上期课外练习解答

高一年级1.(1)B≠φ时,-2√2相似文献   

西班牙数学竞赛一题推广的另证

第31届西班牙数学奥林匹克第2题为 命题1如果（x＋√x^2＋1）（y＋√y^2＋1）=1,则x＋y=0．文[1]给出下面推广： 命题2如果m〉0,x,y∈[m,＋∞）或x,y∈（-∞,＋m]且（x＋√x^2-m^2）（y＋√y^2-m^2）=m^2,那么x=Y． 文[1]采用换元法证明了命题2,仔细研读后笔者给出命题2的另一种简洁证法。     

2008年上海市高考数学（理）第11题赏析

上海市2008年高考数学（理）第11题为：题目方程x^2＋√2x-1=0的解可视为函数y=x＋√2的图像与函数y=1/x的图像交点的横坐标，若方程x^4＋ax-4=0的各个实根x1,x2,…,xk（k≤4）所对应的点（xi,4/xi）（i=1,2,…,k）均在直线y=x的同侧，则实数a的取值范围是______.     

对三个指数方程求解的质疑

求解底数与指数均有未知数的方程是有较大难度的,笔者发现一些文献求解这类方程时仅限于猜出答案,也没有注意定义域问题,所以解答不严谨.本文将分析这样的三道题目.题1(见专著[1]第66页的第2题)(指数方程)试解方程:x(x2-1)=3.(提出人:广东大埔高陂方丁)解 设x=√y(x可为有理数或无理数),x2=y,故原方程变为(√y)y-1=3,即y(y-1)=3(3-)以,因此y=3,即x2=3,所以x=±√3.以√3或-√3代入原方程均符合,故本题的解答有两个,即x=√3及x=-√3.笔者先给出该题的完整解答:显然解x≠0.我们先看x＞0的情形.设f(x)=x(x2-1)(x＞0),得f′(x)=[e(x2-1)lnx]′=x(x2-1)(2xlnx-1/x)(x＞0)又设g(x)=2xlnx+x-1/x(x＞0),得g'(x)=2lnx+x-2+3(x＞0),gn(x)=2/x3(x+1)(x-1)(x＞0).     

构造图形求一类函数的最值问题

对于形如y=√x2+b1x+c1±√x2+b2x+c2的函数,可以联想直角坐标系内两点间距离公式,利用三角形三边长的关系来求最小(大)值.例如,为求函数y=√x2-2x+2+√x2-12x+40的最小值,先配方成y=√(x-1)2+(0-1)2+√(x-6)2+ (0-2)2,再设定点A(1,1),B(6,2),A'(1,-1)及x轴上动点P(x,0),那么y=|PA+|PB|;因为|PA|+| PB|=|PA'|+|PB|≥|A'B|,所以当点P恰和A'B与x轴交点Q重合时,|PA|+|PB|最小等于|A'B|,即x=8/3时y取最小值√34(如图1所示);而当x→∞时y→+∞,所以y没有最大值.     

一数学竞赛题变式推广的简证

命题 如果m〉0,x,y∈[m,＋∞）,或x,y∈（-∞,m],且（x＋√x^2＋m^2）（y＋√y^2＋m^2）=m^2,那么x=y．     

一个不等式与一组希望杯最值问题

我们在高考复习中遇到了这样一个不等式:设x1,x2∈R,y1,y2∈R ,则有x21/y1 x22/y2≥(x1 x2)2/y1 y2 (*),当且仅当x1/y1=x2/y2时,等号成立．它的证明较为简单: (x21/y1 x22/y2)(y1 y2)=(x1 x2)2     

新题征展(76)

A题组新编 1.已知函数y=f(x)存在反函数y=f-1(x). (1)若方程f(x)-√4-x2+1=0有唯一的正根α,方程f-1(x-1)-√4-x2=0有唯一的正根β,则α与β间的关系为__.     

课外练习

高一年级1.设f(x)=3x/3x √3,求和:f(1/101) f(2/101) … f(100/101).(浙江省镇海中学(315200) 张宇红)2.已知函数y=f(x)的定义域为实数集R,对任意x ∈R,都有f(a x)=f(a-x),其中a为常数.当x     

偶然中的必然

一、偶然的发现 题1 已知向量a=x·→i+(y-√7)→j,→b=x·→i+(y+√7)→j(x,y∈R),且|→a|+|→b|=4√2,动点P(x,y)的轨迹方程记为C.射线y=2√2x(x≥0)与曲线C的交点为M,过M作倾斜角互补的两条直线,分别与曲线C交于A、B两点(异于M).求证:直线AB的斜率为定值.     

一道数学竞赛最值问题及变式

题目 实数x,y,z满足x2＋y2＋z2=1,则√2xy＋yz的最大值为___．     

2010年高考湖北卷第9题的一个简解

2010年高考湖北卷文、理第9题均是: 若直线y=x+b与曲线y=3-4x-x2有公共点,则b的取值范围是 A.[-1,1+2√2] B.[1-2√2,1+2√2] C.[1-2√3,3] D.[1-√2,3]     

一道赛题变式的简解

第31届西班牙数学奥林匹克第2题为：如果（x＋√x^2＋1）（y＋√y^2＋1）=1，那么x＋y=0． 在《数学通讯》网站论坛上，一位网友提出了该题的如下变式，并发贴向各位求教：     

三视角求解一道参数取值范围高考题

2010年高考湖北卷理科第（9）题为：若直线y=x＋b与曲线y=3-√4x-x^2有公共点,则实数b的取值范围是 （ ） （A）[-1,1＋2√2]． （B）[-1-2√2,1＋2√2]． （C）[1-2√2,3]． （D）[1-√2,3]．     

多想才会有创见

读书最忌浅尝辄止,不作深入思考.应学会给思维插上翅膀,让它自由飞翔,平时读书我就有意识地向这个方向努力,常尝到创新的喜悦,这里举一例. 解析几何课本上有如下的习题:在椭圆x2/45 y2/20=1上求一点,使它与两个焦点的连线互相垂直. 解由a=3√5,b=2√5,c=5,得e=√5/3,设焦点为F1,F2,设椭圆上所求点为P(x0,y0),     

一个猜想的证明

贵刊文[1]提出如下 猜想设|k|≤√13 16√2,x,y,z∈R ,则x kz/y z y kx/z x z ky/x y≥3(1 k)/2 (1) 此猜想是正确的,下面给出证明.     

利用向量求一类无理函数的值域

设向量^→a=（x1＋y1）,^→b=（x2,y2）,则称cos（^→→a,b）=x1x2＋y1y2/√x1^2＋y1^2√x2^2＋y2^2为向量^→a与^→b的坐标形式的夹角公式．有一类无理函数,它本身就是根据这一公式编制出来的．其函数表达式的结构与坐标形式的向量夹角公式的结构相似,     

一道竞赛题的思路分析

2008年中国西部数学奥林匹克试题： 已知x,y,z∈（0,1）且√1-x/yz＋√1-y/zx＋√1-z/xy=2,求xyz的最大值。本题的得分率很低,有一定的难度,以下是笔者在解该题时的思路,整理出来供参考．     

对一道高考圆锥曲线问题的探究

题目:设椭圆C: x2/a2+y2/b2=1(a》b》0)过点M(√2,1),且左焦点为F1(-√2,0)     

权方和不等式的改进及其姊妹不等式

1 权方和不等式的改进 不等式:xm+1/1/ym/1+xm+1/2/ym/2+…+xm+1/n/ym/n≥(x1+x2+…+xn)m+1/(y1+y2+…+yn)m (A) (其中xi,yi∈R+,i=1,2,…,n,m＞0),当且仅当x1/y1=x2/y2=…=xn/yn时取等号.