科中都有广泛应用。随着数学本身的发展,以及应用矩阵理论的其他学科的需要,人们研究未必对称的较为广义的正定矩阵。文[1]中给出了这类矩阵的定义:定义1 [1]设 A∈R~(n×n),若对于任何0≠X=(x_1,…,x_n)~T∈R~(n×1),都有 X~T AX>0,则称 A 为正定矩阵,并记为 A∈P_I。     

矩阵方程A~TXA=D的双对称最小二乘解

１．引 言 本文用 Ｒｎ×ｍ表示全体 ｎ×ｍ实矩阵集合，用 ＳＲｎ×ｎ（ＳＲ０ｎ×ｎ）表示全体 ｎ× ｎ实对称（实对称半正定）矩阵集合，ＯＲｎ×ｎ表示全体 ｎ× ｎ实正交矩阵集合，ＢＳＲｎ×ｎ表示全体ｎ×ｎ双对称实矩阵集合．这里，一个实对称矩阵Ａ＝（ａｉｊ）ｎ×ｎ被称为双对称矩阵，如果对所有的 　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　用Ａ×Ｂ表示矩阵 Ａ与 Ｂ的Ｈａｄａｍａｒｄ乘积，Ｉｋ表示 ｋ× ｋ阶单位矩阵，Ｏ表示零矩阵，Ｓｋ＝（ｅｋ，…，ｅ２，ｅ１）∈ Ｒｋ×ｋ，其中ｅｉ表示Ｉｋ的第ｉ列． 矩阵方程…     

双反对称矩阵反问题的最小二乘解

1 引 言Rn×m表示所有n×m阶实矩阵集合,Rrn×m表示Rn×m中秩为r的子集;ORn×m表示所有n阶正交阵的集合;A+表示A的Moore-Penrose广义逆;Iκ表示κ阶单位阵;||·||表示Frobenius范数;ASRn×m表示n阶实反对称阵的全体;A＊B表示A与B的Hadamard乘     

矩阵对角占优性的推广及应用

§1.引言设 A=(a_(ij))_(n×n)为一复矩阵,若有一正向量 d=(d_1,d_2,…,d_n)~T 使得d_i|a_(ij)|≥sum from j≠1 d_j|a_(ij)|,(1)对每一 i∈N={1,2,…,n}都成立,则称 A 为广义对角占优矩阵,记为 A∈D_0~*;如若(1)式中每一不等号都是严格的,则称 A 为广义严格对角占优矩阵,记为 A∈D~*.特别地,当 d=(1,1,…,1)~T 时,A∈D_0~*及 A∈D~*即是通常的对角占优与严格对角占优,分别记作 A∈D_0及 A∈D.利用矩阵的对角占优性质讨论其特征值分布是矩阵论中的重要课题,文献[5]—[10]给出了这方面的重要结果.n 阶实方阵 A 称为 M-矩阵,如果 A具有形式:A=sI-B,s>ρ(B),其中 B 为 n 阶非负方阵,ρ(B)表 B 之谱半径,利用广义严格对角占优的概念,文[1]给出了 M-矩阵的等价表征:若 n 阶实方阵     

广义严格对角占优阵的判定程序

1 引言和符号 在本文中,均采用下列符号而不再重申.恒用N表示前n个自然数的集合;而用Mn(C)和Mn(R)分别表示所有n阶复矩阵和所有n阶实矩阵的集合. Z_N={A|A=(a_(ij))_(n×n)∈Mn(R),a_(ij)≤0,i,j∈N,i≠j},I恒表示单位矩阵. 如果A∈Mn(R)且A的所有元素都为非负实数,则称A为非负方阵,并记为A≥0;若A的所有元素都为正数,则称A为正矩阵,并记为A>0. 对A=(a_(ij))(n×n)∈Mn(C),令A_i(A)=sum from j=1 j≠i to n (|a_(ij)|(i=1、2…… n)) ;若把A的非零元用1代替 而得到—个n阶(0,1)矩阵。称为A的导出矩阵。记为;而把A的比较矩阵记为 u(A)=(b_(ij))_(n×n))其中b_(ij)=|a_(ij)|,b_(ij)=-|a_(ij)|(i,j∈N i≠j)     

线性流形上实对称半正定阵的一类反问题

1　引　　言文中记Rn×m为所有n×m阶实阵集合,SRn×n为所有n阶实对称阵集合,Pn表示所有n阶实对称半正定阵集合,A≥0表示方阵A对称半正定.A+、R(A)、N(A)分别表示矩阵A的Moore-Penrose广义逆,列空间和零空间,‖·‖表示Froblnius范数.对于Z.Y∈Rn×k,令S={A∈Pn|AZ=Y,ZTY∈PK,R(YT)=R(YTZ)}(1.1)　　现考虑如下问题:问题　给定X.B∈Rn×m,找A∈S,使得AX=B(1.2)　　问题　给定A∈Rn×n,找A∈SE,使得‖A-A‖=infA∈SE‖A-A‖(1.3)其中SE是问题的解集合.问题与具有重要的应用背景,当Y=ZΛ,Λ=diag(λ1,λ2,…