定积分的简化计算

通过改变被积函数形式实现定积分计算简化。即通过变量代换，将对被积函数为f（x）的定积分转化为对被积函数为f（x）＋f（a＋b-x）的定积分,从而使得一些定积分的计算过程得以简化，黄给出几种推广形式．     

一类积分公式的构造及应用

通过变量代换,将被积函数推广为[2,+∞)上的连续函数,构造出一类积分等式,并利用偶函数在对称区间上的积分性质,化简定积分计算.     

二重积分的变量代换

变量代换是计算积分的一种有效方法.用不用变量代换的方法,不仅是计算简便和繁杂的问题,而且有时也是算得出和算不出的问题,所以必须很好掌握.本文仅从一典型例子出发,说明在二重积分的变量代换中,除了常用的极坐标这一特殊变量代换外,有时还需要作其它的变量代换.这虽然有很大的随意性,但选取变换的标准首先应考虑使积分区域化简,从而使积分限容易安排,同时被积函数也易于求累次积分.     

分割积分区间计算定积分

在定积分的计算中,当积分区间关于坐标原点对称且被积函数为奇函数或偶函数时很容易计算．当被积函数为非奇非偶函数时的计算方法是先分割积分区间再作变量替换,进一步给出任意区间上的定积分的计算有相同的计算方法．     

定积分换元公式的推广及举例

本文在被积函数f（x）仅为可积的条件下，将定积分换元公式作为上述推广公式的应用，计算一个有无穷多个间断点的函数人。）一（x“x“～“在区间卜，l」上的定积分。从该例的计算中，可以看到Euler常数LOH＝O的应用。为可积时，只要变量替换函数x一9（t）具备单调及连续性，则换元公式仍然成立。此时，换元法的完整叙述应为：定理王若函数人。）在［a，b】上可积，x一平（t），iE［a，利满足：（i）。t）在［a，用上单调且连续；（if）尸（a）一a，。卢）一b；（iii）～（t）在［a，用上连续。定理1的证明需要用到定积分的定义。当在肝…     

微分方程的三角变换解法

在求积分时，当被积函数有形如：等形式时，完全可通过三角代换法来求解。类似地，在微分方程中，遇到此类形式的问题时，也可考虑三角代换方法。例1车比雪夫方程；解于是，方程化为此问题若用别的方法解，则比较麻烦，甚至很难求出解。于是，方程化为：类似，可解文〔1」例3方程（l）：其解为：例3（文「Zj例1）解先作变换y—Z（x）小。。。则方程化为：此时，令x—arctgu，则方程又化为：微分方程的三角变换解法@赵临龙$陕西安康师专[1]吴檀、李光健 关于三阶线性微分方程的可积新类型 数学的实践与认识 1995 4:77～85 [2] 徐瑞 一类…     

小议变上限的定积分

设函数f(x)在[a，b]上可积，则对任何x∈[a，b]，定积分∫a^x f(t)dt定义了区间[a，b]上的一个关于x的函数F(x)，称为“变上限的定积分”，即F(x)=∫a^x f(t)dt，且若函数f(x)在[a，b]上连续，则d/dx∫a^xf(t)dt=f(x)，x∈[a，b]，它表明变上限的定积分，在被积函数连续时，是被积函数的原函数。     

重积分的变换技巧

重积分的变换方法灵活，技巧性强，最理想的变换是把由曲线围成的区域变成短形区域或直边形区域，通常称作“化曲为方”或“化曲为直”．但同时还要考虑使被积函数易于求累次积分，即设法将积分区域及被积函数“化繁为简”．例如：求积分其中D是由坐标轴及抛物线所围成的区域（a，b＞0）．解在直角坐标系中D可用不等式组表为本题也可以采用各种不同的变量代换，虽然选择各种变换具有一定的难度和技巧，但从中可以灵活掌握各种变换的思想方法，训练适当选择变换的基本功．变换1（化曲为方）此变换将、平面上的曲边三角形区域D变成平面上的…     

任意有限区间上定积分的计算公式及其应用

本文将对称区间上定积分的计算公式进行推广,通过构作变量代换,得到了任意有限区间上定积分的计算公式.它可用于计算和证明一类定积分问题.最后,通过多个典型例题验证了公式的有效性.     

利用对称性计算重积分

<正> 重积分的计算与定积分类似,利用积分域的对称性和被积函数对变量的奇、偶性,可以简化计算。     

利用重积分求解一元积分

对于一些难以求解的一元积分，可以将被积函数或者被积函数中的一部分转化为另外一个定积分或者广义积分，这样就将一元定积分变成了多元函数的重积分，再通过交换积分顺序就可以得到原积分的结果.以几个典型的积分为例，利用这种方法，最终求得积分结果.     

定积分的二种换元法及其应用

1．引言在定积分的计算中,运用变量替换可以大大简化计算过程,因此在计算定积分时常常需要考虑换元法．本文介绍了定积分的二种换元法：交换变换和减半变换,并列举了典型范例．2定积分的两种换无法定理亚若f（x）在闭区间[a,b]上,可积,则证明用换元法设u—a＋b—x,则dx—一du,当x一a时,u—b,当x一b时,u—a,Hx一a＋b—u6「a,hi,即f（＋b—u）在［a,hi上也是可积的,故我们把这种上、下限交换的换元法称为“交换变换”,特别地当a一O时有下列推论：推论1若f（x）在［a,hi上可积,则由定理1和推论1我们还可以得到两个十分重要…     

某些积分所确定的函数的导数

设重积分的积分区域依赖于变量t的值，且此重积分定义一个t的可微函数：其中积分区域G；依赖于t的值。如何求F’（t）呢？下面我们举例说明。解这类问题可直接利用变限积分的导数公式，只要把括号内的积分当作一个函数人y）对形如（1），（2）的函数F（t），在求导时，可首先利用变量代换，把F（t）转化成票次积分，再利用例1的方法求F’（t）。例2已知jfx，y）连续，F（t）一if（，y）dxds，求F’（t）。x2小y＼ti解利用极坐标变换，得例3已知人U）连续，F（O一解利用球面坐标变换得：例4设人X）连续，G：0＜X＜h，X’＋F’（t）。解…     

关于积分方程的求解

在高等数学中,积分方程求解的方法是通过将其求导一次或数次转化为微分方程来进行的.值得注意的是:这类方程的定解条件往往隐含在给定的积分方程中,因此需要把它挖掘出来,从而使积分方程转化为一个初始问题.下面通过举例予以说明.例1　求满足方程∫x0f(t)dt=x ∫x0tf(x-t)dt的函数f(x).解　本题中由于变量x同时出现在积分上限和被积函数内,应先通过变量替换使被积函数内不含x,再利用变上限定积分的求导消去积分符号.令x-t=u,则dt=-du.于是∫x0tf(x-t)dt=-∫0x(x-u)f(u)du=x∫x0f(u)du-∫x0uf(u)du原方程变形为∫x0f(t)dt=x x∫x0f(t)dt-∫x0…     

一类曲面积分的简单计算与推广

第一类曲面积分的积分表达式具有如下特点时:(1)积分曲面是可求曲面面积的曲面;(2)被积函数是单变量函数或可化为单变量函数的函数,利用积分元素法,能将其直接化为定积分计算,这种简单的算法还可以推广到计算具有类似特征的三重积分.     

一类二元无理式的积分

形如 ∫ a′x +b′( a1x2 +b1x +c1) ax2 +bx +cdx ( 1 )的二次无理式的积分 ,是一类最常见的积分。对此类积分 ,通常的方法是应用分式线性代换 x =α +βt1 +t消去分母中的一次项再应用三角代换 ,或使用欧拉代换。但无论使用何种代换 ,计算量都很大 ,而且往往要经过非常复杂的变换。因此 ,使用上述方法来计算 ( 1 )式 ,在一般情况下是不可取的。如果 a1x2 +b1x +c1的判别式Δ =b21-4a1c1>0 ,则可将 ( 1 )式分解为∫ dx( x -α) ax2 +bx +cdx及∫ dxax2 +bx +c型的积分。但如果 Δ<0 ,则没有相应的分解方法 ,我们称这种类型的积分为不可约的…     

积分区域与参量有关的分区域表示的函数的积分问题

在概率统计课程中，同学们经常要计算这样一类重积分：积分区域与某个参数t（－co＜t＜＋co）有关，而被积函数是分区域表示的多元函数，如计算在多年的教学实践中发现，同学们对这类积分的计算常常出错，不是对t的取值不加讨论而直接代入／（X，…的表达式，就是虽对L也作了讨     

利用重积分证明定积分不等式趣例几则

在重积分的计算中,如果被积函数可以分解为地f(x)·g(y),则它在矩形区域(σ):a≤x≤δ;C≤y≤d上的积分可化为两个定积分的乘积来计算.即有:     

定积分的一个性质在解题中的应用

定积分的一个性质在解题中的应用石心坦（合肥工业大学，合肥２３０００９）学习过高等数学的人都知道，一个定积分的值与积分变量无关，也就是说，一旦积分的上、下限和被积函数确定，这个定积分也就随之确定了。定积分的这一重要性质在解定积分的有关问题时常常用到。但...     

定积分计算中的“不变限代换”

引入定积分计算的一种换元法．即不变限代换,并给出适用不变限代换的积分类型．最后根据不变限代换导出几个积分恒等式．